《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.1 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.1 Word版含解析.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考试内容等级要求 加法原理与乘法原理B 排列与组合B 二项式定理B 离散型随机变量及其分布列A 超几何分布A 条件概率及相互独立事件A n 次独立重复试验的模型及二项分布B 离散型随机变量的均值与方差B 11.1 分类计数原理与分步计数原理 分类计数原理与分步计数原理 考情考向分析 以理解和应用两个基本原理为主，常以实际问题为载体，加强分类讨论思 想，注重分析问题、解决问题能力的考查，常与排列、组合知识交汇；两个计数原理在高考 中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查；两个计数原理的考查一般以解答题的形 式出现，难度为中档 高清试卷 下载可打印
2、高清试卷 下载可打印 1分类计数原理 如果完成一件事， 有 n 类方式， 在第 1 类方式中有 m1种不同的方法， 在第 2 类方式中有 m2 种不同的方法， 在第 n 类方式中有 mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 Nm1m2 mn种不同的方法 2分步计数原理 如果完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同 的方法，做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2mn种 不同的方法 3分类和分步的区别，关键是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分类 ； 必须要连续 若干步才能完成的则是分步分类要用分类计数原理将种数相加
3、；分步要用分步计数原理， 将种数相乘 概念方法微思考 1在解题过程中如何判定是用分类计数原理还是分步计数原理？ 提示 如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类计数原理；如果每 类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步计数原理 2两种原理解题策略有哪些？ 提示 分清要完成的事情是什么； 分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； 有无特殊条件的限制； 检验是否有重复或遗漏 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可
4、打印 (2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事( ) (3)在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只 有每个步骤都完成后，这件事情才算完成( ) (4)如果完成一件事情有n个不同步骤， 在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1,2,3， n)， 那么完成这件事共有 m1m2m3mn种方法( ) (5)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的( ) 题组二 教材改编 2P9T8已知集合 M1，2,3，N4,5,6，7，从 M，N 这两个集合中各选一个元 素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第
5、二象限内不 同的点的个数是_ 答案 6 解析 分两步：第一步先确定横坐标，有 3 种情况，第二步再确定纵坐标，有 2 种情况，因 此第一、二象限内不同点的个数是 326. 3 P29 习题 T9将 3 个不同的小球放入编号分别为 1,2,3,4,5,6 的盒子内， 6 号盒子中至少有 1 个球的放法种数是_ 答案 91 解析 本题应分为 6 号盒子中有 1 个球， 2 个球， 3 个球三类来解答， 可列式为 C (A A )C 1 32 51 5 A C 91(种) 2 31 53 3 题组三 易错自纠 4从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数
6、的个 数为_ 答案 18 解析 分两类情况讨论：第 1 类，奇偶奇，个位有 3 种选择，十位有 2 种选择，百位有 2 种 选择，共有 32212(个)奇数 ； 第 2 类，偶奇奇，个位有 3 种选择，十位有 2 种选择，百 位有 1 种选择，共有 3216(个)奇数根据分类计数原理知，共有 12618(个)奇数 5如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数” ，那么在由 1,2,3,4 四个数 字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有_个 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 12 解析 当组成的数字有三个 1，三个 2，三个 3，三个 4 时共有 4 种情况
7、当有三个 1 时： 2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有 9 种，当有三个 2,3,4 时 ： 2221,3331,4441， 有 3 种，根据分类计数原理可知，共有 12 种结果 6已知某公园有 4 个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为_ 答案 12 解析 将 4 个门编号为 1,2,3,4，从 1 号门进入后，有 3 种出门的方式，共 3 种走法，从 2,3,4 号 门进入，同样各有 3 种走法，共有 3412(种)不同的走法 7.现用 4 种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种 颜色，
8、则不同的着色方法共有_种 答案 48 解析 需要先给 C 块着色，有 4 种方法 ； 再给 A 块着色，有 3 种方法 ； 再给 B 块着色，有 2 种方法；最后给 D 块着色，有 2 种方法，由分步计数原理知，共有 432248(种)着色 方法 题型一 分类计数原理 1满足 a，b1,0,1,2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个 数为_ 答案 13 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 方程 ax22xb0 有实数解的情况应分类讨论 当 a0 时， 方程为一元一次方程 2x b0，不论 b 取何值，方程一定有解此时 b 的取值有 4 个，故此时
9、有 4 个有序数对 当 a0 时，需要 44ab0，即 ab1.显然有 3 个有序数对不满足题意，分别为(1,2)， (2,1)， (2,2) a0 时， (a， b)共有 3412(个)实数对， 故 a0 时满足条件的实数对有 123 9(个)，所以答案应为 4913. 2如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3，则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为_ 答案 240 解析 若 a22，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，“凸数”为 120 与 121，共 2 个若 a23，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有
10、23 6(个)若 a24，满足条件的“凸数”有 3412(个)，若 a29，满足条件的“凸数” 有 8972(个) 所以所有凸数有 26122030425672240(个) 3 定义 “规范 01 数列” an如下 ： an共有 2m 项， 其中 m 项为 0， m 项为 1， 且对任意 k2m， a1， a2，ak中 0 的个数不少于 1 的个数若 m4，则不同的“规范 01 数列”共有_个 答案 14 解析 第一位为 0， 最后一位为 1， 中间 3 个 0,3 个 1,3 个 1 在一起时为 000111,001110； 只有 2 个 1 相邻时，共有 A 个，其中 110100,110
11、010,110001,101100 不符合题意；三个 1 都不在一 2 4 起时有 C 个，共 28414(个) 3 4 思维升华 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关 键位置 (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准 (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两 种方法是不同的方法，不能重复 (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏 题型二 分步计数原理 例 1 (1)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 寓参加志愿者活动，
12、则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_ 答案 18 解析 从 E 点到 F 点的最短路径有 6 条， 从 F 点到 G 点的最短路径有 3 条， 所以从 E 点到 G 点的最短路径有 6318(条) (2)有六名同学报名参加三个智力项目， 每项限报一人， 且每人至多参加一项， 则共有_ 种不同的报名方法 答案 120 解析 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法， 第二个项目有 5 种选法，第三个项目有 4 种选法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法 共有 654120(种) 引申探究 1本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“
13、每人恰好参加一项， 每项人数不限” ，则有多少种不同的报名方法？ 解 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同的报名方法，根据分步计数原 理，可得不同的报名方法共有 36729(种) 2本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每 人参加的项目不限” ，则有多少种不同的报名方法？ 解 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步计数 原理，可得不同的报名方法共有 63216(种) 思维升华 (1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺 序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依
14、存的，只有各个步骤都完成了， 才算完成这件事 (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成 跟踪训练 1 一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从 P 点处进，Q 点处出，沿图中线路游 览 A，B，C 三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点 O 外)的游览线路有_种(用数字 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 作答) 答案 48 解析 根据题意，从点 P 处进入后，参观第一个景点时，有 6 个路口可以选择，从中任选一 个，有 6 种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有 4 个路口可以选择，从中任选 一个，有 4 种选法；参观完第二个景点，参观
15、第三个景点时，有 2 个路口可以选择，从中任 取一个，有 2 种选法由分步计数原理知，共有 64248(种)不同的游览线路 题型三 两个计数原理的综合应用 命题点 1 与数字有关的问题 例 2 用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的 四位数一共有_个(用数字作答) 答案 1 080 解析 当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为 C C A 960. 3 51 44 4 当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为 A 120. 4 5 故符合题意的四位数一共有 9601201 080(个) 命题点 2 涂色、种植问题 例
16、 3 如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用)，要求每个区域涂一 种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_ 答案 96 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 按区域 1 与 3 是否同色分类： 区域 1 与 3 同色 ： 先涂区域 1 与 3 有 4 种方法， 再涂区域 2,4,5(还有 3 种颜色)有 A 种方法 3 3 区域 1 与 3 同色时，共有 4A 24(种)方法 3 3 区域 1 与 3 不同色：第一步涂区域 1 与 3 有 A 种方法，第二步涂区域 2 有 2 种涂色方法， 2 4 第三步涂区域 4 只有 1 种方法，第
17、四步涂区域 5 有 3 种方法 共有 A 21372(种)方法 2 4 故由分类计数原理可知，不同的涂色种数为 247296. 命题点 3 与几何有关的问题 例 4 (1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对” 在一 个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 _ 答案 36 解析 第 1 类，对于每一条棱， 都可以与两个侧面构成 “正交线面对” ， 这样的 “正交线面对” 有 21224(个)； 第 2 类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对” ， 这样的“正交线面对”有 12 个所以正方体中“正交线面对
18、”共有 241236(个) (2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组” 在一个长 方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 _ 答案 48 解析 长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”的个数为 6636，另含 4 个顶点的 6 个面 (非表面)构成的 “平行线面组” 的个数为 6212， 故符合条件的 “平行线面组” 的个数是 36 1248. 思维升华 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么 (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类 (3)弄清分步、分类的标准是什么 高清试卷 下载可打印 高
19、清试卷 下载可打印 (4)利用两个计数原理求解 跟踪训练 2 (1)建造一个花坛， 花坛分为 4 个部分(如图) 现要栽种 4 种不同颜色的花(不一定 4 种颜色都栽种)，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 _种(用数字作答) 1234 答案 108 解析 先栽第一块地，有 4 种情况，然后栽第二块地，有 3 种情况，第三块地有 3 种情况， 第四块地有 3 种情况，则共有 4333108(种)不同的栽种方法 (2)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有_个 答案 120 解析 由题意， 首位数字只能是 4,5，
20、 若万位是 5， 则有 3A 72(个)； 若万位是 4， 则有 2A 3 4 48(个)，故比 40 000 大的偶数共有 7248120(个) 3 4 1集合 A1,2,3,4,5，B3,4,5,6,7,8,9，从集合 A，B 中各取一个数，能组成的没有重复 数字的两位数的个数为_ 答案 58 解析 根据分步计数原理和分类计数原理得 (C C C C C C C )A 58. 1 21 31 41 31 21 42 32 2 2(2018苏州质检)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过 4 次传 递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有_种 答案 6 解析 分两类：甲
21、第一次踢给乙时，满足条件的有 3 种传递方式(如图)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 同理，甲先传给丙时，满足条件的也有 3 种传递方式 由分类计数原理可知，共有 336(种)传递方式 3十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有_种 答案 12 解析 根据题意，车的行驶路线起点有 4 种，行驶方向有 3 种，所以行车路线共有 43 12(种) 4若自然数 n 使得作竖式加法 n(n1)(n2)各位数均不产生进位现象，则称 n 为“开 心数” 例如 ： 32 是 “开心数” 因为 323334 不产生进位现象 ； 23 不是 “开心数” ， 因为 2324 25 产生进位
22、现象，那么，小于 100 的“开心数”的个数为_ 答案 12 解析 根据题意知个位数 n 需要满足 n(n1)(n2)10，即 n2.3， 个位数可取 0,1,2 三个数， 十位数 k 需要满足 3k10， k3.3， 十位数可以取 0,1,2,3 四个数，故小于 100 的“开心数”共有 3412(个) 5从 1,2,3,4,7,9 六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为 _ 答案 17 解析 当所取两个数中含有 1 时，1 只能作真数，对数值为 0，当所取两个数中不含有 1 时， 可得到 A 20(个)对数， 但 log23log49， log32log94，
23、log24log39， log42log93.综上可知， 2 5 共有 201417(个)不同的对数值 6设 a，b，c1,2,3,4,5,6，若以 a，b，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形， 则这样的三角形有_个 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 27 解析 先考虑等边的情况，abc1,2，6，有六个， 再考虑等腰的情况，若 ab1，cab2， 此时 c1 与等边重复， 若 ab2，cab4，则 c1,3，有两个， 若 ab3，cab6，则 c1,2,4,5，有四个， 若 ab4，cab8，则 c1,2,3,5,6，有五个， 若 ab5，cab10，则 c1,
24、2,3,4,6，有五个， 若 ab6，cab12，则 c1,2,3,4,5，有五个， 故一共有 27 个 72017 年 1 月 27 日，哈尔滨地铁 3 号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐 地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街每人只能去一个地方，哈西站一定要有人去，则不同 的游览方案为_种 答案 65 解析 根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大 街每人只能去一个地方，则每人有 3 种选择，则 4 人一共有 333381(种)情况，若 哈西站没人去，即四位同学选择了城乡路和哈尔滨大街每人有 2 种选择方法，则 4 人一共 有 222216(种)情况，
25、故哈西站一定要有人去有 811665(种)情况，即哈西站一定 有人去的游览方案有 65 种 8用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法 共有_种 答案 4 320 解析 分步进行 ： 1 区域有 6 种不同的涂色方法，2 区域有 5 种不同的涂色方法，3 区域有 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 种不同的涂色方法， 4 区域有 3 种不同的涂色方法， 6 区域有 4 种不同的涂色方法， 5 区域有 3 种不同的涂色方法 根据分步计数原理可知，共有 6543344 320(种)不同的涂色方法 9.如图，给 7 条线段的 5 个端点涂色，要求同一
26、条线段的两个端点不能同色，现有 4 种不同 的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为_ 答案 96 解析 若 A， D 颜色相同， 先涂 E 有 4 种涂法， 再涂 A， D 有 3 种涂法， 再涂 B 有 2 种涂法， C 只有 1 种涂法，共有 43224(种)； 若 A，D 颜色不同，先涂 E 有 4 种涂法，再涂 A 有 3 种涂法，再涂 D 有 2 种涂法，当 B 和 D 相同时，C 有 2 种涂法，当 B 和 D 不同时，C 只有 1 种涂法，共有 432(21)72(种)，根据分类计数原理可得，共有 247296(种)不同 的涂色方法 10设集合 A1,0,1，B0,1,2,3，定
27、义 A*B(x，y)|xAB，yAB，则 A*B 中 元素的个数为_(用数字作答) 答案 10 解析 易知 AB0,1，AB1,0,1,2,3， x 有 2 种取法，y 有 5 种取法 由分步计数原理，知 A*B 中的元素有 2510(个) 11联合国国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全 部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的 援助方案有_种 答案 25 解析 根据题意，可分为：三个国家粮食和药品都有，有 1 种方法； 一个国家粮食，两个国家药品，有 3 种方法； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 一个国家药
28、品，两个国家粮食，有 3 种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有 3 种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有 3 种方法； 两个国家粮食，两个国家药品，有 326(种)方法； 三个国家粮食，一个国家药品，有 3 种方法； 三个国家药品，一个国家粮食，有 3 种方法， 故方法总数是 25. 12将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为_ 答案 240 解析 将数字 “124467” 重新排列后所得数字为偶数， 则末位数应为偶数， 若末位数字为 2， 因为含有 2 个 4，所以有60(种)情况；若末位数字为 6，同理有 5 4 3 2 1 2 60(种)情况；若末位数字为 4，因
29、为有 2 个相同数字 4，所以共 5 4 3 2 1 2 有 54321120(种)情况综上，共有 6060120240(种)情况 13.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓若按一定顺序将 每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的 2 个螺栓则不同的固定螺栓方式的种数是 _ 答案 60 解析 根据题意，第一个可以从 6 个螺栓里任意选一个，共有 6 种选择方法，并且是机会相 等的， 若第一个选 1 号螺栓， 第二个可以选 3,4,5 号螺栓， 依次选下去， 共可以得到 10 种方法， 所以总共有 10660(种)方法，故答案是 60. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载
30、可打印 14 某微信群中有甲、 乙、 丙、 丁、 戊五个人玩抢红包游戏， 现有 4 个红包， 每人最多抢一个， 且红包被全部抢完，4 个红包中有 2 个 6 元的，1 个 8 元的，1 个 10 元的(红包中金额相同视 为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有_种 答案 36 解析 若甲、 乙抢到的是一个 6 元和一个 8 元的， 剩下 2 个红包， 则被剩下的 3 人中的 2 人抢走，有 A A 12(种)情况 ； 若甲、乙抢到的是一个 6 元和一个 10 元的，剩下 2 个红包， 2 22 3 则被剩下的 3 人中的 2 人抢走， 有 A A 12(种)情况 ； 若甲、 乙抢到的是一个 8
31、 元和一个 10 2 22 3 元的，剩下 2 个红包，则被剩下的 3 人中的 2 人抢走有 A C 6(种)情况 ； 若甲、乙抢到的 2 22 3 是 2 个 6 元的，剩下 2 个红包，则被剩下的 3 人中的 2 人抢走，有 A 6(种)情况 2 3 根据分类计数原理可知，共有 36 种情况 15回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22,121,3443,94249 等显然 2 位 回文数有 9 个：11,22,33，99,3 位回文数有 90 个：101,111,121，191,202，999. 则 (1)5 位回文数有_个； (2)2n(nN*)位回文数有_个 答案 (1
32、)900 (2)910n1 解析 (1)5 位回文数相当于填 5 个方格，首尾相同，且不为 0，共 9 种填法，第 2 位和第 4 位一样，有 10 种填法，中间一位有 10 种填法，共有 91010900(种)填法，即 5 位回文 数有 900 个 (2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格结合分步计数原理，知有 910n1种填 法 16用 6 种不同的颜色给三棱柱 ABCDEF 六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条 棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有_种(用数字作答) 答案 8 520 解析 分两步来进行，先涂 A，B，C，再涂 D，E，F. 第一类：若 6 种颜色都用
33、上，此时方法共有 A 720(种)； 6 6 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第二类 ： 若 6 种颜色只用 5 种，首先选出 5 种颜色，方法有 C 种 ； 先涂 A，B，C，方法有 A 5 6 种，再涂 D，E，F 中的两个点，方法有 A 种，最后剩余的一个点只有 2 种涂法，故此时方 3 52 3 法共有 C A A 24 320(种)； 5 63 52 3 第三类：若 6 种颜色只用 4 种，首先选出 4 种颜色，方法有 C 种； 4 6 先涂 A，B，C，方法有 A 种，再涂 D，E，F 中的一个点，方法有 3 种，最后剩余的两个点 3 4 只有 3 种涂法，故此时方法共有 C A 333 240(种)； 4 63 4 第四类：若 6 种颜色只用 3 种，首先选出 3 种颜色，方法有 C 种； 3 6 先涂 A，B，C，方法有 A 种，再涂 D，E，F，方法有 2 种，故此时方法共有 C A 2 3 33 63 3 240(种) 综上可得，不同涂色方案共有 7204 3203 2402408 520(种)