2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第四章 三角函数、解三角形 4.7 Word版含解析.pdf

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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.7 解三角形的实际应用 解三角形的实际应用 考情考向分析 以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三 角恒等变换、 三角函数的性质结合考查， 加强数学知识的应用性 题型主要为填空题或解答题， 中档难度 测量中的有关几个术语 术语名称术语意义图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视 线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在 水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标 方向线之间的夹角叫做方位角方位角 的 范围是 0360 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐 角，通常表达

2、为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东 ： (2)南偏西 ： 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 坡角与坡比 坡面与水平面所成二面角的度数叫坡度；坡 面的垂直高度与水平长度之比叫坡比 概念方法微思考 在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？ 提示 实际测量中有高度、 距离、 角度等问题， 基本思想是根据已知条件， 构造三角形(建模)， 利用正弦定理、余弦定理解决问题 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为 ， 从 B 处望 A 处的俯角为 ， 则 ， 的关系为 180.( ) (2)俯角是铅垂线与视

3、线所成的角，其范围为.( ) 0， 2 (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系( ) (4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.( ) 0， 2) 题组二 教材改编 2.P18 例 1如图所示， 设 A， B 两点在河的两岸， 一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C， 测出 A，C 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点的距离 为_ m. 答案 50 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由正弦定理得， AB sinACB AC sin B 又 B30，AB50(m) ACsinACB

4、sin B 50 2 2 1 2 2 3 P21T3如图， 在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30， 沿倾斜角为 15的斜坡向上走 a 米到 B， 在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60，则山高 h_米 答案 a 2 2 解析 由题图可得PAQ30， BAQ15，在PAB 中，PAB15， 又PBC60， BPA30，(90)(90) 在PAB 中，PBa， a sin 30 PB sin 15 6 2 2 PQPCCQPBsin asin asin 60asin 15a. 6 2 2 2 2 题组三 易错自纠 4要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 4

5、5，在 D 点测得 塔顶 A 的仰角 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_ m. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 40 解析 设电视塔的高度为 x m，则 BCx，BDx.在BCD 中，由余弦定理得 BD2BC23 CD22BCCDcosBCD,3x2x2402240xcos 120，即 x220x8000，解得 x 20(舍去)或 x40.故电视塔的高度为 40 m. 5 在某次测量中， 在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60， C点的俯角是70， 则BAC _. 答案 130 解析 6070130. 6海上有 A，B，C 三个小岛，A，

6、B 相距 5 海里，从 A 岛望 C 和 B 成 45视角，从 B 岛3 望 C 和 A 成 75视角，则 B，C 两岛间的距离是_海里 答案 5 2 解析 由题意可知ACB60， 由正弦定理得， 即， 得 BC AB sinACB BC sinBAC 5 3 sin 60 BC sin 45 5 . 2 题型一 测量距离问题 1江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测 得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_m. 答案 10 3 解析 如图， OMAOtan 4530(m)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载

7、可打印 ONAOtan 303010(m)， 3 3 3 在MON 中，由余弦定理得 MN 9003002 30 10 3 3 2 10 (m)3003 2.如图，A，B 两点在河的同侧，且 A，B 两点均不可到达，要测出 A，B 的距离，测量者可 以在河岸边选定两点C， D， 若测得CD km， ADBCDB30， ACD60， ACB 3 2 45，则 A，B 两点间的距离为_ km. 答案 6 4 解析 ADCADBCDB60，ACD60， DAC60，ACDC km. 3 2 在BCD 中，DBC45， 由正弦定理，得 BCsinBDC DC sinDBC sin 30(km) 3 2

8、 sin 45 6 4 在ABC 中，由余弦定理， 得 AB2AC2BC22ACBCcos 45 2 . 3 4 3 8 3 2 6 4 2 2 3 8 AB km. 6 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A，B 两点间的距离为 km. 6 4 3如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为 300 m 且3 和 P， Q 两点在同一平面内的路段 AB 的两个端点作为观测点， 现测得PAB90， PAQ PBAPBQ60，则 P，Q 两点间的距离为_ m. 答案 900 解析 由已知，得QABPABPAQ30. 又PBAPBQ60， AQB30，ABBQ

9、. 又 PB 为公共边，PABPQB，PQPA. 在 RtPAB 中，APABtan 60900，故 PQ900， P，Q 两点间的距离为 900 m. 思维升华 求距离问题的两个策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解； 若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 题型二 测量高度问题 例 1 (2018海安测试)如图，已知 AB 是一幢 6 层的写字楼，每层高均为 3 m，在 AB 正前方 36 m 处有一建筑物 CD，从楼顶 A 处测得建筑物 CD 的张角为 45.

10、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求建筑物 CD 的高度； (2)一摄影爱好者欲在写字楼 AB 的某层拍摄建筑物 CD.已知从摄影位置看景物所成张角最大 时，拍摄效果最佳问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果(不计人的高度)? 解 (1)如图，作 AECD 于点 E，则 AEBD. 所以 DEAB18，AEBD36. 因为 tanDAE ， 18 36 1 2 所以 tanCAEtan(45 DAE) . 1tanDAE 1tanDAE 1 3 所以 CE36tanCAE12. 答 建筑物 CD 的高度为 30 米 (2)设在第 n 层 M 处拍摄效果最佳，则摄影高度为 3

11、(n1)米(如图)(1n6，nN) 作 MNCD 于 N，则 DN3(n1)，CN303(n1)333n. tanCMN， CN MN 11n 12 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 tanDMN， DN MN n1 12 tanCMDtan(CMNDMN) tanCMNtanDMN 1tanCMNtanDMN 11n 12 n1 12 111n 12 n1 12 120 n212n155 (当 n6 时取等号) 120 n62119 120 119 因为函数 ytan x 在上是单调增函数， (0， 2) 所以当 n6 时，张角CMD 最大，拍摄效果最佳 答 该人在第 6 层拍摄时

12、效果最好 思维升华 (1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的， 基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中 (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一 个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错 跟踪训练 1 如图所示， 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ， 在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 .已知铁塔 BC 部分的高为 h，则山高 CD_. 答案 hcos sin sin 解析 由已知得BCA90，ABC90，BAC，CAD. 在ABC 中，由正弦定理得， AC

13、sinABC BC sinBAC 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即， AC sin90 BC sin AC. BCcos sin hcos sin 在 RtACD 中，CDACsinCADACsin . hcos sin sin 故山高 CD 为. hcos sin sin 题型三 角度问题 例 2 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在 A 处测得山顶 P 在北偏东 15(BAC15)的 方向， 匀速向北航行 20 分钟后到达 B 处， 测得山顶 P 位于北偏东 60的方向， 此时测得山顶 P 的仰角为 60，已知山高为 2 千米3 (1)船的航行速度是每小时多少千米？ (2)若

14、该船继续航行 10 分钟到达 D 处，问此时山顶位于 D 处南偏东多少度的方向？ 解 (1)在BCP 中，由 tanPBC， PC BC 得 BC2， PC tanPBC 在ABC 中，由正弦定理得， BC sinBAC AB sinBCA 即， 2 sin 15 AB sin 45 所以 AB2(1)，3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故船的航行速度是每小时 6(1)千米3 (2)在BCD 中，BD1，BC2，CBD60，3 则由余弦定理得 CD，6 在BCD 中，由正弦定理得， CD sinDBC BC sinCDB 即，所以 sinCDB， 6 sin 60 2 sinCD

15、B 2 2 所以，山顶位于 D 处南偏东 45的方向 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角和方向角的含义 (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步 (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用 跟踪训练 2 如图所示， 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等， 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东40的方向上， 灯塔B在观察站C的南偏东60的方向上， 则灯塔A在灯塔B的_ 的方向上 答案 北偏西 10 解析 由已知得ACB180406080， 又 ACBC，AABC50，6050

16、10， 灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10的方向上 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得ABC120， 则 A，C 两地间的距离为_ km. 答案 10 7 解 析 如 图 所 示 ， 由 余 弦 定 理 可 得 AC2 AB2 BC2 2ABBCcos B 100 400 21020cos 120700，AC10 . 7 2在直径为 30 m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，光源射向地面的光呈圆锥体， 且其轴截面的顶角为 120，若要求光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为_ m. 答案 5

17、 3 解析 轴截面如图所示，则光源高度 h5(m) 15 tan 60 3 3某人在 C 处测得 A 地和 B 地距离 C 地分别为 20 米和 30 米，且测得张角ACB120， 则 A，B 两地的距离为_ 米 答案 10 19 解析 由余弦定理得 AB AC2BC22ACBCcosACB 10(米)2023022 20 30cos 12019 4.如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从建 筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为_ 答案 45 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 依题意可得 AD20，AC

18、30，105 又 CD50，所以在ACD 中， 由余弦定理得 cosCADAC 2AD2CD2 2ACAD ， 30 5 220 102502 2 30 5 20 10 6 000 6 000 2 2 2 又 0CAD180，所以CAD45， 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45. 5.如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D， 测得BCD15，BDC30，CD30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB _. 答案 15 6 解析 在BCD 中，CBD1801530135. 由正弦定理得，所以 BC15. BC si

19、n 30 CD sin 135 2 在 RtABC 中，ABBCtanACB1515.236 6如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此时气球的高 是 60 m，则河流的宽度 BC_m. 答案 120(1)3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 如图，ACD30，ABD75，AD60 m， 在 RtACD 中， CD60(m)， AD tanACD 60 tan 30 3 tan 75tan(4530) tan 45tan 30 1tan 45tan 30 2， 1 3 3 1 3 3 3 在 RtABD 中，BD60(2)m， AD ta

20、nABD 60 tan 75 60 2 3 3 BCCDBD6060(2)120(1)m.333 7.如图，某工程中要将一长为 100 m，倾斜角为 75的斜坡改造成倾斜角为 30的斜坡，并保 持坡高不变，则坡底需加长_m. 答案 100 2 解析 设坡底需加长 x m， 由正弦定理得，解得 x100. 100 sin 30 x sin 45 2 8.如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险， 在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现 乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 co

21、s _. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 21 14 解析 在ABC 中，AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcos 1202 800， 得 BC20 . 7 由正弦定理，得， AB sinACB BC sinBAC 即 sinACBsinBAC. AB BC 21 7 由BAC120，知ACB 为锐角， 则 cosACB. 2 7 7 由 ACB30，得 cos cos(ACB30) cosACBcos 30sinACBsin 30. 21 14 9一船向正北航行，看见正西方向相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航

22、行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速度是 每小时_海里 答案 10 解析 如图所示，依题意有BAC60，BAD75， 所以CADCDA15，从而 CDCA10， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在 RtABC 中，得 AB5， 于是这艘船的速度是10(海里/时) 5 0.5 10.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口，且 小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟， 从 D 沿 DC 走 到 C 用了 3 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米

23、，则该扇形的半径为_米 答案 50 7 解析 如图， 连结 OC， 在OCD 中， OD100， CD150， CDO60.由余弦定理得 OC210021502 2100150cos 6017 500，解得 OC50 . 7 11.如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量该 山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 A 处测得DAC15，沿山坡前进 50 m 到达 B 处， 又测得DBC45，根据以上数据可得 cos _. 答案 13 解析 由DAC15，DBC45，可得DBA135，ADB30. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在AB

24、D 中，根据正弦定理可得， AB sinADB BD sinBAD 即， 50 sin 30 BD sin 15 所以 BD100sin 15100sin(4530)25()62 在BCD 中，由正弦定理得， CD sinDBC BD sinBCD 即，解得 sinBCD1. 25 sin 45 25 6 2 sinBCD 3 所以 cos cos(BCD90)sinBCD1.3 12.如图， 渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处， 且与岛屿 A 相距 12 海里， 渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向 追赶渔船乙

25、，刚好用 2 小时追上 (1)求渔船甲的速度； (2)求 sin 的值 解 (1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA. 在ABC 中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC 12220221220cos 120784， 解得 BC28. 所以渔船甲的速度为14(海里/时) BC 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)在ABC 中，因为 AB12，BAC120，BC28，BCA， 由正弦定理，得， AB sin BC sin 120 即 sin . ABsin 120 BC 12 3 2 28 3 3 14 13.如图， 在水平地面上有两座

26、直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1 顶部的仰角是从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角的 2 倍，从两塔底部连线中点 C 分别看两 塔顶部的仰角互为余角， 则从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角的正切值为_； 塔 BB1 的高为_ m. 答案 45 1 3 解析 设从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角为 ， 则 AA160tan ，BB160tan 2. 从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角， A1ACCBB1， ， AA1 30 30 BB1 AA1BB1900，3 600tan tan 2900， tan ，tan 2 ，则 BB1

27、60tan 245. 1 3 3 4 14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 45方向 600 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受 到热带风暴影响的时间为_h. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 15 解析 记现在热带风暴中心的位置为点 A， t 小时后热带风暴中心到达 B 点位置， 在OAB 中， OA600，AB20t，OAB45，根据余弦定理得 OB26002400t2260020t， 2 2 令 OB24502，即 4t2120t1 5750，解得t，所以该码头将受到2

28、 30 215 2 30 215 2 热带风暴影响的时间为15(h) 30 215 2 30 215 2 15某舰艇在 A 处测得一艘遇险渔船在其北偏东 40的方向距离 A 处 10 海里的 C 处，此时 得知， 该渔船正沿南偏东 80的方向以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近， 若舰艇的时速为 21 海里，则舰艇追上渔船的最短时间是_小时 答案 2 3 解析 如图所示， 设舰艇追上渔船的最短时间是 t 小时，经过 t 小时渔船到达 B 处，则舰艇也在此时到达 B 处 在ABC中， ACB4080120， CA10， CB9t， AB21t， 由余弦定理得(21t)2102 (9t)22109

29、tcos 120，即 36t29t100，解得 t 或 t(舍) 2 3 5 12 16.如图， 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径 一种是从 A 沿直线步行到 C， 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C，现有甲、乙两位游客从 A 处 下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处 停留 1 min 后，再匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 260 m，经测量得 cos A，sin

30、B. 12 13 63 65 (1)问乙出发多少 min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (2)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解 (1)cos A，sin B， 12 13 63 65 sin A，cos B， 5 13 16 65 sin Csin(AB) ， 4 5 在ABC 中，由正弦定理， AC sin B AB sin C 得 AB1 040 m， 设乙出发 t min 后，甲、乙距离为 d， 由余弦定理得 d2(130t)2(10050t)22130t(10050t)， 12 13 即 d2200(37t270t50)20

31、0. 37(t 35 37) 2625 37 0t，即 0t8，当 t时， 1 040 130 35 37 即乙出发 min 后，乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 (2)sin A， 5 13 由正弦定理，得， BC sin A AC sin B BC 5 13 1 260 63 65 BC500 m. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 乙从 B 出发时，甲已经走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙的步行速度为 v m/min，则3， | 500 v 710 50| 故33，解得v. 500 v 710 50 1 250 43 625 14 故为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min，乙步行的速度应控制在范 1 250 43 ，625 14 围内.