数字图像处理（翟瑞芳）第5章-image.ppt

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1、数 字 图 像 处 理 Digital Image Processing,翟瑞芳 Email: Office: 逸夫楼B407-1,第五章 频域处理,变换是双向的。在图像处理中，将从图像空间向其他空间的变换称为正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或逆变换。,为了有效地对图像进行处理，常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需的效果。这些转换方法就是图像变换技术。,空间域,变换域,时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大

2、小。,图例：受噪声干扰的多频率成分信号,信号频谱代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。,Why time domain to frequency domain?,变换后的图像，大部分能量都分布于低频谱段，有利于图像的压缩和传播；使得运算次数减少，节省时间。,5.1 频域与频域变换 5.2 傅立叶变换 5.3 频域变换的一般表达式 5.4 离散余弦变换 5.5 频率域图像增强处理,第五章 频域处理,对频率域的认知基础,在你的理解中，音乐是什么呢？ 对乐器能手来说，音乐是,简化后,时间域,频率域,参考：http:/ 频域与频域变换,任意波形可分解为正弦波(余

3、弦波)的加权和,正弦波的振幅A和相位,波形的频域表示 (a) 幅频特性； (b) 相频特性,空域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：,为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法:,完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。,5.2 傅 立 叶 变 换（Fourier Transform）,5.2.1 背景介绍,傅立叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 1768-1830 ),法国伟大的数学家，主要贡献： 傅立叶级数：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式。 傅立叶变换：非周期的任意函数也可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示。,5.2

4、.2 连续函数的傅立叶变换 若把一个一维输入信号作一维傅立叶变换，该信号就被变换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频谱反映了该输入信号由哪些频率构成。这是一种分析与处理一维信号的重要手段。 当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x) （1） 具有有限个间断点； （2） 具有有限个极值点； （3） 绝对可积。,则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。 一维傅立叶变换对的定义为,式中： ，x称为时域变量，u称为频域变量。,以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果二维函数f(x, y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变

5、换对为,式中：x, y为时域变量；u, v为频域变量。,5.2.3 离散傅立叶变换（Discrete Fourier TransformDFT) 要在数字图像处理中应用傅立叶变换， 还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号， 而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常， 将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT)。 设f(x)|f(0), f(1), f(2), , f(N-1)为一维信号f(x)的N个抽样， 其离散傅立叶变换对为,(1),(2

6、),式中：x，u=0， 1， 2， , N1。,注： 式（2）中的系数1/N也可以放在式（1）中， 有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以 ， 这是无关紧要的， 只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。,由欧拉公式可知,(3),将式（3）代入式（1），并利用cos()=cos()，可得,(4),可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。,通常傅立叶变换为复数形式， 即,式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。,其中,|F(u)|f(x

7、)的频谱或傅立叶幅度谱； (u) f(x)的相位谱；E(u) 能量谱或功率谱。,二维离散傅立叶变换对定义为,式中：u, x=0, 1, 2, , M-1；v, y=0, 1, 2, , N-1。 像一维离散傅立叶变换一样，系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数 ，只要两式系数的乘积等于1MN即可。,二维离散函数的傅立叶频谱、 相位谱和能量谱分别为,傅里叶变换的作用,傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率)分成不同颜色，称数学棱镜。 傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量 信号变化的快慢与频率域的频率有关。噪声、边缘、跳跃部分代表

8、图像的高频分量；背景区域和慢变部分代表图像的低频分量,5.2.4 离散傅立叶变换的计算与显示,例一：,F(0) = 1/4f(x)exp0 = 1/4f(0) + f1(1) + f(2) + f(3) = 1/4(2 + 3 + 4 + 4) = 3.25 F(1) = 1/4f(x)exp-j2x/4) = 1/4(2e0 + 3e j2/4 + 4e j22/4 + 4e j23/4) = 1/4(-2 + j) F(2) = -1/4(1 + j) F(3) = -1/4(2 + j),求函数,的傅里叶变换。,解：将函数代入，得,其幅度谱为,例二：,二维信号的图形表示,二维信号f (x

9、, y),信号的频谱图 频谱图的灰度图,课堂作业： 计算下面图像的二维傅里叶变换,1616的图像原始灰度值,傅立叶变换后的频谱幅度值,对傅立叶变换计算结果的讨论与分析： 为什么说傅立叶变换是线性正交变换？ 傅立叶变换后F(0,0)代表什么含义？ 傅立叶变换后高频和低频分量怎样分布，各自幅度值有何特点？ 为什么说傅立叶变换后能量更加集中，图像中的大部分能量集中在高频还是低频？,傅立叶变换结果示意图,DFT的频谱分布 1 直流成分 2 低频成分 3 高频成分,（a）原始图像 (b) 中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱图,细节较少图片的傅立叶变换,细节中等图片的傅立叶变换,细节较多图片的傅立叶

10、变换,5.2.5 离散傅立叶变换的性质,1. 可分离性 一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。,M-1 N-1 F(u,v)=1/MN f(x,y)e(-j2vy/N) e(-j2ux/M) x=0 y=0 u = 0, 1, 2, M-1; v = 0, 1, 2, .N-1 M-1 N-1 f(x,y)= F(u,v)e(j2vy/N) e(j2ux/M) u=0 v=0 x = 0, 1, 2, .N-1; y = 0, 1, 2, .N-1,先对行做变换：,（0，0）,F(x,v),（0，0）,（N-1，M-1）,x,v,F(u,v),（0，0）,（N-

11、1，M-1）,u,v,二维变换可以通过两次一维变换来实现。 同样可以通过先求列变换再求行变换得到2D DFT。,2. 平移性质 “ ”表示函数和其傅里叶变换的对应性 公式（1）表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置 公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的空域中心移动到新的位置,只要将f(x, y)乘以因子(1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M2, N2）处。,傅立叶频谱平移示意图 (a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱,傅立叶变换是线性系统的函数变换，设：

12、f(x,y) 的傅立叶变换为Ff(x,y) g(x,y)的傅立叶变换为Fg(x,y) 有：Ff(x,y)+g(x,y) = Ff(x,y)+Fg(x,y),3. 线性,4. 周期性 DFT和它的逆变换是以N为周期的： 对于一维傅立叶变换有： F(u) = F(u + N) 对于二维傅立叶变换有： F(u,v) = F(u + M,v+N),傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数： 对于一维傅立叶变换有： F(u) = F*(-u) 对于二维傅立叶变换有： F(u,v) = F*(-u ,-v),5. 共轭对称性,6. 旋转不变性 如果时域中离散函数旋转0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函

13、数也将旋转同样的角度。,离散傅立叶变换的旋转不变性 （a） 原始图像 （b） 原始图像的傅立叶频谱； （c） 旋转45后的图像； （d） 图像旋转后的傅立叶频谱。,相似性的描述： a f(x,y) a F(u,v) 且有： f(ax,by) 1/|ab|F(u/a,v/b) 对f(x,y)在幅度方面的尺度变换导致对傅立叶变换F(u,v)在幅度方面的对应尺度变化； 对f(x,y)在空间尺度方面的放缩则导致对傅立叶变换F(u,v)在频域尺度方面的相反放缩。,7. 相似性（尺度定理）,卷积定理的描述： 空域中的卷积等价于频域中的相乘。 f(x,y)*g(x,y) F(u,v)G(u,v) Ff(x,

14、y)*g(x,y) = F(u,v)G(u,v) 同时有： f(x,y) g(x,y) F(u,v)*G(u,v),8. 卷积的性质,频谱中的垂直亮线是因为图像中比较多的水平边缘。,图像上有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带,对图像信号而言，空间频率是指单位长度内亮度（也就是是灰度)作周期性变化的次数。是图像中灰度变化剧烈程度的指标，也可以理解为灰度在平面空间上的梯度。,空间频率的理解：,频率域图像（补充）,傅立叶变换以前，图像是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。 实际上对图像进行二维傅

15、立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与原图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也没有。 傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与它的邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分指梯度大的点）,频率域的理解：,频率域的理解： 在空间域图像中，线性地物为高频成分，大块面状的地物为低频成分。图像经过傅立叶变换后产生频率域图像，这些空间频率信息被突出出来 图像灰度变化缓慢的部分,对应变换后的低频分量部分,图像的细节和轮廓边缘都是灰度突变区域,它们是变换后的高频分量. 频域图像的每一点都来自于整个

16、原图像,考虑到傅立叶变换具有对称性，为了便于显示，频率图像往往以图像的中心为坐标原点，左上-右下、右上-左下对称。 图像中心为原始图像的平均亮度，频率为0。从图像中心向外，频率增高。高亮度表明频率特征明显。 频率域图像中心明显的频率变化方向与原图像中地物方向垂直。 若原始图像中有多种水平分布的地物，那么频率域图像中在垂直方向的频率变化比较明显。 若原始图像中地物左下-右上分布，那么频率域图像中在左上-右下方向频率变化比较明显，反之亦然。,如何看频域图像？,59,图像傅立叶变换的物理意义,傅立叶逆变换,如果只保留靠近中心的幅度，则图像细节丢失，但不同区域还保留不同灰度。,如果保留远离中心的幅度，

17、则图像细节可以看出，但不同区域的灰度都近似。,傅立叶逆变换,图像上有较规则的线状物，反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带,5.2.6 快速离散傅立叶变换（Fast Fourier Transform， FFT） 离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。可以证明其运算次数正比于N2，特别是当N较大时，其运算时间将迅速增长。为此，研究离散傅立叶变换的快速算法是非常有必要的。,4点序列2，3，3，2 DFT的计算复杂度,复数加法,N(N-1),复数乘法,N 2,问题：如何提高DFT的运算效率?,解决问题的思路,1. 将长序列DFT分解为短序列的DFT,2. 利用旋转因子 的周期性、对称性、可约

18、性。,以一维离散傅立叶变换为例，说明其快速算法的推导。 令W=e-j2N ，称为旋转因子，则：,旋转因子 的性质,1)周期性,2) 对称性,3)可约性, 例如，对于N=4， W阵为,由W的周期性得：W4W0，W6W2，W9W1；再由W的对称性可得： W3W1，W2W0。于是上式可变为 ：, 例如，对于N=8， W阵为,由W的周期性和W的对称性可将上式变为 ：,设N为2的正整数次幂， 即,如令M为正整数，且,N=2M,离散傅立叶变换可改写成如下形式：,由旋转因子W的定义可知 ， 因此上式变为,现定义,于是,进一步考虑W的对称性和周期性可知 和 ， 于是,由此，可将一个N点的离散傅立叶变换分解成两

19、个N2短序列的离散傅立叶变换，即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变换Fe(u)和Fo(u) 。,分析这些表达式得到如下一些有趣的特性： （1）一个N个点的变换，能够通过将原始表达式分成两个部分来计算； （2）通过计算两个（N/2）个点的变换。得到Feven(u)和Fodd(u)； （3）奇部与偶部之和得到F(u)的前(N/2)个值； （4）奇部与偶部之差得到F(u)的后(N/2)个值，且不需要额外的 变换计算。,以计算N=8的DFT为例，此时n=3，M=4。可得 ：,蝶形运算单元,由于Fe(u)和Fo(u)都是4点的DFT，因此，如果对它们再按照奇偶进行分组， 则有,4点DFT分解为2点DFT

20、的蝶形流程图,8点DFT的蝶形流程图,8点DFT逐级分解框图,上述FFT是将f(x)序列按x的奇偶进行分组计算的，称之为时间抽选FFT。如果将频域序列的F(u)按u的奇偶进行分组计算， 也可实现快速傅立叶计算， 这称为频率抽选FFT。,归纳快速傅立叶变换的思想： （1）通过计算两个单点的DFT，来计算两个点的DFT； （2）通过计算两个双点的DFT，来计算四个点的DFT，以此类推； （3）对于任何N=2m的DFT的计算，通过计算两个N/2点的DFT，来计算N个点的DFT。,FFT算法举例 设：有函数f(x)，其 N = 23 = 8 有： f(0), f(1), f(2), f(3), f(4

21、), f(5), f(6), f(7) 计算： F(0), F(1), F(2), F(3), F(4), F(5), F(6),F(7),首先分成奇偶两组： 有： f(0), f(2), f(4), f(6) f(1), f(3), f(5), f(7) 为了利用递推特性，再分成两组： 有： f(0), f(4) ， f(2), f(6) f(1), f(5) ， f(3), f(7) , f(0), f(4) f(2), f(6) f(1), f(5) f(3), f(7) F2(0),F2(4) F2(2),F2(6) F2(1),F2(5) F2(3),F2(7) F4(0), F4(

22、4), F4(2), F4(6) F4(1), F4(5), F4(3),F4(7) F8(0), F8(1), F8(2), F8(3), F8(4), F8(5), F8(6), F8(7),5.3 频域变换的一般表达式,5.3.1 可分离变换 二维傅立叶变换可用通用的关系式来表示：,(5-21),(5-22),式中：x, u=0, 1, 2, , M1；y, v=0, 1, 2, , N1；g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核。,如果,g(x, y, u, v)=g1(x, u)g2（y, v） (5-23) h(x, y, u, v)=h1(x, u

23、)h2(y, v) (5-24),则称正、反变换核是可分离的。进一步，如果g1和g2，h1和h2在函数形式上一样，则称该变换核是对称的。 二维傅立叶变换对是式（5-21）和式（5-22）的一个特殊情况， 它们的核为,可见，它们都是可分离的和对称的。 如前所述，二维傅立叶变换可以利用变换核的可分离性， 用两次一维变换来实现，即可先对f(x, y)的每一行进行一维变换得到F(x, v)，再沿F(x, v)每一列取一维变换得到变换结果F(u, v)。对于其他的图像变换，只要其变换核是可分离的，同样也可用两次一维变换来实现。 如果先对f(x, y)的每一列进行一维变换得到F(u, y)，再沿F(u,

24、y)每一行取一维变换得到F(u, v)，其最终结果是一样的。该结论对反变换核也适用。,5.3.2 图像变换的矩阵表示 数字图像都是实数矩阵， 设f(x, y)为MN的图像灰度矩阵， 通常为了分析、推导方便，可将可分离变换写成矩阵的形式： F=PfQ f=P-1FQ-1,其中，F、f是二维MN的矩阵；P是MM矩阵；Q是NN矩阵。,(5-29),(5-28),(5-27),式中，u=0, 1, 2, , M1，v=0, 1, 2, , N1。,对二维离散傅立叶变换，则有,(5-30),(5-31),实践中，除了DFT变换之外，还采用许多其他的正交变换。例如：离散余弦变换、沃尔什-哈达玛变换、K-L

25、变换等。,5.4 离散余弦变换（DCT）,离散余弦变换（Discrete Cosine Transform， DCT）是可分离的变换，其变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外， 它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。,5.4.1 一维离散余弦变换,正变换：,反变换：,特点：（1）无虚数部分 （2）正变换核与反变换核一样,5.4.2 二维离散余弦变换,1. 正变换,2. 反变换,3. 举例,图像经DCT后, 能量集中于频率平面的左上角。 DCT用于图像数据压缩。,5.4.3 离散余弦变

26、换的矩阵算法,一维离散余弦变换：,正变换：,反变换：,二维离散余弦变换：,正变换：,反变换：,C为离散余弦变换矩阵，CT为C的转置矩阵,变换矩阵C为：,由此例可看出：DCT将能量集中于频率平面的左上角。,DFT和DCT的频谱分布 （a）DFT频谱分布（未平移）； （b） DCT频谱分布,细节较少图片的傅立叶变换和离散余弦变换,细节中等图片的傅立叶变换和离散余弦变换,细节较多图片的傅立叶变换和离散余弦变化,5.5 频域中的图像增强处理,5.5.1 频率域图像处理的基本步骤,频率域中的滤波包含以下步骤（DFT为例）,用(-1)x+y乘以输入图像来进行中心变换； 由(1)计算图像的DFT，即F(u,

27、v)； 用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v)； 计算(3)中结果的IDFT（反变换）； 得到(4)中结果的实部； 用(-1)x+y乘以(5)中的结果。,前处理,f(x,y),DFT,滤波函数,DFT-1,后处理,g(x,y),F(u,v),H(u,v),F(u,v) H(u,v),举例：,5.5.2 平滑的频域滤波器（低通滤波）,（1）频域低通滤波的基本思想 G(u,v)=F(u,v)H(u,v) F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式 H(u,v)是选取的一个过滤器变换函数； G(u,v)是通过H(u,v)衰减F(u,v)的高频部分来得到的结果； 运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。,

28、（2）理想低通滤波器 (Ideal Lowpass FilterILPF) 理想低通滤波器的定义,一个二维的理想低通滤波器（ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数） 其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u-m/2)2+(v -n/2 ) 21/2,理想低通滤波器的示意图,理想低通滤波器的径向横断面,以图像显示的理想低通滤波器,理想低通过滤器的截止频率（ D0 ）的设计 先求出总的信号能量PT ： 其中： p(u,v) = |F(u,v)|2 = R2(u,v) + I2(u,v) 是能量模。,如果将变换作中心平移，则一个以频域中心为原点，r为半径的圆就包含了百分之

29、的能量,求出相应的D0（设原点在频率中心） D0 = r =(u2 + v2)1/2 整个能量的92%被一个半径为5的小圆周包含。,(a)尺寸为500500象素的图像,(b)图像的傅立叶频谱 87.0%, 93.1%, 95.7%, 97.8%,ILPF 半径值分别为 5，15，30，80，230,理想低通过滤器的分析 整个能量的92%被一个半径为5的小圆周包含,大部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的8%的能量中； 小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱的至多0.5%的能量中； 被钝化的图像被一种非常严重的振铃现象理想低通滤波器的一种特性所影响。,振铃（ring）现象,由传递函数H(u,v)的性

30、质所决定。,半径为5 的频率域ILPF,相应的空间 滤波器,空间域的5个脉冲 模拟5个像素值,5个像素和滤波器 的卷积,（3）巴特沃思低通滤波器 (Butterworth Lowpass Filter) Butterworth低通滤波器（BLPF）的定义,一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth低通滤波器的变换函数如下：,Butterworth低通滤波器的示意图,BLPF函数透视图,BLPF的横截面,以图像显示的滤波器,Butterworth过滤器截止频率的设计 变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截止频率的明显划分； 通常把H(u,v)开始小于其最大值的一

31、定比例的点当作其截止频率点； 当 D(u,v) =D0时，H(u,v) = 0.5,Butterworth低通滤波器的分析 在该例中，经BLPF处理过的图像中都没有明显的振铃效果，这是过滤器在低频和高频之间的平滑过渡的结果； 低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减少干扰效果的修饰过程。,BLPF中的振铃效应，阶数分别为1，2，5，20,（4）高斯低通滤波器 (Gauss Lowpass Filter) Gauss低通滤波器（GLPF）的定义,Gauss低通滤波器的变换函数如下：,Gauss低通滤波器的示意图,GLPF函数透视图,GLPF的横截面,以图像显示的滤波器,（4）低通滤波器 (LPF

32、)的其他例子,字符识别应用,印刷出版业的应用,卫星和航片的处理,（1）频域高通滤波的基本思想 G(u,v)=F(u,v)H(u,v) F(u,v)是需要锐化图像的傅立叶变换形式。 目标是选取一个过滤器变换函数H(u,v)，通过它减少F(u,v)的低频部分来得到G(u,v)。 运用傅立叶逆变换得到锐化后的图像。,5.5.3 锐化的频域滤波器（高通滤波）,（2）理想高通滤波器（IHPF）,理想高通滤波器的定义 一个二维的理想高通过滤器（ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数） 其中：D0 为截止频率 D(u,v)为距离函数 D(u,v)=(u2+v2)1/2,理想高通滤波器的示意图,截面图,可视

33、化的IHPF,理想高通过滤结果图，D0=15,30,80,（3）Butterworth高通滤波器（BHPF）,Butterworth高通过滤器的定义 一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth高通滤波器的变换函数如下：,Butterworth高通滤波器的示意图,BHPF三维透视图,可视化的BHPF,BHPF截面图,BHPF过滤结果图，D0=15,30,80,（4）Gauss高通滤波器（GHPF）,Gauss高通过滤器的定义,GHPF三维透视图,可视化的GHPF,GHPF截面图,GHPF过滤结果图，D0=15,30,80,（1）问题的提出：普通的高通滤波器把低频成分被严重地消弱了

34、，使图像失去层次。 （2）改进措施： 高频提升滤波把一定比例的原始图像加到过滤后的结果中。 高频加强滤波使图像高频成分得到增强。 为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化。这种方法被称为后过滤处理。,5.5.4 高频提升滤波和高频加强滤波,高频提升滤波:,高频加强滤波:,(a) 胸部X光图像 (b) BHPF (c)高频加强： a=0.5; b=2.0 (d) 均衡化的图像,5.5.5 同态滤波器,同态滤波器的基本思想 一个图像f(x,y)可以根据它的明度和反射分量的乘积来表示 f (x,y) = i (x,y)r (x,y) 其中：i (x,y)为明度函数， r (x,y)

35、反射分量函数 通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，来改进图像的表现。,同态滤波器的定义 因为两个函数乘积的傅立叶变换不是可分离的，也即： Ff(x,y) Fi(x,y)Fr(x,y) 然而假设我们定义 z(x,y) = ln f(x,y) = ln i(x,y)r(x,y) = ln i(x,y) + ln r(x,y),则有： Fz(x,y) = Fln f(x,y) = Fln i(x,y) + Fln r(x,y) 或 Z(u,v) = I(u,v) + R(u,v) 其中I(u,v) 和R(u,v)分别是ln i(x,y) 和ln r(x,y)的傅立叶变换。 用过滤器函数H(u,v)

36、的方法处理Z(u,v)，有： S(u,v) = H(u,v)Z(u,v) = H(u,v)I(u,v) + H(u,v)R(u,v) 其中S(u,v)是结果图像的傅立叶变换 在空域中： s(x,y) = F-1S(u,v) = F-1H(u,v)I(u,v) + F-1H(u,v)R(u,v),通过设： i(x,y) = F-1H(u,v)I(u,v) r(x,y) = F-1H(u,v)R(u,v) 则： s(x,y) = i(x,y) + r(x,y),又： g(x,y) = exps(x,y) = expi(x,y) expr(x,y) = i0(x,y)r0(x,y) 其中 i0(x,

37、y) = expi(x,y) 和 r0(x,y) = expr(x,y) 是输出图像的明度和反射分量。 g 0(x,y) = i0(x,y) r0(x,y),利用前述概念进行增强的方法可以归纳为： 这个方法基于一类称作同态系统的特殊情况。在此特定应用中，问题的关键在于将明度和反射分量用进行分离。同态过滤器函数H(u,v)能够分别对这两部分进行操作。,同态过滤器的效果分析 图像的明度分量的特点是平缓的空域变化，而反射分量则近于陡峭的空域变化 这些特性使得将图像的对数的傅立叶变换的低频部分对应于明度分量，而高频部分对应于反射分量 尽管这种对应关系只是一个粗略的近似，但它们可以用于优化图像的增强操作。,一个好的控制可以通过用同态过滤器对明度和反射分量分别操作来得到。 这个控制要求指定一个过滤器函数H(u,v)，它对于傅立叶变换的低频和高频部分的影响是不同的,如果参数L和H的选取使得 L 1 前图所示的过滤器函数将减少低频部分、扩大高频部分，最后的结果将是既压缩了有效范围，又扩大了对比度。,本 次 授 课 结 束 谢 谢 ！,