《2018_2019学年高中数学第一章三角函数章末复习课学案北师大版必修420190108250.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018_2019学年高中数学第一章三角函数章末复习课学案北师大版必修420190108250.pdf（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第一章 三角函数第一章 三角函数 章末复习课 网络构建 核心归纳 1三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能 正确迅速地进行弧度与角度的换算 （2）掌握任意的角的正弦、余弦和正切的定义，能 正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题， 能求三角函数的定义域和一些简单三角函 数的值域 2诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变， 符号看象限”牢记所有诱导公式 善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用， 通过这些公式进行化简、 求值， 达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提
2、高的目的 3三角函数的图像与性质 函数ysin xycos xytan x 图像 定义域R RR RError!，Error!(kZ Z) 值域1,11,1(，) 续表 最值 x2k(kZ Z) 2 时，ymax1；x2k x2k(kZ Z)时， ymax1；x2k (kZ Z)时，ymin 无最大值、最小值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (kZ Z)时，ymin 2 1 1 周期性周期T2k(kZ Z)周期T2k(kZ Z)周期Tk(kZ Z) 奇偶性奇函数偶函数奇函数 单调性 在 2k 2 ，2k 2 (kZ Z)上是增函数； 在 2k 2 ，2k3 2 (kZ Z)上是减函
3、数 在2k， 2k(kZ Z)上是增 函数；在2k，2k (kZ Z)上是减 函数 在区间(k，k 2 )(kZ Z)上是增 2 函数 对称性 轴对称图形，对称轴 方程是xk，k 2 Z Z；中心对称图形， 对称中心(k，0)(k Z Z) 轴对称图形，对称轴 方程是xk，kZ Z ； 中心对称图形，对称 中心(k (k 2 ，0) Z Z) 中心对称图形，对称 中心(kZ Z) ( k 2 ，0) 4.三角函数的图像与性质的应用 (1)重点掌握“五点法” ，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如 周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对
4、称中 心之间位置关系等能从三角函数的图像归纳出函数的性质 (2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性在运用三角函 数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试 题完整准确地进行解答 要点一 任意角的三角函数的定义 有关三角函数的概念主要有以下两个方面： (1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算 (2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三 角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域 【例 1】 已知 cos m，|m|1，求 sin ，
5、tan 的值 解 (1)当m0 时，2k，kZ Z； 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当2k时，sin 1，tan 不存在； 2 当2k时，sin 1，tan 不存在 2 (2)当m1 时，2k，kZ Z，sin tan 0. 当m1 时，2k，kZ Z，sin tan 0. (3)当在第一、二象限时， sin ，tan .1m2 1m2 m (4)当在第三、四象限时， sin ，tan .1m2 1m2 m 【训练 1】 已知角的终边经过点P(，m) (m0)且 sin m，试判断角所在3 2 4 的象限，并求 cos 和 tan 的值 解 由题意，得r，3m2 所以 sin
6、 m. m 3m2 2 4 因为m0，所以m，故角是第二或第三象限角5 当m时，r2，点P的坐标为(，)，角是第二象限角，5235 所以 cos ， x r 3 2 2 6 4 tan ； y x 5 3 15 3 当m时，r2， 点P的坐标为(， )， 角是第三象限角， 所以 cos 5235 x r ， 3 2 2 6 4 tan . y x 5 3 15 3 要点二 诱导公式的应用 (1)对于 ，2记忆为“函数名不变，符号看象限” (2)对于记忆为“函数名改变，符号看象限” 2 注意： 名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化 “符号看象限”是指把看作锐角时原函数值的符号 其作
7、用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角” 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【 例 2】 (1)若(注 ： 对 任 意 角有 sin2 cos2 1 成 立 )， 则 ( 2 ，) ( )12sinsin(3 2 ) Asin cos Bcos sin C(sin cos )Dsin cos (2)已知f(x)asin(x)bcos(x)，其中， a，b均为非零实数，若 f(2 016)1，则f(2 017)等于_ 解析 (1) 12sinsin(3 2 ) |sin cos |，又，12sin cos ( 2 ，) sin cos 0， 故原式sin cos . (2)由诱导公式
8、知f(2 016)asin bcos 1， f(2 017)asin()bcos() (asin bcos )1. 答案 (1)A (2)1 【训练 2】 已知角的终边经过点P. ( 4 5， 3 5) (1)求 sin 的值； (2)求的值 sin( 2 ) sin tan cos3 解 (1)|OP|1， 点P在单位圆上 由正弦函数的定义得 sin . 3 5 (2)原式 cos sin tan cos ， sin sin cos 1 cos 由余弦函数的定义得 cos .故所求式子的值为 . 4 5 5 4 要点三 三角函数的图像及变换 1 用 “五点法” 作yAsin(x)的图像时，
9、确定五个关键点的方法是分别令x0， ， ，2. 2 3 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2对于yAsin(x)h，应明确A、决定“变形” ，、h决定“位变” ，A影响值 域，影响周期，A、影响单调性针对x的变换，即变换多少个单位，向左或向右 很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别 【例 3】 函数f(x)Asin(x)的一段图像如图 (A0，0，| 2) (1)求f(x)的解析式； (2)把f(x)的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？ 解 (1)A3，5， 2 4 3(4 4) 故 . 2 5 由f(x)3sin过得 s
10、in0. ( 2 5x) ( 4 ，0) ( 10) 又|，故， 2 10 故f(x)3sin. ( 2 5x 10) (2)由f(xm)3sin2 5xm 10 3sin为偶函数(m0)， ( 2 5x 2 5m 10) 知k(kZ Z)，即mk(kZ Z) 2m 5 10 2 5 2 3 2 m0，mmin. 3 2 故至少把f(x)的图像向左平移个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数 3 2 【训练 3】 已知函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可能为( ) Af(x)2sin(x 2 6) Bf(x)cos2 (4x 4) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打
11、印 Cf(x)2cos(x 2 3) Df(x)2sin(4x 6) 解析 由图像知周期T4，则 ，排除 B、D；由f(0)1，可排除 A. 1 2 答案 C 要点四 三角函数的性质 三角函数的性质，重点应掌握ysin x，ycos x，ytan x的定义域、值域、单调性、奇 偶性、 对称性等有关性质， 在此基础上掌握函数yAsin(x)，yAcos(x)及y Atan(x)的相关性质在研究其相关性质时，将x看成一个整体，利用整体代 换思想解题是常见的技巧 【例 4】f(x)是定义在 R R 上的偶函数，对任意实数x满足f(x2)f(x)，且f(x)在 3，2上单调递减，而，是锐角三角形的两个
12、内角，求证 ：f(sin )f(cos ) 证明 f(x2)f(x)， yf(x)的周期为 2. f(x)在1,0与3，2上的单调性相同 f(x)在1,0上单调递减 f(x)是偶函数， f(x)在0,1上的单调性与1,0上的单调性相反 f(x)在0,1上单调递增 ，是锐角三角形的两个内角， ， 2 ，且，. 2(0， 2) 2(0， 2) 又ysin x在上单调递增， (0， 2) sin sincos ，即 sin cos . ( 2 ) 由，得f(sin )f(cos ) 【训练 4】 已知a0，函数f(x)2asin(2x)2ab，当x时， 60， 2 5f(x)1. (1)求常数a，b
13、的值； (2)设g(x)f且 lg g(x)0，求g(x)的单调区间 (x 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 (1)x，2x. 0， 2 6 6 ，7 6 sin， (2x 6) 1 2，1 2asin2a，a (2x 6) f(x)b,3ab， 又5f(x)1， b5,3ab1， 因此a2，b5. (2)由(1)得a2，b5， f(x)4sin1， (2x 6) g(x)f4sin1 (x 2)(2x 7 6) 4sin1， (2x 6) 又由 lg g(x)0 得g(x)1， 4sin11， (2x 6) sin ， (2x 6) 1 2 2k2x2k，kZ Z， 6
14、6 5 6 其中当 2k2x2k，kZ Z 时，g(x)单调递增， 即kxk，kZ Z， 6 6 2 6 g(x)的单调增区间为，kZ Z. (k，k 6) 又当 2k2x2k，kZ Z 时，g(x)单调递减， 即kxk，k 2 6 5 6 6 3 Z Z. g(x)的单调减区间为，kZ Z. (k 6 ，k 3) 要点五 三角函数的综合应用 (1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们 的相互制约关系，准确地进行等价转化； (2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义 域的要求一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用
15、图像法或单位圆法； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行； (4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法， 在证明有关函数的周期性问题时， 也常用周期函数的定义来处理 【例 5】 已知函数f(x)log. 1 2 2sin (x 4) (1)求它的定义域和值域、单调区间； (2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期 解 令u(x)sin.2 (x 4) f(x)log 1 2 2sin (x 4) log sin. 1 2 1 2 (x 4) (1)要使f(x)有意义，则 sin0，所以 2kx(2k
16、1)(kZ Z)，即x (x 4) 4 (kZ Z) (2k 4 ，2k5 4) 因为 0sin1，所以 0sin， (x 4) 2 (x 4) 2 所以f(x)logu(x) . 1 2 1 2 所以f(x)的值域为. 1 2，) x时，u(x)是增函数，所以f(x)logu(x)是减函数 4(2k，2k 2) 1 2 所以x时，函数是减函数 (2k 4 ，2k3 4) 同理可求得x(kZ Z)时，函数是增函数 2k 3 4 ，2k5 4) (2)因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数 又f(x2) log sin 1 2 1 2 (x2 4) log sinf(x)
17、， 1 2 1 2 (x 4) 其中x(kZ Z)，所以f(x)是周期函数，且最小正周期是 2. (2k 4 ，2k5 4) 【训练 5】 函数f(x)cos x2|cos x|在0,2上与直线ym有且仅有 2个交点，求m 的取值范围 解 f(x) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 Error! 如图： 由图可知：当m0 或 1m3 时，直线ym与f(x)的图像有且仅有 2 个交点. 基础过关 1sin(60)的值是( ) A B. 1 2 1 2 C D. 3 2 3 2 解析 sin(60)sin 60. 3 2 答案 C 2 已知角是第二象限角， 角的终边经过点P(x,4)，
18、且 cos ， 则 tan x 5 ( ) A. B. 4 3 3 4 CD 3 4 4 3 解析 是第二象限角，且终边经过点P(x,4) x0. cos ，x3.则P(3,4) x x242 x 5 tan . 4 3 4 3 答案 D 3已知 2sin1，则 cos()( ) ( 2) A.B 1 2 1 2 C.D 3 2 3 2 解析 2sin2cos 1， ( 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 cos ，cos()cos ，故选 B. 1 2 1 2 答案 B 4已知扇形AOB的周长是 6，圆心角是 1 弧度，则该扇形的面积为_ 解析 由 2Rl6， 1，得Rl2，
19、l R S 222. 1 2 答案 2 5函数y3sin在区间上的最大值是_，此时自变量x_. (2x 3)0， 2 解析 x， 2x.令u2x， 又函数ysin u在 (0， 2) 3 3 2 3 3 上的最大值为 1， 3 ，2 3 函数y3sin在区间上的最大值是 313， 此时自变量 2x， 即x (2x 3)(0， 2) 3 2 . 5 12 答案 1 5 12 6计算cos 585tan. 3sin1 200 tan11 3 ( 37 4) 解 原式cos 225tan 3sin120 tan2 3 4 cos(cos 45)tan3 6 ( 1 tan 3) 4 1.3 3 2(
20、 3 3) ( 2 2) 3 2 2 2 3 2 2 7已知函数f(x)3sin1，xR R，求： ( 1 2x 4) (1)函数f(x)的最小值及此时自变量x的取值集合； (2)函数ysin x的图像经过怎样的变换得到函数f(x)3sin1 的图像 ( 1 2x 4) 解 (1)函数f(x)的最小值是 3(1)14， 此时有x2k，解得x4k(kZ Z)， 1 2 4 2 3 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即函数f(x)的最小值是4，此时自变量x的取值集合是Error!. (2)步骤是： 将函数ysin x的图像向左平移个单位长度，得到函数ysin的图像； 4(x 4) 将
21、函数ysin的图像上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函 (x 4) 数 ysin的图像； ( 1 2x 4) 将函数ysin的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的 3 倍(横坐标不变)，得到 ( 1 2x 4) 函数 y3sin的图像； ( 1 2x 4) 将函数y3sin的图像向下平移 1 个单位长度， 得函数y3sin1 的图 ( 1 2x 4)( 1 2x 4) 像 能力提升 8若直线x(1k1)与函数ytan的图像不相交，则k( ) k 2(2x 4) A.B 1 4 3 4 C. 或 D. 或 1 4 3 4 1 4 3 4 解析 由 2xn.nZ Z，得x. 4
22、2 8 n 2 由题意得，k， k 2 8 n 2 14n 4 又1k1. k 或k . 1 4 3 4 答案 C 9设函数f(x)2sin(x)，xR R，其中0，|2， 所以 01，所以 ，2k1，由| 得，故选 A. 2 3 1 12 12 答案 A 10已知 tan 2，则_. sin( 2 )cos sin( 2 )sin 解析 原式2. cos cos cos sin 2cos cos sin 2 1tan 答案 2 11对于函数f(x)Error!给出下列四个命题： 该函数是以 为最小正周期的周期函数； 当且仅当xk(kZ Z)时，该函数取得最小值1； 该函数的图像关于x2k(k
23、Z Z)对称； 5 4 当且仅当 2kx2k(kZ Z)时，0f(x). 2 2 2 其中正确命题的序号是_(请将所有正确命题的序号都填上) 解析 画出f(x)在一个周期0,2上的图像 由图像知， 函数f(x)的最小正周期为 2， 在x2k(kZ Z)和x2k(kZ Z)时， 3 2 该函数都取得最小值1，故错误，由图像知，函数图像关于直线x2k(kZ Z) 5 4 对称，在 2kx2k(kZ Z)时，0f(x).故正确 2 2 2 答案 12已知函数ysin，求： ( 3 2x) (1)函数的周期； (2)求函数在，0上的单调递减区间 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解 由ysi
24、n可化为ysin. ( 3 2x) (2x 3) (1)周期T. 2 2 2 (2)令 2k2x2k，kZ Z， 2 3 2 得k xk，kZ Z. 12 5 12 所以xR R 时，ysin的单调递减区间为，kZ Z. ( 3 2x) k 12，k 5 12 从而x，0时，ysin的单调递减区间为，. ( 3 2x) ， 7 12 12，0 13(选做题)已知函数f(x)Asin(x)在一个周期内的图像如图所示 (1)求f(x)的解析式； (2)求ffff的值 ( 4)( 2 4)( 3 4)( 2 015 4) 解 (1)由图像可知A2， 周期T2， ( 7 12 12) 所以2， 2 T 2 则f(x)2sin(2x)， 由图像过点， ( 12，2) 得 2sin2， (2 12) 即 sin1， ( 6 ) 取得， 6 2 3 故f(x)2sin. (2x 3) (2)由(1)可知f(x)的周期为 ， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为ffff110， ( 4)( 2 4)( 3 4)( 4 4) 33 所以ffff ( 4)( 2 4)( 3 4)( 2 015 4) 0503fff ( 2 013 4)( 2 014 4)( 2 015 4) fff11 ( 4)( 2 4)( 3 4) 3 .3