《2019届高三数学（理）二轮专题复习文档：专题三立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高三数学（理）二轮专题复习文档：专题三立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 Word版含解析.pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 1 讲 空间几何体的三视图、表面积和体积讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主 要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结 合，面积与体积的计算作为其中的一问. 真 题 感 悟 1.(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的 凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方 体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长 方体， 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 解析 由题意知，在咬合时带卯眼的木构件
2、中，从俯视方向看，榫头看不见，所 以是虚线，结合榫头的位置知选 A. 答案 A 2.(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的 平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.12 B.12 C.8 D.1022 解析 因为过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所以 圆柱的高为 2， 底面圆的直径为 2.所以 S表面积2()22212.22222 答案 B 3.(2018天津卷)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， 除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H， 高
3、清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 M(如图)，则四棱锥 MEFGH 的体积为_. 解析 连接 AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为 E，H 分别为 AD1，CD1的中点， 所以 EHAC， EH AC.因为 F， G 分别为 B1A， B1C 的中点， 所以 FGAC， FG 1 2 AC.所以EHFG， EHFG， 所以四边形EHGF为平行四边形， 又EGHF， EH 1 2 HG， 所以四边形 EHGF 为正方形.又点 M 到平面 EHGF 的距离为 ， 所以四棱锥 M 1 2 EFGH 的体积为 . 1 3( 2 2) 2 1 2 1 12 答案 1 12 4.(2017全
4、国卷)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径.若平面 SCA平面 SCB， SAAC， SBBC， 三棱锥 SABC 的体积为 9， 则球 O 的表面积为_. 解析 如图，连接 OA，OB，因为 SAAC，SBBC，SC 为球 O 的直径，所 以 OASC， OBSC. 因为平面SAC平面SBC， 平面SAC平面SBCSC， 且OA平 面SAC， 所以OA平面 SBC. 设球的半径为 r，则 OAOBr，SC2r， 所以 VASBC SSBCOA 2rrr r3， 1 3 1 3 1 2 1 3 所以 r39r3，所以球的表面积为 4r236. 1 3
5、答案 36 考 点 整 合 1.空间几何体的三视图 (1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等. (2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确 定几何体. 2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的表面积公式： 圆柱的表面积 S2r(rl)； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 圆锥的表面积 Sr(rl)； 圆台的表面积 S(r2r2rlrl)； 球的表面积 S4R2. (2)柱体、锥体和球的体积公式： V柱体Sh(S 为底面面积，h 为高)； V锥体 Sh(S 为底面面积，h 为高)； 1 3 V球 R3. 4
6、3 热点一 空间几何体的三视图与直观图 【例 1】 (1)(2018兰州模拟)中国古代数学名著九章算 术中，将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”.已知某 “堑 堵”的正视图和俯视图如图所示， 则该 “堑堵” 的侧视图的面积为 ( ) A.18 B.1863 C.18 D.2 27 2 2 (2)(2018全国卷)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图.圆柱表面上 的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B， 则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( ) A.2 B.2 C.3 D.2175 解析 (1)在俯视图 RtAB
7、C 中，作 AHBC 交于 H. 由三视图的意义， 则 BH6，HC3， 根据射影定理，AH2BHHC，AH3 . 2 易知该 “堑堵”的侧视图是矩形， 长为6， 宽为AH3.故侧视图的面积S6322 18 . 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)由三视图可知， 该几何体为如图所示的圆柱， 该圆柱的高为 2， 底面周长为 16. 画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接 MN，则 MS2，SN4.则从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为2.MS2SN222425 答案 (1)C (2)B 探究提高 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确 认.二要熟悉
8、常见几何体的三视图. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对 应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状. 【训练 1】 (1)如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 点 P 是平面 A1B1C1D1内一点，则三棱锥 PBCD 的正视图与侧视图的面积之和 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2017北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 ( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.3 B.2 C.2 D.
9、2232 解析 (1)设点 P 在平面 A1ADD1的射影为 P， 在平面 C1CDD1 的射影为 P，如图所示. 三棱锥 PBCD 的正视图与侧视图分别为PAD 与 PCD， 因此所求面积 SSPADSPCD 12 122. 1 2 1 2 (2)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥 PABCD)如图 所示，将该四棱锥放入棱长为 2 的正方体中.由图可知该四棱 锥的最长棱为 PD， PD2.2222223 答案 (1)B (2)B 热点二 几何体的表面积与体积 考法 1 空间几何体的表面积 【例 21】 (1)(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示， 其中正视图和侧视图都由正方形和等腰
10、直角三角形组成，正方 形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面 中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A.10 B.12 C.14 D.16 (2)(2018西安模拟)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，粗实线画出的是某几 何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.20 B.24 C.28 D.32 解析 (1)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相 同的梯形的面，S梯 (24)26，S全梯6212. 1 2 (2)由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体， S圆锥侧315， S圆柱侧2124， S圆锥
11、底323242 9. 故几何体的表面积 S154928. 答案 (1)B (2)C 探究提高 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中 各元素之间的位置关系及度量大小；(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积 公式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 【训练 2】 (1)(2016全国卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及 每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是( ) 28 3 A.17 B.18 C.20 D.28 (2)(2018烟台二模
12、)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧， 则几何体的表面积为( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.342 B.32222 C.22 D.22 3 2 2 3 2 2 解析 (1)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被 过球心 O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的 后得到的组合 1 8 体，其表面积是球面面积的 和三个 圆面积之和，易得球的半 7 8 1 4 径为 2， 则得 S 4223 2217. 7 8 1 4 (2)由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱，由对称性，几何体的底 面面积 S底12()22.2 几何体表面积 S2(2) (2
13、12)S底2 1 2 422342.22 答案 (1)A (2)A 考法 2 空间几何体的体积 【例 22】 (1)(2018河北衡水中学调研)某几何体的三视图如图所示， 则该几何 体的体积为( ) A.6 B.4 C. D. 22 3 20 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 1 4 _. 解析 (1)由三视图知该几何体是边长为 2 的正方体挖去一个三 棱柱(如图)， 且挖去的三棱柱的高为 1，底面是等腰直角三角形， 等腰直角三角 形的直角边长为 2.故几何体体积 V23 221 1 2 6. (2)该几
14、何体由一个长、宽、高分别为 2，1，1 的长方体和两个底面半径为 1，高 为 1 的 圆柱体构成. 1 4 所以 V2112 1212 . 1 4 2 答案 (1)A (2)2 2 探究提高 1.求三棱锥的体积 ： 等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求， 底面放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则 几何体以易于求解. 【训练 3】 (1)(2018江苏卷)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心 为顶点的多面体的体积为_. (2)(2018北京燕博园质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) 高清试卷 下
15、载可打印 高清试卷 下载可打印 A.8 B.4 16 3 16 3 C.84 D.48 3 解析 (1)正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其 中正八面体的所有棱长都是.则该正八面体的体积为 ()212 .2 1 3 2 4 3 (2)该图形为一个半圆柱中间挖去一个四面体， 体积V 224 244 1 2 1 3 1 2 8. 16 3 答案 (1) (2)A 4 3 热点三 多面体与球的切、接问题 【例3】 (2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球. 若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是( ) A.4 B. C.
16、6 D. 9 2 32 3 解析 由 ABBC，AB6，BC8，得 AC10. 要使球的体积 V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切， 设底面ABC 的内切圆的半径为 r. 则 68 (6810)r，所以 r2. 1 2 1 2 2r43，不合题意. 球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径 R 最大. 由 2R3，即 R .故球的最大体积 V R3 . 3 2 4 3 9 2 答案 B 【迁移探究 1】 若本例中的条件变为 “直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上”，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，求球 O 的表面积. 解 将直三棱柱补形为长
17、方体 ABECA1B1E1C1， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则球 O 是长方体 ABECA1B1E1C1的外接球. 体对角线 BC1的长为球 O 的直径. 因此 2R13.3242122 故 S球4R2169. 【迁移探究 2】 若将题目的条件变为“如图所示是一个几何体的三视图”试求该 几何体外接球的体积. 解 该几何体为四棱锥，如图所示，设正方形 ABCD 的中心为 O，连接 OP. 由三视图，PHOH1， 则 OP.OH2PH22 又 OBOCODOA . 2 点 O 为几何体外接球的球心， 则 R，V球 R3.2 4 3 8 2 3 探究提高 1.与球有关的组合体问题，
18、一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组 合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球 心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点 P，A，B，C 中 PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两 垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题. 【训练 4】 (2018广州三模)三棱锥 PABC 中， 平面 PAC平面 ABC， ABAC， PAPCAC2，AB4，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为( ) A.23 B. C.64 D. 23 4 64 3 解析 如图， 设O为正PAC的中心， D为RtABC斜边的中点，
19、H 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 为 AC 中点. 由平面 PAC平面 ABC.则 OH平面 ABC.作 OOHD， ODOH，则 交点 O 为三棱锥外接球的球心，连接 OP，又 OP PH 2， OODH 2 3 2 3 3 2 2 3 3 AB2.R2OP2OP2OO2 4. 1 2 4 3 16 3 故几何体外接球的表面积 S4R2. 64 3 答案 D 1.求解几何体的表面积或体积 (1)对于规则几何体，可直接利用公式计算. (2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体 积转换法求解. (3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，
20、圆锥的轴截面是 等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用. (4)求解几何体的表面积时要注意 S表S侧S底. 2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为 a 的正方体的外接球、内 切球、棱切球的半径分别为a，a. 3 2 a 2 2 2 3.锥体体积公式为 V Sh，在求解锥体体积中，不能漏掉 . 1 3 1 3 一、选择题 1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中 构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成， 相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在 一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观 性所作的辅助线. 当其正
21、视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( ) 解析 由直观图知， 俯视图应为正方形， 又上半部分相邻两曲面的交线为可见线， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 在俯视图中应为实线，因此，选项 B 可以是几何体的俯视图. 答案 B 2.(2018北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥 P ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的 个数为 3，是PAD，PCD，PAB. 答案 C 3.(2018湖南师大附中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
22、表面积为 ( ) A.8(4) B.8(8) C.16(4) D.16(8) 解析 由三视图还原原几何体如右图：该几何体为两个空心半圆柱相切，半圆柱 的半径为 2， 母线长为 4， 左右为边长是 4 的正方形.该几何体的表面积为 244 2242(4422)6488(8). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 B 4.(2017全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个 球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A. B. C. D. 3 4 2 4 解析 如图画出圆柱的轴截面 ABCD， O 为球心.球半径 ROA 1，球心到底面圆的距离为 OM . 1 2
23、 底面圆半径 r，故圆柱体积 Vr2hOA2OM2 3 2 1. ( 3 2) 2 3 4 答案 B 5.(2018北京燕博园押题)某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆 弧，则该几何体的体积为( ) A. B. C. D. 4 3 5 3 7 6 11 6 解析 由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与 个球组成的组合体，其体积为 1 8 1 2 123 13. 1 8 4 3 5 3 答案 B 6.(2018全国卷)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 为等边三角形且其面积为 9，则三棱锥 DABC 体积的最大值
24、为( )3 A.12 B.18 C.24 D.543333 解析 设等边ABC 的边长为 x，则 x2sin 609，得 x6.设ABC 的外接 1 2 3 圆半径为 r， 则 2r， 解得 r2， 所以球心到ABC 所在平面的距离 d 6 sin 60 3 2，则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1d46.所以三棱锥42（2 3）2 DABC 体积的最大值 Vmax SABC6 9618. 1 3 1 3 33 答案 B 二、填空题 7.(2018浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积 (单位：cm3)为_. 解析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形
25、的直四棱柱，所以该几何 体的体积 V (12)226. 1 2 答案 6 8.(2018郑州质检)已知长方体 ABCDA1B1C1D1内接于球 O，底面 ABCD 是边长 为 2 的正方形，E 为 AA1的中点，OA平面 BDE，则球 O 的表面积为_. 解析 取 BD 的中点为 O1，连接 OO1，OE，O1E，O1A， 则四边形 OO1AE 为矩形，OA平面 BDE，OAEO1，即四边形 OO1AE 为 正方形，则球 O 的半径 ROA2，球 O 的表面积 S42216. 答案 16 9.(2018武汉模拟)某几何体的三视图如图所示， 其中正视图的轮廓是底边为 2，3 高为 1 的等腰三角
26、形，俯视图的轮廓为菱形，侧视图是个半圆.则该几何体的体 积为_. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由三视图知，几何体是由两个大小相同的半圆锥的组合体. 其中 r1，高 h . 3 故几何体的体积 V 12. 1 3 3 3 3 答案 3 3 三、解答题 10.在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1 A1CACABBC2， 且点 O 为 AC 中点. (1)证明：A1O平面 ABC； (2)求三棱锥 C1ABC 的体积. (1)证明 因为 AA1A1C，且 O 为 AC 的中点， 所以 A1OAC， 又面 AA1C1C平面 ABC，平面 AA1C1C平
27、面 ABCAC，且 A1O平面 AA1C1C， A1O平面 ABC. (2)解 A1C1AC，A1C1平面 ABC，AC平面 ABC， A1C1平面 ABC，即 C1到平面 ABC 的距离等于 A1到平面 ABC 的距离. 由(1)知 A1O平面 ABC 且 A1O，AAAO23 VC1ABCVA1ABC SABCA1O 21. 1 3 1 3 1 2 33 11.(2018长春模拟 )如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB 平面ABCD，PA PB，ADBC， ABAC， AD BC1， PD3， BAD120， M 1 2 为 PC 的中点. (1)证明：DM平面 PAB； (2)求四面体
28、 MABD 的体积. (1)证明 取 PB 中点 N，连接 MN，AN. M 为 PC 的中点，MNBC 且 MN BC， 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又 ADBC，且 AD BC，得 MN 綉 AD. 1 2 ADMN 为平行四边形，DMAN. 又 AN平面 PAB，DM平面 PAB，DM平面 PAB. (2)解 取 AB 中点 O，连接 PO，PAPB，POAB， 又平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，PO平面 PAB， 则 PO平面 ABCD，取 BC 中点 H，连接 AH， ABAC，AHBC，又ADBC，BAD120， ABC60，RtABH 中，BH BC1，AB2， 1 2 AO1，又 AD1， AOD 中，由余弦定理知，OD . 3 RtPOD 中，PO.PD2OD26 又 SABD ABADsin 120， 1 2 3 2 VMABD SABD PO. 1 3 1 2 2 4