2019届高三数学（理）二轮专题复习文档：专题五解析几何 第1讲 直线与圆 Word版含解析.pdf

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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 1 讲 直线与圆讲 直线与圆 高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系 是本讲高考的重点；2.考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、 直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题. 真 题 感 悟 1.(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴、 y 轴交于 A， B 两点， 点 P 在圆(x 2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是( ) A.2，6 B.4，8 C.，3 D.2，32222 解析 由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径 r，圆心到直线 xy20 的距

2、2 离 d2， 所以圆上的点到直线的最大距离是 dr3， 最小距离是 d |22| 11 22 r.易知 A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以 2SABP6.22 答案 A 2.(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方 程为_. 解析 法一 设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则 解得 D2，E0，F0，故圆的方程为 x2y22x0. F0， 11DEF0， 42DF0， ) 法二 设 O(0， 0)， A(1， 1)， B(2， 0)， 所以 kOA1， kAB1， 所以 kOAkAB 10 12 1，所以 OAA

3、B.所以 OB 为所求圆的直径，所以圆心坐标为(1，0)，半径为 1.故 所求圆的方程为(x1)2y21，即 x2y22x0. 答案 x2y22x0 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.(2016全国卷)设直线 yx2a 与圆 C： x2y22ay20 相交于 A， B 两点， 若|AB|2，则圆 C 的面积为_.3 解析 圆 C 的标准方程为 x2(ya)2a22， 圆心为 C(0， a)， 点 C 到直线 yx 2a 的距离为 d.又|AB|2， 得a22， 解得 a22. |0a2a| 2 |a| 2 3 ( 2 3 2) 2 ( |a| 2) 2 所以圆 C 的面积为 (a

4、22)4. 答案 4 4.(2018江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y2x 上在第一象限内 的点， B(5， 0)， 以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若0， 则点 AAB CD 的横坐标为_. 解析 因为0，所以 ABCD，又点 C 为 AB 的中点，所以BAD45.AB CD 设直线l的倾斜角为， 直线AB的斜率为k， 则tan 2， ktan3.又B(5， ( 4) 0)，所以直线 AB 的方程为 y3(x5)，又 A 为直线 l：y2x 上在第一象限内 的点，联立解得所以点 A 的横坐标为 3. y3（x5）， y2x，) x3， y6，) 答

5、案 3 考 点 整 合 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线 l1，l2的斜率 k1，k2存在，则 l1l2k1k2，l1l2k1k21. 若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.两个距离公式 (1)两平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20 间的距离 d. |C1C2| A2B2 (2)点(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d. |Ax0By0C| A2B2 3.圆的方程 (1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为 r. (2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为， ( D

6、 2 ，E 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 半径为 r. D2E24F 2 4.直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较：dr相离. (2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 来讨 论位置关系：0相交；0相切；0，b0)，则 1. x a y b 1 a 2 b a0，b0， 2. 1 a 2 b 2 ab 则 12， 2 ab ab8(当且仅当 ，即 a2，b4 时，取“”). 1 a 2 b 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 a2，b4 时，OAB 的面积最小. 此时 l 的

7、方程为 1，即 2xy40. x 2 y 4 答案 (1)B (2)A 探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2A2B10 建立方程求出 参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解， 同时要考 虑直线斜率不存在的情况是否符合题意. 【训练 1】 (1)(2018贵阳质检)已知直线 l1： mxy10，l2： (m3)x2y1 0，则“m1”是“l1l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知 l1，l2是分别经过 A(1，1)，B(0，1)两

8、点的两条平行直线，当 l1，l2间 的距离最大时，则直线 l1的方程是_. 解析 (1)“l1l2”的充要条件是“m(m3)120m1 或 m2”，因此“m1” 是“l1l2”的充分不必要条件. (2)当直线 AB 与 l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大. A(1，1)，B(0，1)，kAB2. 11 01 两平行直线的斜率 k . 1 2 直线 l1的方程是 y1 (x1)，即 x2y30. 1 2 答案 (1)A (2)x2y30 热点二 圆的方程 【例 2】 (1)圆心在直线 x2y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切， 圆 C 截 x 轴所 得的弦的长为 2，则圆 C 的标准方

9、程为_.3 (2)(2017天津卷)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若FAC120， 则圆的方程为_. 解析 (1)设圆心(a0)，半径为 a. (a， a 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由勾股定理得()2a2，解得 a2.3 ( a 2) 2 所以圆心为(2，1)，半径为 2， 所以圆 C 的标准方程为(x2)2(y1)24. (2)由题意知该圆的半径为 1，设圆心 C(1，a)(a0)，则 A(0，a). 又 F(1，0)，所以(1，0)，(1，a).AC AF 由题意知与的夹角为

10、120，AC AF 得 cos 120 ，解得 a. 1 1 1a2 1 2 3 所以圆的方程为(x1)2(y)21.3 答案 (1)(x2)2(y1)24 (2)(x1)2(y)213 探究提高 1.直接法求圆的方程， 根据圆的几何性质， 直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程. 2.待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的 标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值 ； (2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值. 温馨提

11、醒 解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质. 【训练2】 (1)一个圆经过椭圆 1的三个顶点， 且圆心在x轴的正半轴上， x2 16 y2 4 则该圆的标准方程为_. (2)(2018日照质检)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，)在圆 C 上，5 且圆心到直线 2xy0 的距离为，则圆 C 的方程为_. 4 5 5 解析 (1)由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，2)，(4，0)，(4，0).由 圆心在 x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，2)，(4，0). 设圆的标准方程为(xm)2y2r2， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则有

12、解得 m24r2， （4m）2r2，) m3 2， r225 4 ，) 所以圆的标准方程为y2. (x 3 2) 2 25 4 (2)圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a，0)，且 a0. 则圆心 C 到直线 2xy0 的距离 d， 解得 a2.圆 C 的半径 r |2a0| 5 4 5 5 |CM|3，因此圆 C 的方程为(x2)2y29.（20）2（0 5）2 答案 (1)y2 (2)(x2)2y29 (x 3 2) 2 25 4 热点三 直线(圆)与圆的位置关系 考法 1 圆的切线问题 【例 31】 (1)过点 P(3， 1)， Q(a， 0)的光线经 x 轴反射后与圆 x2y

13、21 相切， 则 a 的值为_. (2)(2018湖南六校联考)已知O： x2y21，点 A(0，2)，B(a，2)，从点 A 观 察点 B，要使视线不被O 挡住，则实数 a 的取值范围是( ) A.(，2)(2，) B. (， 4 3 3) ( 4 3 3 ，) C. (， 2 3 3) ( 2 3 3 ，) D.( 4 3 3 ， 4 3 3) 解析 (1)点 P(3，1)关于 x 轴的对称点为 P(3，1)， 所以直线 PQ 的方程为 x(a3)ya0. 依题意，直线 PQ 与圆 x2y21 相切. 1，解得 a . |a| 12（a3）2 5 3 (2)易知点 B 在直线 y2 上，过

14、点 A(0，2)作圆的切线. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 设切线的斜率为 k，则切线方程为 ykx2， 即 kxy20. 由 d1，得 k. |002| 1k2 3 切线方程为 yx2，和直线 y2 的交点坐标分别为，.3 ( 4 3 3 ，2) ( 4 3 3 ，2) 故要使视线不被O 挡住，则实数 a 的取值范围是. (， 4 3 3) ( 4 3 3 ，) 答案 (1) (2)B 5 3 考法 2 圆的弦长相关计算 【例 32】 (2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 yx2mx2 与 x 轴 交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0，1).当 m 变化时，解答

15、下列问题： (1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由； (2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. (1)解 不能出现 ACBC 的情况，理由如下： 设 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2满足方程 x2mx20， 所以 x1x22.又 C 的坐标为(0，1)， 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为 ， 1 x1 1 x2 1 2 所以不能出现 ACBC 的情况. (2)证明 BC 的中点坐标为，可得 BC 的中垂线方程为 y x2. ( x2 2 ，1 2) 1 2 (x x2 2) 由(1)可得 x1x2m， 所以 AB 的中垂线方程为 x . m 2

16、联立 xm 2 ， y1 2x 2(xx 2 2)， ) 又 x mx220， 2 2 由解得 x ，y . m 2 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为，半径 r. ( m 2 ，1 2) m29 2 故圆在 y 轴上截得的弦长为 23，r2(m 2) 2 即过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 探究提高 1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题 几何化，利用数形结合思想解题. 2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及 半弦长 ，构成直角三角形的三边，利用其关系

17、来处理. l 2 【训练 3】 (1)(2018石家庄调研)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy 0所得线段的长度是2， 则圆M与圆N： (x1)2(y1)21的位置关系是( )2 A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 (2)已知圆 C 的方程是 x2y28x2y80，直线 l：ya(x3)被圆 C 截得的 弦长最短时，直线 l 方程为_. 解析 (1)圆 M：x2y22ay0(a0)可化为 x2(ya)2a2，由题意，d， a 2 所以有 a22，解得 a2. a2 2 所以圆 M：x2(y2)222，圆心距为，半径和为 3，半径差为 1，所以两圆2 相交. (2)圆 C 的标

18、准方程为(x4)2(y1)29， 圆 C 的圆心 C(4，1)，半径 r3. 又直线 l：ya(x3)过定点 P(3，0)， 则当直线 ya(x3)与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短.因此 akCPa 1，a1. 10 43 故所求直线 l 的方程为 y(x3)，即 xy30. 答案 (1)B (2)xy30 1.解决直线方程问题应注意： (1)要注意几种直线方程的局限性.点斜式方程不能表示与 x 轴垂直的直线、截距 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线、 两点式方程不能表示与坐标轴垂 直的直线. (2)求直线方程要考虑直线斜率是否存

19、在. (3)求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2A2B10 建立方程求出参数的值 后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求圆的方程两种主要方法： (1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出 圆心坐标、半径，进而求出圆的方程. (2)待定系数法 ： 先设出圆的方程， 再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数， 进而求出圆的方程. 3.直线与圆相关问题的两个关键点 (1)三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线 的距离公式 d，弦长公式|AB|2(弦心距 d). |Ax0By0C| A2B2 r2d2 一、选择题

20、1.(2016全国卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离 为 1，则 a( ) A. B. C. D.2 4 3 3 4 3 解析 圆 x2y22x8y130 化为标准方程为(x1)2(y4)24， 故圆心为 (1，4).由题意，得 d1，解得 a . |a41| a21 4 3 答案 A 2.(2018昆明诊断)已知命题p： “m1”， 命题q： “直线xy0与直线xm2y 0 互相垂直”，则命题 p 是命题 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 解析 “直线xy0与直线xm2y0互相垂直”的充要条件是11(1)m

21、2 0m1. 命题 p 是命题 q 的充分不必要条件. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 A 3.过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2xy50 B.2xy70 C.x2y50 D.x2y70 解析 依题意知，点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，且为切点.圆心(1，0)与切 点(3， 1)连线的斜率为 ， 所以切线的斜率k2.故过点(3， 1)的切线方程为y1 1 2 2(x3)，即 2xy70. 答案 B 4.(2018衡水中学模拟)已知圆 C：(x1)2y225，则过点 P(2，1)的圆 C 的 所有弦中，以最长弦和最短弦为

22、对角线的四边形的面积是( ) A.10 B.93121 C.10 D.92311 解析 易知 P 在圆 C 内部，最长弦为圆的直径 10， 又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|，2 最短弦的长为 222，r2|PC|225223 故所求四边形的面积 S 10210. 1 2 2323 答案 C 5.(2018湖南师大附中联考)在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A(0， 3)， 直线 l： y2x 4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上，若圆 C 上存在点 M，使|MA|2|MO|，则圆 心 C 的横坐标的取值范围为( ) A. B.0，1 0， 12 5 C. D. 1， 12 5

23、(0， 12 5) 解析 设点 M(x， y)， 由|MA|2|MO|， 2， 化简得 x2(yx2（y3）2x2y2 1)24.点 M 的轨迹为以(0， 1)为圆心， 2 为半径的圆， 可记为圆 D.又点 M 在圆 C 上，圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切，1|CD|3，其中|CD| ，1a2(2a3)29，解之得 0a.a2（2a3）2 12 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 A 二、填空题 6.过点(1，1)的直线 l 与圆(x2)2(y3)29 相交于 A，B 两点，当|AB|4 时， 直线 l 的方程为_. 解析 易知点(1， 1)在圆内， 且直线l的斜率k存

24、在， 则直线l的方程为y1k(x 1)，即 kxy1k0. 又|AB|4，r3， 圆心(2，3)到 l 的距离 d.32225 因此，解得 k . |k2| k2（1）2 5 1 2 直线 l 的方程为 x2y30. 答案 x2y30 7.(2018济南调研)已知抛物线yax2(a0)的准线为l， 若l与圆C： (x3)2y21 相交所得弦长为，则 a_.3 解析 由yax2， 得x2 ， 准线l的方程为y.又l与圆C： (x3)2y21 y a 1 4a 相交的弦长为，1，则 a .3 ( 1 4a) 2 ( 3 2) 2 1 2 答案 1 2 8.某学校有 2 500 名学生，其中高一 1

25、 000 人，高二 900 人，高三 600 人，为了 了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取 100 人， 从高一和高三抽取样本数分别为 a，b，且直线 axby80 与以 A(1，1)为 圆心的圆交于 B，C 两点，且BAC120，则圆 C 的方程为_. 解析 由题意，a40，b24， 100 2 500 a 1 000 b 600 直线 axby80，即 5x3y10， A(1，1)到直线的距离为， |531| 259 3 34 直线axby80与以A(1， 1)为圆心的圆交于B， C两点， 且BAC120， r， 6 34 圆 C 的方程为(x1)2(y1)2.

26、 18 17 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 (x1)2(y1)218 17 三、解答题 9.已知点 A(3， 3)， B(5， 2)到直线 l 的距离相等， 且直线 l 经过两直线 l1： 3xy1 0 和 l2：xy30 的交点，求直线 l 的方程. 解 解方程组得即 l1与 l2的交点 P(1，2). 3xy10， xy30，) x1， y1，) 若点 A，B 在直线 l 的同侧，则 lAB. 而 kAB ， 32 35 1 2 由点斜式得直线 l 的方程为 y2 (x1)， 1 2 即 x2y50. 若点 A，B 分别在直线 l 的异侧， 则直线 l 经过线段 AB

27、的中点， (4， 5 2) 由两点式得直线 l 的方程为， y2 x1 5 22 41 即 x6y110. 综上所述，直线 l 的方程为 x2y50 或 x6y110. 10.已知圆 C： x2y22x4y30， 从圆 C 外一点 P(x1， y1)向该圆引一条切线， 切点为 M，O 为坐标原点，且有|PM|PO|，求使|PM|取得最小值时点 P 的坐标. 解 圆 C 的方程为(x1)2(y2)22， 圆心 C(1，2)，半径 r . 2 由|PM|PO|，得|PO|2|PM|2|PC|2|CM|2， x y (x11)2(y12)22. 2 12 1 整理，得 2x14y130， 即点 P

28、在直线 l：2x4y30 上. 当|PM|取最小值时，|PO|取最小值， 此时直线 POl， 直线 PO 的方程为 2xy0. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解方程组得 2xy0， 2x4y30，) x 3 10， y3 5， ) 故使|PM|取得最小值时，点 P 的坐标为. ( 3 10， 3 5) 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x 14y600 及其上一点 A(2，4). (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两

29、点，且|BC|OA|，求直线 l 的方 程. 解 圆 M 的标准方程为(x6)2(y7)225， 所以圆心 M(6，7)，半径为 5， (1)由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N(6， y0). 因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切， 所以 0y07，圆 N 的半径为 y0， 从而 7y05y0，解得 y01. 因此，圆 N 的标准方程为(x6)2(y1)21. (2)因为直线 lOA， 所以直线 l 的斜率为2. 40 20 设直线 l 的方程为 y2xm， 即 2xym0， 则圆心 M 到直线 l 的距离 d. |2 67m| 5 |m5| 5 因为|BC|OA|2，22425 又|MC|2d2， ( |BC| 2) 2 所以 255，解得 m5 或 m15. （m5）2 5 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故直线 l 的方程为 2xy50 或 2xy150.