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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 第第 3 讲 分类讨论、转化与化归思想讲 分类讨论、转化与化归思想 数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对 研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论， 最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击 破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时， 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形， 也就是转化到另一种 情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思 维方式. 热点一 分类讨论思想的应用 应用
2、1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论 【例 1】 (1)若函数 f(x)ax(a0，a1)在1，2上的最大值为 4，最小值为 m， 且函数 g(x)(14m)在0，)上是增函数，则 a_.x (2)在等比数列an中，已知 a3 ，S3 ，则 a1_. 3 2 9 2 解析 (1)若 a1，有 a24，a1m. 解得 a2，m . 1 2 此时 g(x)为减函数，不合题意.x 若 01 两种情况讨论. 2.利用等比数列的前 n 项和公式时，若公比 q 的大小不确定，应分 q1 和 q1 两种情况进行讨论，这是由等比数列的前 n 项和公式决定的. 【训练 1】 (1)(2018长沙一中质检)
3、已知 Sn为数列an的前 n 项和且 Sn2an2， 则 S5S4的值为( ) A.8 B.10 C.16 D.32 (2)函数 f(x)若 f(1)f(a)2，则 a 的所有可能取值的集 sin（x2），1 |PF2|，则的值为_. |PF1| |PF2| 解析 若PF2F190.则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 又因为|PF1|PF2|6，|F1F2|2，5 解得|PF1|，|PF2| ，所以 . 14 3 4 3 |PF1| |PF2| 7 2 若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2， 所以|PF1|2(6|PF1|)220， 所以|PF1|4，|PF2|2
4、，所以2. |PF1| |PF2| 综上知， 或 2. |PF1| |PF2| 7 2 答案 或 2 7 2 应用 3 由变量或参数引起的分类讨论 【例 3】 已知 f(x)xaex(aR，e 为自然对数的底数). (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若 f(x)e2x对 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围. 解 (1)f(x)1aex， 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)是(，)上的单调递增函数； 当 a0 时，由 f(x)0 得 xln a， 若 x(，ln a)，则 f(x)0；当 x(ln a，)，则 f(x)0，g(x)0， g(x)在(，0)上单调递增. 当 x0 时
5、，1e2x0，则t0)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P，Q 两点.若 线段 PF 与 FQ 的长度分别为 p，q，则 等于( ) 1 p 1 q A.2a B. C.4a D. 1 2a 4 a (2)(2017浙江卷)已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是 _，最大值是_. 解析 (1)抛物线 yax2(a0)的标准方程为 x2 y(a0)，焦点 F. 1 a (0， 1 4a) 过焦点 F 作直线垂直于 y 轴，则|PF|QF|， 1 2a 4a. 1 p 1 q (2)由题意，不妨设 b(2，0)，a(cos ，sin )， 则 ab(2cos ，sin
6、)，ab(cos 2，sin ). 令 y|ab|ab| （2cos ）2sin2（cos 2）2sin2 ，54cos 54cos 令 y，54cos 54cos 则 y210216，20.2516cos2 由此可得(|ab|ab|)max2，205 (|ab|ab|)min4，16 即|ab|ab|的最小值是 4，最大值是 2 . 5 答案 (1)C (2)4 2 5 探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可 以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.对于某些选择题、填空题，如
7、果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定 值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案. 【训练 4】 (1)如果 a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，公差 d0，那 么( ) A.a1a8a4a5 B.a1a8a4a5 D.a1a8a4a5 (2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列， 则_. cos Acos C 1cos Acos C 解析 (1)取特殊数列an，其中 ann(nN*). 显然 a1a881，都有 f(xt)3ex，试求 m 的最大值. 解 当 t1，)且 x1，m时，xt0， f(xt)3exextext1l
8、n xx. 原命题等价转化为：存在实数 t1，)，使得不等式 t1ln xx 对任 意 x1，m恒成立. 令 h(x)1ln xx(1xm).h(x) 10， 1 x 函数 h(x)在1，)上为减函数， 又 x1，m，h(x)minh(m)1ln mm. 要使得对任意 x1，m，t 值恒存在， 只需 1ln mm1. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 h(3)ln 32lnln 1， ( 1 e 3 e) 1 e h(4)ln 43ln0 恒成立， 则即 f（2） 0， f（2） 0，) （log2 x） 24log2x3 0， （log2 x） 21 0， ) 解得 log2x3，
9、即 08， 1 2 故实数 x 的取值范围是(8，). (0， 1 2) (2)g(x)3x2(m4)x2，若 g(x)在区间(t，3)上总为单调函数， 则g(x)0 在(t，3)上恒成立，或g(x)0 在(t，3)上恒成立. 由得 3x2(m4)x20，即 m4 3x. 2 x 当 x(t，3)时恒成立，m4 3t 恒成立， 2 t 则 m41，即 m5； 由得 m4 3x，当 x(t，3)时恒成立，则 m4 9，即 m. 2 x 2 3 37 3 使函数 g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的 m 的取值范围是. ( 37 3 ，5) 答案 (1)(8，) (2) (0， 1 2) (
10、 37 3 ，5) 探究提高 1.第(1)题是把关于 x 的函数转化为在0， 4内关于 t 的一次函数大于 0 恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看 作是“主元”，而把其它变元看作是参数. 2.第(2)题是正与反的转化， 由于不为单调函数有多种情况， 先求出其反面， 体现 “正 难则反”的原则. 【训练 6】 已知函数 f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中 f(x)是 f(x)的导 函数.对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0，则实数 x 的取值范围为 _. 解析 由题意，知 g(x)3x2ax3a5， 令 (a)(3x)a3x25，1a1. 对1a1，恒有 g(x)0，即 (a)0， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即解得 x1. （1） 0， （1） 0，) 3x2x2 0， 3x2x8 0，) 2 3 故当 x时，对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0. ( 2 3，1) 答案 (2 3，1)