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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 小题标准练(十二)小题标准练(十二) (40 分钟 80 分(40 分钟 80 分) ) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.著名数学家欧拉发现了复数的三角形式: eix=cos x+isin x(其中 i 为虚数单位,i2=-1), 根 据这个公式可知,表示的复数在复平面中所对应的点位于 ( ) 2 019 4 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 【解析】选 B.因为=cos+isin=cos+isin=-+ 2 019 4 2 019 4 2
2、019 4 3 4 3 4 2 2 i,所以对应的点为在第二象限. 2 2 ( - 2 2 , 2 2 ) 2.已知命题 p:xR,x2+x-60 D.xR,x2+x-6, 甲乙 2 甲 2 乙 由此可以说明,甲、乙二人的最大速度的平均值相同,但乙比甲的方差小,故乙比甲更优秀. 4.执行如图所示的程序框图 ,若输出的 b 的值为 4,则图中判断框内处应填( ) A.2 B.3 C.4D.5 【解析】选 A.当 a=1 时,b=1 不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=2,a=2; 当a=2时,b=2不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=4,a=3;当a=3时,b=4
3、满 足输出条件,故应退出循环,故判断框内处应填 a2. 5.在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 cos A+sin A-=0, 2 + 则的值是 ( ) + A.1B.C.D.223 【解析】选 B.由 cos A+sin A-=0, 2 + 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 得sinsin=2,2 ( + 4) 2 ( + 4) 即 sinsin=1,又1,1, ( + 4) ( + 4) |( + 4)| |( + 4)| 所以 sin=sin=1,A=B=,C=,所以 a=b=c,=. ( + 4) ( + 4) 4 2 2 2 + 2 6.等差数列a
4、n中,a3=5,a4+a8=22,则的前 20 项和为( ) 1 + 1 A.B.C. D. 40 41 20 41 42 43 21 43 【解析】选 B.因为 a4+a8=22,a3=5,所以 a1+2d=5,2a1+10d=22,解得 a1=1,d=2, an=2n-1,又因为=, 1 + 1 1 (2 - 1)(2 + 1) 1 2( 1 2 - 1 - 1 2 + 1) 所以其前 20 项和 Sn=1-+-+-=. 1 2 1 3 1 3 1 5 1 39 1 41 20 41 7.已知 tan(+)=,tan=,那么 tan等于 ( ) 2 5 ( - 4) 1 4 ( + 4)
5、A. B.C. D. 13 18 13 22 3 22 1 6 【解析】选 C.因为+-=+, 4 4 所以+=(+)-, 4 ( - 4) 所以tan=tan= ( + 4) ( + ) -( - 4) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =. ( + ) - ( - 4) 1 + ( + )( - 4) 3 22 8.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0b4,0c4,记函数f(x)满足条件 (2) 12, ( - 2) 4 为事件 A,则事件 A 发生的概率为( ) A.B.C. D. 1 4 5 8 1 2 3 8 【解析】选 C.由题意知,事件 A 所对应的线性约束条件为其
6、对应 0 4, 0 4, 4 + 2 + 12, 4 - 2 + 4, 的可行域如图中阴影部分所示,所以事件 A 的概率 P(A)=. 正方形 1 2 9.已知 x,y 均为正实数,且+=,则 x+y 的最小值为( ) 1 + 2 1 + 2 1 6 A.24B.32C.20D.28 【解析】选 C. 方法一:因为+=且x0,y0,所以x+y=6(x+2)+(y+2) 1 + 2 1 + 2 1 6 -4=62+-46 ( 1 + 2 + 1 + 2) + 2 + 2 + 2 + 2 -4=20(当且仅当 x=y=10 时取等号). (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) 方法二:因为
7、+=,且 x0,y0,由于(x+2)+(y+2) 1 + 2 1 + 2 1 6 ( 1 + 2 + 1 + 2) (1+1)2=4.所以 x+y+424,x+y20,即 x+y 最小值为 20(当且仅当 x=y=10 时取等号). 10.定义函数 y=f(x),x D,若存在 常数 C,对 任意的 x1D,存 在唯一 的 x2D,使 得 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =C,则称函数 f(x)在 D 上的均值为 C.已知 f(x)=lg x,x10,100,则 (1) + (2) 2 函数 f(x)=lg x 在 x10,100上的均值为( ) A.B.C.D.10 3 2 3
8、4 7 10 【解析】选 A.=C,从而对任意的 x110,100,存在唯 (1) + (2) 2 (12) 2 一的 x210,100,使得 x1x2为常数.充分利用题中给出的常数 10,100.令 x1x2=1010 0=1000,当 x110,100时,x2=10,100,由此得 C=. 1000 1 (12) 2 3 2 11.设直线l:2x+y+2=0 关于原点对称的直线为l.若l与椭圆 x2+=1 的交点为 A、B, 2 4 点 P 为椭圆上的动点,则使PAB 的面积为的点 P 的个数为( ) 1 2 A.1B.2C.3D.4 【解析】选 B.由已知求得l:2x+y-2=0 与椭圆
9、两交点分别为长、短轴端点,其中 A(0,2),B(1,0),所以|AB|=.所以顶点 P 到底边 AB 的距离 h=.5 1 2| 5 5 设与直线l平行且距离为的直线l:2x+y+c=0(c-2). 5 5 由两平行直线间距离公式,得 d=.所以 c=-1 或 c=-3. 5 5 | - ( - 2)| 22+ 12 | + 2| 5 两平行线为 2x+y-1=0,2x+y-3=0. 联立对于方程组,10,直线与 2 + - 1 = 0, 2+ 2 4 = 1, 2 + - 3 = 0, 2+ 2 4 = 1. 椭圆有两个交点.对于方程组,26e-3,此时 f(x)=t1有 2 个根,f(x
10、)=t2有 1 个根; 综上,对任意 mR,方程均有 3 个根. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已 知 集 合 M=a|a=(1,2)+(3,4), R,N=a|a=(-2,-2)+(4,5), R,则 M N=_. 【解析】 M=a|a=(1,2)+(3,4),R=a|a=(1+3,2+4),R, N=a|a=(-2,-2)+ (4,5),R=a|a=(-2+4,-2+5),R. 令(1+31,2+41)=(-2+42,-2+52), 则解得1=-1,2=0, 1 + 31= - 2 + 42, 2 + 41= - 2 +
11、52, 所以 MN=(-2,-2). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案:(-2,-2) 14.直三棱柱 ABC-A1B1C1中,所有棱长都相等,M 是 A1C1的中点,N 是 BB1的中点,则 AM 与 NC1所 成角的余弦值为_. 【解析】 设直三棱柱的棱长为2a,AC的中点为D,连接C1D,DN,则易得C1DAM,则 DC1N就 是 AM 与NC1的 夹 角 ,又 因 为C1D=a,DN=2 1+ 2 5 =2a,C1N=2 - 2+ 212 1+ 12 a,所以AM 与NC1的夹角的余弦值等于cosDC1N=5 =. 12+ 12- 2 211 3 5 答案:3 5 15
12、.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班 50 名学生进行了问卷调查,得到了 如下的 22 列联表: 喜爱打篮球不喜爱打篮球总计 男生20525 女生101525 总计302050 则在犯错误的概率不超过_的前提下认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表 示). P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001 k02.7063.8415.0246.6357.87910.828 【解析】k= ( - )2 ( + )( + )( + )( + ) =8.3337.879. 50 (20 15 - 5 10)2 25 25 30 20 高清试卷 下载可打印 高清试卷
13、下载可打印 答案:0.5% 16.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=+ ,则 + 的最大值为_. 【解析】如图所示,建立平面直角坐标系. 设 A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),P(x,y),易得圆的半径 r=,即圆 2 5 C 的方程是(x-2)2+y2=,=(x,y-1),=(0,-1),= (2,0),若满足= 4 5 +,则,所得=,=1-y,所以+=-y+1, = 2 - 1 = - 2 2 设z=-y+1,即-y+1-z=0,因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,所以圆心(2,0)到直线-y+1- 2 2 4 5 2 z=0 的距离 dr,即,解得 1z3, |2 - | 1 4 + 1 2 5 所以 z 的最大值是 3,即+的最大值是 3. 答案:3