《2019届高考数学文科二轮分类突破训练：第一篇考点七 考查角度4 抛物线的标准方程与几何性质 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学文科二轮分类突破训练：第一篇考点七 考查角度4 抛物线的标准方程与几何性质 Word版含解析.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考查角度 4 抛物线的标准方程与几何性质 分类透析一 抛物线的定义与应用 例 1 在平面直角坐标系xOy中,设点F,直线l:x=-,点P在直线l上移 ( 1 2 ,0 ) 1 2 动,R是线段PF与y轴的交点,RQFP,PQl,则动点Q的轨迹方程为 . 解析 由题意知,点R是线段FP的中点,且RQFP, RQ是线段FP的垂直平分线. |PQ|是点Q到直线l的距离,又点Q在线段FP的垂直平分线上, |PQ|=|QF|.结合抛物线的定义, 可知动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x. 答案 y2=2x 方法技巧 结合图形,借助垂直
2、平分线的性质进行适当的转化,得到该动点满 足抛物线轨迹的条件,从而确定其轨迹方程,需要注意限定条件的应用. 分类透析二 抛物线的标准方程 例 2 已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A,B两 点,若线段AB的中点的纵坐标为 2,则抛物线的方程为( ). A.y2=4xB.y2=-4x C.x2=4yD.x2=-4y 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知抛物线的焦点坐标为F,所以过焦点 ( 2 ,0 ) 且斜率为 1 的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入抛物线方程得y2-2py-p2=0,所 2 2 以=p=2, 1+ 2 2 所以抛物线的
3、方程为y2=4x,故选 A. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 A 方法技巧 确定抛物线的标准方程时,可以借助抛物线的几何性质,也可以利 用直线与抛物线的位置关系进行求解. 分类透析三 抛物线的几何性质与应用 例 3 如图,AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦.设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂 足分别为A1,M1,B1,则+的值为( ). 1 | 1 | A.B.pC.D.2p 2 2 解析 当直线AB的斜率不存在,即与x轴垂直时,|FA|=|FB|=p,+= + 1 | 1 | 1 1
4、= . 2 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k,代入y2=2px中,得 ( - 2) =2px,即k2x2-p(k2+2)x+=0. ( - 2) 2 22 4 设A(xA,yA),B(xB,yB), 则xA+xB=,xAxB= . (2+ 2) 2 2 4 |FA|=xA+,|FB|=xB+, 2 2 |FA|+|FB|=xA+xB+p, |FA|FB|=(+ 2)( + 2) =xAxB+(xA+xB)+ =(xA+xB+p). 2 2 4 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |FA|+|FB|=|FA|FB| ,即+=,选 C. 2 1 | 1 | 2 答案 C
5、 方法技巧 该题给出了抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质,解题时,不 可忽视ABx轴的情况. 例 4 设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上的三点,若+=0, 则|+|+|= . 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 由题意知,F(1,0),p=2.因为+=0, 所以(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0, 即x1+x2+x3=3, 所以|+|+|=x1+x2+x3+ p=6. 3 2 答案 6 方法技巧 对于抛物线和平面向量相结合的题目,可以借助平面向量的坐标运 算求解,需要注意平面向量的有关运算性质的运用. 1.(2018 年全国卷,理 8
6、改编)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点(-2,0)且 斜率为 1 的直线与C交于M,N两点,若=4,则p= . 解析 由题意得直线的方程为y=x+2, 设点M(x1,y1),N(x2,y2), 则联立方程组消去y并整理, = + 2, 2= 2px, 得x2+(4-2p)x+4=0,则x1x2=4,x1+x2=2p-4. 因为=,=, (1- 2 , 1) (2- 2 , 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以= (1- 2 , 1) (2 - 2 , 2) =+y1y2 (1- 2) (2 - 2) =2x1x2+(x1+x2)+ +4=4, (2 - 2)
7、2 4 解得p=8(其中p=0 舍去),故p的值为 8. 答案 8 2.(2017 年全国卷,理 10 改编)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过点F作互 相垂直的两条直线AB,CD与抛物线分别相交于点A,B以及C,D,若+=1,则四 1 | 1 | 边形ACBD的面积取得最小值时,直线AB方程为( ). A.y=(x-1)B.y=x-1 C.y=1-xD.y=2x-1 解析 由抛物线的性质可知+=, 1 | 1 | 2 又+=1,p=2,即y2=4x. 1 | 1 | 设直线AB的斜率为k(k0),则直线CD的斜率为- . 1 直线AB的方程为y=k(x-1), 联立消去y,得k2x
8、2-(2k2+4)x+k2=0. = ( - 1), 2= 4x, 从而xA+xB=2+,xAxB=1. 4 2 由弦长公式得|AB|=4+, 4 2 以-换k得|CD|=4+4k2, 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故四边形ACBD的面积为|AB|CD|=(4+4k2)=8 1 2 1 2(4 + 4 2) (2 + 2+ 1 2) 32(当k2=1 时取等号),即面积的最小值为 32,此时直线AB的方程为y=(x-1). 答案 A 3.(2018 年全国卷,理 16 改编)已知点M(0,2)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜 率为k的直线与C交于A,B两点.若=4,则k
9、= . 解析 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线斜率不存在时,易知 A(1,2),B(1,-2),则=1,不合题意.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的 方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组整理得k2x2- 2= 4x, = ( - 1), (2k2+4)x+k2=0, 则x1+x2=2+,x1x2=1, 22+ 4 2 4 2 y1+y2=k(x1+x2)-2k=,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1=-4. 4 又=4,=(x1,y1-2)(x2,y2-2)=4,解得k=- . 8 3 答案 -8 3 1.
10、(2018 湖北黄冈中学月考试题)抛物线x2=4y的焦点坐标是( ). A.(0,2) B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0) 解析 x2=4y=2py,p=2,焦点坐标为,即为(0,1),故选 B. ( 0, 2) 答案 B 2.(河北省衡水中学 2018 届高三数学三轮复习系列七)拋物线y=2x2的准线方程是 ( ). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.x=B.x=- 1 2 1 2 C.y=D.y=- 1 8 1 8 解析 抛物线y=2x2可化为x2= y,焦点在y轴上,2p=, =,抛物线y=2x2的 1 2 1 2 2 1 8 准线方程是y=-,故选 D. 1 8
11、答案 D 3.(辽宁省凌源市2018届高三毕业班一模考试试题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F, 点A(0,-).若线段FA与抛物线C相交于点M,则|MF|=( ).3 A.B.C.D. 4 3 5 3 2 3 3 3 解析 由题意得线段AF:y=x-(0x1).联立解得M33 = 3x -3, 2= 4x, .又=1,所以|MF|= +1=,故选 A. ( 1 3, - 23 3 ) 2 1 3 4 3 答案 A 4.(东北三省三校 2018 届高三第二次模拟考试试题)过抛物线C:y2=4x的焦点F的 直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1+x2=,则弦AB的长为(
12、 ). 4 3 A.B.4C.D. 16 3 10 3 8 3 解析 由抛物线的方程可得p=2.根据抛物线的焦点弦公式x1+x2+p,得弦AB的 长为+2=.故选 C. 4 3 10 3 答案 C 5.(河北省廊坊市第八高级中学 2018 届高三模拟试题)若过抛物线y= x2焦点的直 1 4 线与抛物线交于A,B两点(不重合),则(O为坐标原点)的值是( ). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.B.-C.3D.-3 3 4 3 4 解析 由题意知抛物线的方程为x2=4y,焦点为F(0,1).设 AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-4kx-4=0,所以
13、x1x2=-4,y1y2= = + 1, 2= 4y, 1 16 (x1x2)2=1,故=x1x2+y1y2=-3,选 D. 答案 D 6.(湖北省黄冈中学 2018 届高三 5 月第三次模拟考试)已知点P(-1,4),过点P恰好 存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,则抛物线C的标准方程为( ). A.x2= yB.x2=4y或y2=-16x 1 4 C.y2=-16xD.x2= y或y2=-16x 1 4 解析 过点P(-1,4)恰好存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点, 点P一定在抛物线C上,即两条直线分别为一条切线,一条与抛物线的对称 轴平行的直线. 若抛物线的焦点在x轴上,设抛
14、物线C的方程为y2=2px, 则将点P(-1,4)代入方程可得 2p=-16,抛物线C的标准方程为y2=-16x; 若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线C的方程为x2=2py, 则将点P(-1,4)代入方程可得 2p=, 1 4 抛物线C的标准方程为x2= y. 1 4 综上所述,选 D. 答案 D 7.(山东省 2018 年普通高校招生(春季)考试)已知抛物线x2=ay(a0)的焦点为F, 准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为 5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距 离是( ). A.2B.3C.4D.5 解析 因为|MF|=7,点M到x轴的距离为 5,所以=7-5,故|a|=8, | 4
15、 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因此焦点F到准线l的距离是=4,故选 C. | 2 答案 C 8.(山西省2018年高考考前适应性测试)已知抛物线C:y2=x,过点P(a,0)的直线与C 相交于A,B两点,O为坐标原点,若0)的焦 点F且斜率为 1 的直线交抛物线于A,B两点,|AF|BF|=8,则p的值为( ). A.4B.C.1D.2 1 2 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线y2=2px的焦点F,准线方程为x=-, ( 2 ,0 ) 2 直线AB的方程为y=x-,代入y2=2px可得x2-3px+ =0,x1+x2=3p,x1x2= .又 2 2 4 2 4
16、 |AF|=x1+,|BF|=x2+,|AF|BF|=x1x2+(x1+x2)+ = + 2 2 (1+ 2)(2 + 2) 2 2 4 2 4 32 2 2 4 =2p2=8,解得p=2,故选 D. 答案 D 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10.(广西梧州市 2018 届高三 3 月适应性测试(二模)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦 点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于点M,N,与y轴交于点(0,),与l交3 于点P,点M在线段PF上,若|PM|=2|MF|,则|MN|=( ). A.B.C.D. 9 4 25 4 8 3 16 3 解析 由题意可得M,2p=,p=2
17、,直线MN的方程为y=-(x-1).由 ( 6, 23 3 ) 6 12 9 3 得M,N(3,-2),|MN|=,故选 D. = - 3(x - 1), 2= 4x, ( 1 3, 23 3 ) 3 16 3 答案 D 11.(贵州省黔东南州2018届高三第一次模拟考试)过抛物线C:y2=4x的焦点F的直 线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,以线段AB为直径的圆的圆心为O1,半径为r. 点O1到C的准线l的距离与r之积为 25,则r(x1+x2)=( ). A.40 B.30C.25D.20 解析 由抛物线的性质知,点O1到C的准线l的距离为|AB|=r. 1 2 依题意得
18、r2=25,解得r=5.又点O1到C的准线l的距离为 (x1+x2+2)=r=5,则有 1 2 x1+x2=8,故r(x1+x2)=40,故选 A. 答案 A 12.(山西省太原市 2018 届高三 3 月模拟考试(一)试题)抛物线y2=8x的焦点为F, 设A,B是抛物线上的两个动点,|AF|+|BF|=|AB|,则AFB的最大值为( ). 23 3 A.B.C.D. 3 3 4 5 6 2 3 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2). 抛物线y2=8x的焦点为F, F(2,0). |AF|+|BF|=|AB|, 23 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由余弦定理得 cosA
19、FB=| 2 + |BF|2- |AB|2 2| =(| + |) 2 - 2|AF|BF| - |AB|2 2| =-1 4 3|AB| 2 - |AB|2 2| =-1. 1 3|AB| 2 2| 又|AF|+|BF|=|AB|2, 23 3 | |AF|BF|AB|2,当且仅当|AF|=|BF|时取等号. 1 3 cosAFB-1=-,而 00)上的点P 到焦点F的距离为 2,则a= . ( 3 2 , 0) 解析 抛物线的标准方程为y2=ax,焦点坐标为,准线方程为x=- . ( 4 ,0 ) 4 由抛物线的焦半径公式|PF|=x0+ = + =2,解得a=2. 2 3 2 4 答案
20、2 14.(2018 年天津市南开中学高三模拟考试试题)已知抛物线的方程为y2=2px,其中 p0,焦点为F,准线为l,过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M 的横坐标为 3,则p= . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由题意知,抛物线y2=2px的焦点为F,准线l的方程为x=- . ( 2 ,0 ) 2 由抛物线的定义可得|ME|=|MF|. 又|EF|=|MF|,所以MEF为等边三角形. 设点M的坐标为(3,m),则点E的坐标为. (- 2,m) 把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2=6p, 再由|EF|=|MF|,可得p2+m2=, (3 +
21、2) 2 即p2+6p=9+ +3p, 2 4 解得p=2 或p=-6(舍去). 答案 2 15.(陕西省西安市长安区第一中学 2018 届高三上学期第八次质量检测)如图,点F 是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16 的实线部分 上运动,且AB总是平行于x轴,则FAB的周长的取值范围是 . 解析 抛物线的准线方程为x=-2,焦点为F(2,0),由抛物线的定义可得 |AF|=xA+2.又圆(x-2)2+y2=16 的圆心为(2,0),半径为 4, FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB. 由抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16 可得交点的横坐标为 2, xB(2,6),FAB的周长为 6+xB(8,12). 答案 (8,12)