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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考查角度 3 数列的综合运用 分类透析一 数列的新定义、新情景问题 例 1 若三个非零且互不相等的实数x1,x2,x3成等差数列,且满 足+ =,则称x1,x2,x3成一个“等差数列”.已知集合 M=x|x|100,xZ,则由M中的三个元素组成的所有数列中,“ 等差数列”的个数为( ). A.25 B.50C.51D.100 解析 + =,且x1+x3=2x2, + =, (x1-x2)(x1+2x2)=0, x1=x2(舍去)或x1=-2x2,x3=4x2. 令-1004x2100,得-25x225, 又由题意知x20, “等差数列”的个数为 22
2、5=50. 答案 B 方法技巧 含 “新信息” 背景的数列问题有以下几个难点:一是对 于新的概念与规则,学生不易抓住信息的关键部分并用于解题之中; 二是学生不易发现每一问所指向的知识点,传统题目通常在问法上就 直接表明该用哪些知识进行处理,但新信息问题所问的因为与新信息 相关,所以要运用的知识隐藏的较深,学生不易找到解题的方向. 分类透析二 数列与函数的综合问题 例 2 已知f(x)=的定义域为 R,an=f(n)(nN*),且 数列an是递增数列,则a的取值范围是( ). A.(1,+)B. C.(1,3) D.(3,+) 解析 f(x)=的定义域为 R,an=f(n),且an是递 增数列,
3、 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解得a3. 答案 D 方法技巧 (1)数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问 题及以函数为背景的数列综合问题体现了在知识交汇上命题的特点. (2)数列与函数的综合问题主要有以下两类:已知函数条件,解 决数列问题,此类问题一般要利用函数的性质及图象求解;已知数 列条件,解决函数问题,此类问题一般要充分利用数列的范围、 公式和 求和对式子化简变形. 分类透析三 数列与不等式的综合问题 例 3 已知在数列an中,a1=2,nan+1-(n+1)an=1,nN*.若对 于任意的nN*,不等式0)的图象在点(ak, )处的切线与x轴 交点的横坐标为ak
4、+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=( ). A.18 B.21C.24D.30 解析 依题意,y=2x, 函数y=x2(x0)的图象在点(ak, )处的切线方程为y- =2ak(x- ak). 令y=0,可得x= ak,即ak+1= ak, 数列an为等比数列,an=16, a1+a3+a5=16+4+1=21. 答案 B 2.(2018 盐湖区校级三模)在等差数列an中,已知a4,a7是函数 f(x)=x2-4x+3 的两个零点,则an的前 10 项和等于( ). A.-18B.9C.18D.20 解析 a4,a7是函数f(x)=x2-4x+3 的两个零点, 即a4,a7是方
5、程x2-4x+3=0 的两个根, 由韦达定理可知a4+a7=4, S10=10=10=20. 答案 D 3.(2018 四川模拟)已知等比数列an中,a1=1,a4=,且 a1a2+a2a3+anan+10,tan B=30,A+B+C=, 0对任意nN*恒成立,则实数的取值范围是 . 解析 在数列an中,a1=1,当n2 时,an=an-1+n,即an-an-1=n, an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =n+(n-1)+2+1 =.(当n=1 时也成立) an=. 不等式可化为, 对任意nN*恒成立,2. 则实数的取值范围是2,+). 高清试卷 下载可打
6、印 高清试卷 下载可打印 答案 2,+) 14.(2018和平区二模)已知f(x)=规定fn(x)= (nN*),则f5的值为 . 解析 由f(x)= fn(x)=(nN*), 可得f1=f=, f2=f=f=3, f3=f=f(3)=, f4=f=f()=20-1=19, f5=f=f(19)=192-1=360. 答案 360 15.(2018 成都模拟)已知数列an的各项取倒数后按原来顺序构成等 差数列,各项都是正数的数列xn满足x1=3,x1+x2+x3=39,= ,则xn= . 解析 设=k,则an=lok,所以=logkxn.同理可得, =logkxn+1,=logkxn+2.因为数列an的各项取倒数后按原来顺序 构成等差数列,所以 2logkxn+1=logkxn+logkxn+2=xnxn+2,所以数列 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 xn是等比数列.把x1=3 代入x1+x2+x3=39,得公比q=3 或q=-4(舍去), 所以xn=33n-1=3n. 答案 3n