《2019届高考数学文科二轮分类突破训练：第二篇考点五 考查角度4 轨迹方程与探索性问题 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学文科二轮分类突破训练：第二篇考点五 考查角度4 轨迹方程与探索性问题 Word版含解析.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考查角度 4 轨迹方程与探索性问题 分类透析一 轨迹方程的求解 例 1 已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距 离的差等于 1. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C 相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求的最小值. 分析 (1)设动点为P(x,y),根据两点间的距离公式和点到直线的 距离公式,列方程,并化简; (2)设出直线l1的方程,与抛物线方程联立消去y,得到关于x的 一元二次方程,用韦达定理,求出两个根的和与积.由 l1与l2的关系, 同理求出另外两个根
2、的和与积,再代入,利用基本不等式求出 其最小值. 解析 (1)设动点P的坐标为(x,y),由题意得- ( - 1)2+ 2 |x|=1. 化简得y2=2x+2|x|. 当x0 时,y2=4x;当xb0)的离心率为,过椭圆E的右顶 2 2 2 2 3 2 点R任意作直线l,设直线l交抛物线y2=2x于M,N两点,且OMON. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求椭圆E的方程; (2)设P是椭圆E上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A, 关于x轴的对称点为Q,线段PQ与x轴相交于点C,点D为CQ的中点, 若直线AD与椭圆E的另一个交点为B,试判断直线PA,PB是否相互垂 直?
3、并证明你的结论. 分析 (1)设直线l:ty=x-a,代入y2=2x并整理得方程,利用韦达 定理结合OMON,即可求出椭圆方程; (2)用根与系数的关系或点差法证明kPAkPB=-1. 解析 (1)设点M(x1,y1),N(x2,y2),设直线l:ty=x-a,代入y2=2x并 整理得 y2-2ty-2a=0,所以 1+ 2= 2t, 12= - 2a. 故=x1x2+y1y2=(y1y2)2+y1y2= 4a2-2a=a2-2a=0,解得 1 4 1 4 a=2. 又e= =,所以c=,b=1, 3 2 3 所以椭圆E的方程为+y2=1. 2 4 (2)PAPB恒成立. 证明如下:设B(x1
4、,y1),P(x0,y0),则A(-x0,-y0),D,+ (0, - 0 2) 2 1 4 =1,+=1,两式相减得=-,故kBAkPB=2 1 2 0 4 2 0 2 1- 20 2 1- 20 1 4 1+ 0 1+ 0 1- 0 1- 0 2 1- 20 2 1- 20 =- . 1 4 又kAB=kAD=,代入上式可得kPB=-, - 0 2 + 0 0+ 0 0 40 0 0 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以kPAkPB=-1,即PAPB. 0 0 ( - 0 0) 方法技巧 涉及中点弦的问题的两种解法: 点差法:在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和 被截
5、线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入 圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直 线方程.“点差法” 的常见题型有求中点弦方程、 求(过定点、 平行弦) 弦中点轨迹、 垂直平分线问题.必须提醒的是 “点差法” 具有不等价性, 即要考虑判别式是否为正数. 根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组, 化 为一元二次方程后,由根与系数的关系求解. 分类透析三 探索满足条件的点 例 3 已知直线l:4x+3y+10=0,半径为 2 的圆C与l相切,圆心C 在x轴上且在直线l的上方. (1)求圆C的标准方程. (2)任意过点M(1,0)的直线与圆C交于A
6、,B两点(A在x轴上方), 问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分ANB?若存在,请求 出定点N的坐标;若不存在,请说明理由. 解析 (1)设圆心C(a,0),则=2a=0或a=-5(舍 ( - 5 2) |4 + 10| 5 去), 所以圆C的标准方程为x2+y2=4. (2)当直线ABx轴时,在x轴正半轴上任一点,都可使x轴平分 ANB. 当直线AB斜率存在时, 设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2), 联立圆C的方程和直线AB的方程,得 (k2+1)x2-2k2x+k2-4=0, 2+ 2= 4, = ( - 1) 故x1+x2=,x1
7、x2=, 22 2+ 1 2- 4 2+ 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 若x轴平分ANB,则kAN=-kBN+=0+ 1 1- t 2 2- t (1- 1) 1- t (2- 1) 2- t =02x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0-+2t=0t=4. 2(2- 4) 2+ 1 22(t + 1) 2+ 1 当定点N的坐标为(4,0)时,能使得ANM=BNM恒成立. 方法技巧 解决探索性问题的一般步骤:假设满足条件的元素 (点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数 的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在; 否则,元素(
8、点、直线、曲线或参数)不存在. 1.(2016 年全国卷,理 20 改编)设圆x2+y2+2x-13=0 的圆心为A,3 直线l过点B(,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过点B作AC3 的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)过点M作直线MG,MP分别与椭圆相交于G,P两点,满足直线 ( 1, 3 2) MG与MP的倾斜角互补,判断直线GP的斜率是否为定值,若为定值,求 出此定值;若不为定值,请说明理由. 解析 (1)BEAC,BDECAD,=. AD=AC=4,DE=BE. AE+DE=4,|EA|+|EB|=4,是定值. 由椭圆的
9、定义得点E的轨迹方程为+y2=1(y0). 2 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)设G(x1,y1),P(x2,y2),直线MG的方程是y=k(x-1)+,直线MP 3 2 的方程是y=-k(x-1)+, 3 2 联立消去y得(4k2+1)x2+(4k-8k2)x+4k2- 2 4 + 2= 1, = ( - 1) + 3 2 , 3 4k-1=0,3 xM=1,x1=.同理可得x2=. 42- 43k - 1 42+ 1 42+ 43k - 1 42+ 1 又y1-y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k, 则直线GP的斜率kGP=. 2- 1 2-
10、1 4 83k 3 6 2.(2017 年全国卷,文 20 改编)设O为坐标原点,动点M在圆 C:x2+y2=2 上,过点M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足 =.2 (1)求点P的轨迹G的方程; (2)设点Q在直线x=-3 上,且=1.证明过点M且垂直于OQ的 直线l过轨迹G的左焦点F. 解析 (1)设P(x,y),M(x,y),N(x,0),由=,得(x-2 2 x,y)=(0,y), 即得代入圆的方程(x)2+(y)2=2,得到 - = 0, 2y = y, = , = 2 y, +y2=1,点P的轨迹方程为+y2=1. 2 2 2 2 (2)由题意知,椭圆的左焦点为F(-1,0),设M(
11、m,n),Q(-3,t),则 =(m,n),=(-3,t),=(-3-m,t-n),=(-1-m,-n). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由=1,得-3m-m2+tn-n2=1. 又m2+n2=2,3+3m-tn=0. =3+3m-tn=0,即. 过点M存在唯一直线垂直于OQ, 过点M且垂直于OQ的直线l过G的左焦点F. 1.(安徽省淮南市 2018 届高三第二次模拟考试)已知抛物线C的顶点 在原点,焦点在y轴上,且抛物线上有一点P(m,5)到焦点的距离为 6. (1)求该抛物线C的方程; (2)已知抛物线上一点M(4,t),过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且 MDME,判断直
12、线DE是否过定点,并说明理由. 解析 (1)由题意设抛物线方程为x2=2py,其准线方程为y=-, 2 P(m,5)到焦点的距离等于其到准线的距离, 5+ =6,p=2,抛物线C的方程为x2=4y. 2 (2)过定点(-4,8).证明如下: 由(1)可得点M的坐标为(4,4). 设直线MD的方程为y=k(x-4)+4, 联立得x2-4kx+16k-16=0. = ( - 4) + 4, 2= 4y, 设D(x1,y1),E(x2,y2),则xMx1=16k-16,x1=4k-4,y1= 16 - 16 4 =4(k-1)2. (4 - 4)2 4 同理可得x2=- -4,y2=4, 4 ( 1
13、 + 1) 2 直线DE的方程为 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 y-4(k-1)2=(x-4k+4) 4( - 1)2 - 4( 1 + 1) 2 4 - 4 + 4 + 4 =(x-4k+4) ( + 1 )( - 1 - 2) + 1 =(x-4k+4). ( - 1 - 2) 化简得y=x+4k- =(x+4)+8. ( - 1 - 2) 4 ( - 1 - 2) 直线DE过定点(-4,8). 2.(江西上饶市 2018 届高三上学期第一次模拟考试)已知抛物线 E:y2=2px(p0)的顶点在坐标原点O,过抛物线E的焦点F的直线l与 该抛物线交于M,N两点,MON面积的最小
14、值为 2. (1)求抛物线E的方程; (2)试问是否存在定点D,过点D的直线n与抛物线E交于B,C两点, 当A,B,C三点不共线时,使得以BC为直径的圆必过点A.若存在, ( 2 ,p ) 求出所有符合条件的点;若不存在,请说明理由. 解析 (1)设直线的方程为x=my+,设M(x1,y1),N(x2,y2), 2 联立y2-2pmy-p2=0,MON面积的最小,即|y1-y2| = + 2, 2= 2px, 最小, |y1-y2|=2p, ( 1+ 2)2 - 412 422+ 422+ 1 当m=0时,|y1-y2|最小,最小值为2p,即MON的面积最小,2= 2p,解得p=2,抛物线E的
15、方程为y2=4x. 1 2 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)假设存在这样的定点D,当m不垂直于x轴时,可设直线为 y=kx+m,显然k0. 联立可得y2- y+=0, = + , 2= 4x, 4 4 p=2,点A的坐标为(1,2). 设B(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,=0, 4 4 =(x1-1,y1-2)(x2-1,y2-2)=+y1y2- ( 2 1 4 - 1)( 2 2 4 - 1) 2(y1+y2)+4=-+- +5=0. 2 2 1 4 16 2 8 4 8 化简可得m2+6km+(5k2+8k-4)=0, 即m+(5k+2)
16、m+(k-2)=0. 当m=-k+2 时,y=k(x-1)+2,恒过定点(1,2),即点A不合题意; 当m=-5k-2 时,y=k(x-5)-2,恒过定点D(5,-2),此时存在定点,满 足条件. 容易验证当直线过点D(5,-2)且垂直于x轴时,=0, 综上,存在唯一的定点D(5,-2)满足条件. 3.(四川省德阳市 2018 届高三二诊考试)已知椭圆C:+ =1(ab0) 2 2 2 2 的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为 2,且椭圆C3 的离心率为. 3 2 (1)求椭圆C的方程; (2)过点(4,0)且斜率不为零的直线l与椭圆C交于两点M,N,点T(2 2 ,0),试探究:直
17、线MT与NT的斜率之积是否为常数. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 (1)由题意得(其中c为椭圆的半焦距),解得 = 2 3, = 3 2 2 = 8, 2= 2, 所以椭圆C的方程为+ =1. 2 8 2 2 (2)由题意设直线l的方程为x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2), 由得(m2+4)y2+8my+8=0, = + 4, 2 8 + 2 2 = 1, 所以 1+ 2= - 8 2+ 4, 12= 8 2+ 4, = 642- 32(2+ 4) 0, 所以x1+x2=m(y1+y2)+8=,x1x2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16=, 32 2+
18、4 64 - 82 2+ 4 所以kMTkNT=. 12 ( 1- 2 2)(2- 22) 12 12- 22 ( 1+ 2) + 8 3 + 22 4 故直线MT与NT的斜率之积为常数. 4.(2017届河南省安阳市高三第一次模拟)已知椭圆C:+ =1(ab0) 2 2 2 2 的上、下两个焦点分别为F1、F2,过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C 于M,N两点,MNF2的面积为,椭圆C的离心率为.3 3 2 (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知O为坐标原点,直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆C交于 A,B两个不同的点,若存在实数,使得+=4,求m的取值范 围. 高清试卷 下载可打印
19、高清试卷 下载可打印 解析 (1)已知椭圆C的焦距为 2c, 当y=c时,|MN|=|xM-xN|=, 22 由题意知MNF2的面积为 |F1F2|MN|=c|MN|=, 1 2 22c 3 又=,b2=1,a2=4, 3 2 椭圆C的标准方程为x2+ =1. 2 4 (2)若m=0,则P(0,0),由椭圆的对称性得=,即+=0, m=0 能使+=4成立. 若m0,由+=4,得=+. 1 4 4 A,B,P三点共线,1+=4,解得=3. 设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由 = + , 2+ 2 4 = 1, 得(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0, 由已知得=4m2k2-
20、4(k2+4)(m2-4)0, 即k2-m2+40, 且x1+x2=,x1x2=. - 2 2+ 4 2- 4 2+ 4 由+3=4,可得=3, -x1=3x2,即x1=-3x2, 3(x1+x2)2+4x1x2=0, +=0,即m2k2+m2-k2-4=0. 1222 ( 2+ 4)2 4(2- 4) 2+ 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当m2=1 时,m2k2+m2-k2-4=0 不成立, k2=. 4 - 2 2- 1 k2-m2+40,-m2+40,即0, 4 - 2 2- 1 (4 - 2)2 2- 1 1m24,解得-2m-1 或 1m2. 综上所述,m的取值范围为m|-2m-1 或m=0 或 1m2.