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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 08 数列大题部分专题 08 数列大题部分 【训练目标】 1、 理解并会运用数列的函数特性； 2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质； 3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法； 4、 掌握常用的求和方法； 5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。 【温馨小提示】 高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的 性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。总之，此类题目难度 中等，属于必拿分题。 【名校试题荟萃】 1、（宁夏长庆高级中学 2019 届高三上
2、学期第四次月考数学 （理） 试卷） 设数列 n a的前n项和， 且 123 ,1,a aa成等差数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）记数列 1 n a 的前 n 项和 n T，求使得成立的n的最小值. 【答案】 （1）2n n a （2）10 （2）由（1）可得 11 2 n n a ，所以， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由，即21000 n ，因为，所以10n ，于是使得 成立的n的最小值为 10. 2、 （宁夏长庆高级中学 2019 届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列 n n a a的公差为d d，点 ( (, ,) ) n nn n a a b
3、b在函数( ( ) )2 2x xf f x x 的图象上（ * * n nN N ） 。 （1）若 1 1 2 2a a ，点 8 87 7 ( (, ,4 4) )a ab b 在函数( ( ) )f f x x的图象上，求数列 n n a a的前n n项和 n n S S； （2）若 1 1 1 1a a ，函数( ( ) )f f x x的图象在点 2 22 2 ( (, ,) )a a b b 处的切线在x x轴上的截距为 1 1 2 2 l ln n2 2 ，求数列 n n n n a a b b 的前n n 项和 n n T T . 【答案】 （1） （2） （2）由 函数( (
4、 ) )f f x x的图象在点 2 22 2 ( (, ,) )a a b b处的切线方程为 所以切线在x x轴上的截距为 2 2 1 1 l ln n2 2 a a ，从而，故 2 2 2 2a a 从而 n n a an n ，2 2n n n n b b ， 2 2 n n n n n n a an n b b 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以 故。 3、 （辽宁省辽河油田第二高级中学 2019 届高三上学期期中考试数学 （文） 试题） 设 n S为数列 n a 的前项和， 已知 1 0a ，n N （1）求 1 a， 2 a； （2）求数列 n a 的通项公式； （3
5、）求数列 n na 的前n项和 【答案】 （1）1，2 （2） 1 2 n n a （3） （3）由（2）知 1 2 n n nna，记其前n项和为 n T， 于是 得 从而 4、 （湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校 2019 届高三 12 月联考数学（理）试题）已知数列 n a的前n 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 项 和 n S满足，且1 1 a。 （1）求数列的通项公式 n a； （2）记， n T为 n b的前n项和，求使 n Tn 2 成立的n的最小值. 【答案】 （1） 12 nan （2）5 （2）由（1）知， ， 由 n Tn 2 有 24 2 nn ，有6)2(
6、 2 n，所以5n， n的最小值为 5. 5、 （黑龙江省哈尔滨市第六中学 2019 届高三 12 月月考数学（理）试题）已知数列 n a满足 1 2a ，且 ， * nN. （1）设 2 n n n a b ，证明：数列 n b为等差数列，并求数列 n b的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和 n S. 【答案】 （1） （2） 【解析】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （1）把2n nn ab代入到，得， 同除 1 2n，得 1 1 nn bb ， n b为等差数列，首项 1 1 1 2 a b ，公差为 1，. （2）由，再利用错位相减法计算得： .。 6、（安徽省肥东
7、县高级中学 2019 届高三 11 月调研考试数学（理）试题）已知数列 n a满足： 1 1a ， . （1）设 n n a b n ，求数列 n b的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和 n S. 【答案】 （1） （2） （2）由（）可知，设数列 1 2n n 的前n项和 n T 则 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 。 7、 （广东省中山一中、仲元中学等七校 2019 届高三第二次联考（11 月）数学（理）试题）已知数列 n a 为公差不为0的等差数列,满足 1 5a ,且 2930 ,a a a成等比数列. （1）求 n a的通项公式； （2） 若数列 n b满足（n
8、N）,且 1 3b ,求数列 1 n b 的前n项和 n T. 【答案】 （1）23 n an （2） 对 1 3b 上式也成立,所以,即, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以. 8、 （江西省玉山县一中 2019 届高三上学期期中考试数学（理）试卷）数列 n a中，8 1 a，2 4 a，且 满足，)( * Nn （1）设，求 n S； （2）设，)( * Nn，)( * Nn，是否存在最大的正整数m，使得 对任意 * Nn均有 32 m Tn成立？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由。 【答案】 （1） （2）7 从而 故数列 Tn是单调递增数列，又因是数列中的最小项， 要
9、使恒成立，故只需成立即可， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 由此解得 m8，由于 mZ*， 故适合条件的 m 的最大值为 7 9、 （辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三上学期第三次模拟数学（文）试题）已知数列 n a满足 N （1）求数列 n a的通项公式； （2） 设以2为公比的等比数列 n b满足N） ， 求数列 的前n项和 n S 【答案】 （1） 2 43 n an （2） 【解析】 （1）由题知数列 3 n a 是以2为首项，2为公差的等差数列， . 10、 （江西省南康中学 2019 届高三上学期第四次月考数学（理）试题）已知数列 n a的前n项和为 n S，且
10、 12 nn aS. （1）求数列 n a的通项公式； （2）记，求数列 n b的前n项和 n T. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 【答案】 （1） 1 2n （2） 21 21 n n 【解析】 （1）当时，得当时，有， 所以即，满足时， 所以是公比为 2，首项为 1 的等比数列，故通项公式为 11、已知数列an各项均不相同，a11，定义，其中n，kN* （1）若nbn）1（，求 5 a； （2）若bn1（k）2bn（k）对2 , 1k均成立，数列an的前n项和为Sn （i）求数列an的通项公式； （ii）若k，tN*，且S1，SkS1，StSk成等比数列，求k和t的值 【答案
11、】 （1）9 5 a （2） （i） 1 2 n n a；（ii）k2，t3 【解析】 （1）因为，所以， 所以9 5 a. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （2） （i）因为bn1（k）2bn（k） ，得， 令k1,， k2， 由得， +得， +得 nn aa2 1 ， 又01 1 a， 所 以 数 列 n a是 以 1 为 首 项 ， 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 所 以 1 2 n n a 12、 （江苏省盐城市 2019 届高三上学期期中考试）已知正项数列 n a的首项 1 1a ，前n项和 n S满足 . （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b是
12、公比为 4 的等比数列，且也是等比数列，若数列 + n n a b 单调 递增，求实数的取值范围； （3）若数列 n b、 n c都是等比数列，且满足 nnn abc，试证明：数列 n c中只存在三项. 【答案】 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （1） nan （2） 2 3 （3）见解析 【解析】 （1），故当2n时，两式作差得： ， 由 n a为正项数列知，即 n a为等差数列，故nan 。 （2）由题意，化简得 3 1 1 b，所以，所以 ， 由题意知 恒成立，即3 1 3n恒成立，所以1 33，解得 2 3 ； 13、 （浙江省诸暨中学 2019 届高三期中考试题） 已知数
13、列 n a，满足1 1 a， 2 3 2 a， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （1）证明：为等比数列并求 n a的通项公式； （2） n S为数列 n a的前n项和， 是否存在 Ntr,)(tr 使得 tr SSS, 1 成等差数列， 若存在求出tr, ，不存在，请说明理由。 【答案】 （1） （2）不存在 （2） , 1 1 S, , .等式的左边是一个偶数，右边是一个奇数，所以不存在这样的 tr,，使得 tr SSS, 1 成等差数列. 14、 （浙江省诸暨中学 2019 届高三期中考试题）设数列 n a满足： 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 （1）.求数列 n
14、a的通项公式； （2）.设，求数列 n b的前n项和 n S. 【答案】 （1） n n a 3 1 （2）见解析 （2） 当n为奇数时， . 当n为偶数时， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 . 15、 （河北省衡水中学 2019 届高三上学期三调考试数学（文）试卷）已知数列中， . （1）求的通项公式； （2）数列满足，数列的前 项和为，若不等式对一切恒成 立，求的取值范围. 【答案】 （1）见解析 （2）. 所以数列是以 3 为公比，以为首项的等比数列， 从而； （2）， . ，两式相减得 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ， .， 若 为偶数，则， 若 为奇数，则， . 16、（湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考 （一） 数学 （理） 试题） 已知是等比数列， 满足， 且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求正整数 的值，使得对任意 均有. 【答案】 （1） （2）5. 得： ， 所以， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则. 由 得：当时，； 当时，； 所以对任意，且均有故 k=5.