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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 题型练题型练 5 大题专项大题专项(三三) 统计与概率问题统计与概率问题 1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动 员 3名,其中种子选手 2名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人 参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”,求事件 A 发生 的概率; (2)设 X 为选出的 4人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 2.(2018北京,理 17)电影公司随机收集了电影的
2、有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数电影部数14050300200800510 好评率好评率0.40.20.150.250.20.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立. (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,估计恰有 1 部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“k=1”表示第 k类电影得 到人们喜欢,用“k=0”表示第 k类电
3、影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差 D(1),D(2),D(3),D(4),D(5),D(6)的大小关系. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上 年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数上年度出险次数012345 保费保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出险次数一年内出险次数012345 概率概率0.300.150.200.200.100.05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2
4、)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 4.(2018天津,理 16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的 方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的 7 人中有 4人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查. 用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望; 设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不
5、足的员工”,求事件 A 发生的概率. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐; 每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没 有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互 1 2 独立. (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减
6、少了.请运 用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 6.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取 40 件产品,测量这些产品的质量 (单位:g),整理后得到如下的频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为 (490,495,(495,500,(500,505,(505,510,(510,515). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)若从这 40 件产品中任取两件,设 X 为质量超过 505 g的产品数量,求随机变量 X 的分布列; (2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取 5 件产品,求恰有两件产品的质量超过 505 g的概率. 高清试卷 下载可
7、打印 高清试卷 下载可打印 题型练 5 大题专项(三) 统计与概率问题 1.解 (1)由已知,有 P(A)= C2 2C23+ C23C23 C4 8 = 6 35. 所以,事件 A 发生的概率为 6 35. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. P(X=k)=(k=1,2,3,4). C 5C4 - 3 C4 8 所以,随机变量 X 的分布列为 X1234 P 1 14 3 7 3 7 1 14 随机变量 X 的数学期望 E(X)=1+2+3+4 1 14 3 7 3 7 1 14 = 5 2. 2.解 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,这部电影是获得好评的
8、第四类电影”为事件 A, 第四类电影中获得好评的电影为 2000.25=50(部). P(A)=0.025. 50 140 + 50 + 300 + 200 + 800 + 510 = 50 2 000 (2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部,恰有 1 部获得好评”为事件 B,P(B)=0.250.8+0.750.2=0.35. (3)由题意可知,定义随机变量如下: k=0,第类电影没有得到人们喜欢, 1,第类电影得到人们喜欢, 则 k显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下: 第一类电影: 110 P0.40.6 D(1)=0.40.6=0.24; 高清试卷 下载可
9、打印 高清试卷 下载可打印 第二类电影: 210 P0.20.8 D(2)=0.20.8=0.16; 第三类电影: 310 P0.150.85 D(3)=0.150.85=0.127 5; 第四类电影: 410 P0.250.75 D(4)=0.250.75=0.187 5; 第五类电影: 510 P0.20.8 D(5)=0.20.8=0.16; 第六类电影: 610 P0.10.9 D(6)=0.10.9=0.09. 综上所述,D(1)D(4)D(2)=D(5)D(3)D(6). 3.解 (1)设 A 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件 A 发生当且仅当一年内出险次 数
10、大于 1,故 P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)设 B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”,则事件 B 发生当且仅当一年内 出险次数大于 3,故 P(B)=0.1+0.05=0.15. 又 P(AB)=P(B), 故 P(B|A)= () () = () () = 0.15 0.55 = 3 11. 因此所求概率为 3 11. (3)记续保人本年度的保费为 X,则 X 的分布列为 X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a P0.300.150.200.200.100.05 E(X)=0.85a0
11、.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a. 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23. 4.解 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人. (2)随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X=k)=(k=0,1,2,3). C 4 C 3 - 3 C3 7 所以,随机变量 X 的分布列为 X0123 P 1 35 12 35 18 35 4 35 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0+1
12、+2+3 1 35 12 35 18 35 4 35 = 12 7 . 设事件 B 为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 1 人,睡眠不足的员工有 2 人”;事件 C 为“抽取 的 3人中,睡眠充足的员工有 2人,睡眠不足的员工有 1人”,则 A=BC,且 B 与 C 互斥.由 知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)= 所以,事件 A 发生的概率为 6 7. 6 7. 5.解 (1)X 可能的取值为 10,20,100,-200. 根据题意, P(X=10)=;C1 3( 1 2) 1 ( 1 - 1 2) 2 = 3 8 高
13、清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 P(X=20)=;C2 3( 1 2) 2 ( 1 - 1 2) 1 = 3 8 P(X=100)=;C3 3( 1 2) 3 ( 1 - 1 2) 0 = 1 8 P(X=-200)=C0 3( 1 2) 0 ( 1 - 1 2) 3 = 1 8. 所以 X 的分布列为 X1020100-200 P 3 8 3 8 1 8 1 8 (2)设“第 i盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= 1 8. 所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1-P(A1A2A3)=1-=1-
14、 ( 1 8) 3 1 512 = 511 512. 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 511 512. (3)X 的数学期望为 E(X)=10+20+100-200=- 3 8 3 8 1 8 1 8 5 4. 这表明,获得分数 X 的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大. 6.解 (1)根据频率分布直方图可知,质量超过 505 g 的产品数量为(0.01+0.05)540=12. 由题意得随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2. P(X=0)=; C 2 28 C 2 40 = 63 130 P(X=1)=; C 1 28C 1 12 C 2 40 = 28 65 P(X=2)= C 2 12 C 2 40 = 11 130. 则随机变量 X 的分布列为 X012 P 63 130 28 65 11 130 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)由题意得该流水线上产品的质量超过 505 g 的概率为=0.3. 12 40 设 Y 为该流水线上任取 5件产品质量超过 505 g 的产品数量,则 YB(5,0.3).故所求概率为 P(Y=2)=0.320.73=0.308 7.C2 5