《2019高中数学第1章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性学案新人教B版选修2_22018112713.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高中数学第1章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性学案新人教B版选修2_22018112713.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.1 利用导数判断函数的单调性 1理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性 2通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性 用函数的导数判定函数单调性的法则 1如果在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是_，(a，b)为f(x)的单调增 区间； 2如果在(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是_，(a，b)为f(x)的单调减 区间 (1)在(a，b)内，f(x)0(0)只是f(x)在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要 条件 (2)函数f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条
2、件是在(a，b)内f(x)0(0)，并且 f(x)0 在区间(a，b)上仅有有限个点使之成立 【做一做 11】已知函数f(x)1xsin x，x(0,2)，则函数f(x)( ) A在(0,2)上是增函数 B在(0,2)上是减函数 C在(0，)上是增函数，在(，2)上是减函数 D在(0，)上是减函数，在(，2)上是增函数 【做一做 12】设f(x)是函数f(x)的导数，f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象 最有可能是( ) 1函数的单调性与其导数有何关系？ 剖析 ： (1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f(x)0(或f(x) 0)的区间 (2)若可导函数f(x)在(a，
3、b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内 的导函数f(x)0(或f(x)0) 2利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？ 剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间 (2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点 (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个， 这些单调区间不能用 “” 连接， 而只能用“逗号”或“和”字隔开 题型一 求函数的单调区间 【例题 1】求下列函数的单调区间： (1)f(x)xx3
4、； (2)f(x)x (a0)axx2 分析 ： 先求f(x)， 然后解不等式f(x)0 得单调增区间，f(x)0 得单调减区间 反思 ： 运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点 ： (1)确定函数的定义域， 解决问题时， 只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数 划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点 ； (3)在某一区间内f(x)0(或 f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件 题型二 根据函数的单调性求参数的取值范围 【例题 2】已知函数f(x)2ax，x(0,1，若f(x)在x(0,1上是增函数，求a 1
5、 x2 的取值范围 分析：函数f(x)在(0,1上是增函数，则f(x)0 在(0,1上恒成立 反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f(x)0(0)在xM上恒成立 题型三 证明不等式 【例题 3】已知x1，求证：xln(1x) 分析：构造函数f(x)xln(1x)，只要证明在x(1，)上，f(x)0 恒成立即 可 反思 ： 利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于 构造一个合理的可导函数 此法的一般解题步骤为 ： 令F(x)f(x)g(x)，xa， 其中F(a) f(a)g(a)0， 从而将要证明的不等式 “当xa时，f(x)g(x)” 转化为证明 “当x
6、a时， F(x)F(a)” 题型四 易错辨析 易错点 ： 应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结 果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域 【例题 4】求函数f(x)2x2ln x的单调减区间 错解：f(x)4x ，令0，得x 或 0x ，所以函数f(x)的 1 x 4x21 x 4x21 x 1 2 1 2 单调减区间为 ， .()() 1 在区间(a，b)内f(x)0 是f(x)在(a，b)内为增函数的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2 函数yxcos xsin x在下面哪个区间内是增函数( ) A B(，2
7、)() C D(2，3)() 3 若f(x)ax3bx2cxd为增函数，则一定有( ) Ab24ac0 Bb23ac0 Cb24ac0 Db23ac0 4 如果函数f(x)x3bx(b为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b的取值范围是 _ 5 函数yx3x25 的单调增区间为_，单调减区间为_ 1 3 答案：答案： 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 基础知识梳理基础知识梳理 1增函数 2减函数 【做一做 11】A f(x)1cos x，当x(0,2)时，f(x)0 恒成立，故 f(x)在(0,2)上是增函数 【做一做 12】C 由f(x)的图象知，x(，0)或x(2，)时，f(x)
8、0， 故f(x)的增区间为(，0)，(2，)，同理可得f(x)的减区间为(0,2) 典型例题领悟典型例题领悟 【例题 1】解：(1)f(x)13x2. 令 13x20，解得x.因此函数f(x)的单调增区间为. 3 3 3 3( 3 3 ， 3 3) 令 13x20，解得x或x.因此函数f(x)的单调减区间为和 3 3 3 3(， 3 3) . ( 3 3 ，) (2)由axx20 得 0xa，即函数的定义域为0，a 又f(x)x (axx2) (a2x)，axx2 1 2 1 2 4x23ax 2axx2 令f(x)0，得 0x；令f(x)0，得x0 或xa，又x0，a， 3a 4 3 4 函
9、数f(x)的单调增区间为，单调减区间为. (0， 3a 4)( 3a 4 ，a) 【例题 2】解：由题意，得f(x)2a. 2 x3 f(x)在(0,1内是增函数，f(x)0 在x(0,1上恒成立 即a在x(0,1上恒成立 1 x3 令g(x)，g(x)在(0,1内是增函数，g(x)maxg(1)1，a1， 1 x3 1 x3 故a的取值范围是1，) 【例题 3】证明：设f(x)xln(1x)(x1) f(x)1，(x1)， 1 1x x x1 f(x)0. f(x)在(1，)上是增函数 又f(1)1ln 21ln e0，即f(1)0， f(x)0， 即xln(1x)(x1) 【例题 4】错因
10、分析：错解未注意函数的定义域 正解：函数f(x)的定义域为(0，)，又f(x)，令0，得x 4x21 x 4x21 x 1 2 或 0x ，又x0，f(x)的单调减区间为. 1 2(0， 1 2) 随堂练习巩固随堂练习巩固 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1A 如f(x)x3在 R R 上是增函数，但f(0)0. 2B ycos xxsin xcos xxsin x，当x(，2)时，xsin x0，故函 数在(，2)上为增函数 3 B f(x)3ax22bxc0恒成立， 所以a0， (2b)212ac0， 即b23ac0. 43，) f(x)3x2b0(0x1)恒成立， b3x2(0x1)恒成立，故b3. 5 (0,2) (， 0)， (2， ) yx22x， 令y0， 得 0x2， 令y0， 得x0或x2， 故函数yx3x25的单调增区间为(0,2)， 单调减区间为(， 0)， (2， 1 3 )