《2019高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法学案新人教B版选修2_220181127112.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法学案新人教B版选修2_220181127112.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.3 数学归纳法2.3 数学归纳法 1了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题 2理解数学归纳法两个步骤的作用，进一步规范书写的语言结构 数学归纳法数学归纳法 一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n k(kN N，且kn0)时命题成立的前提下，推出当n_时命题也成立，那么可以断定， 这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立 数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法， 它是一种完全归纳法， 是对 不完全归纳法的完善证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基” ；第 二步解决
2、的是延续性问题，又称“归纳递推” 运用数学归纳法证明有关命题时应注意以下 几点： (1)两个步骤缺一不可； (2)在第一步中，n的初始值不一定从 1 取起， 也不一定只取一个数(有时需取nn0，n0 1 等)，证明应视具体情况而定； (3)第二步中，证明nk1 时命题成立，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳 法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效； (4)证明nk1 时命题成立，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的 形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当nk1 时的结论，这样就能有效减少论证的盲 目性 【做一做】对于不等式n1(nN N)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：n2n
3、 (1)当n1 时，11，不等式成立121 (2)假设当nk(kN N)时，不等式成立，即k1，k2k 则当nk1 时， (k1)1，(k1)2(k1)k23k2(k23k2)(k2) 当nk1 时，不等式成立 上述证法( ) A过程全部正确 Bn1 时验证不正确 C归纳假设不正确 D从nk到nk1 的推理不正确 1利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项？ 剖析 ： (1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步， 即nk1 时命题为什么成立？ nk1 时命题成立是利用假设nk时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等 数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则nk1 时命题成立也成假设了，命
4、题并没有 得到证明 (2)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归 纳法证明，学习时要具体问题具体分析 2运用数学归纳法时易犯的错误有哪些？ 剖析 ： (1)对项数估算的错误，特别是寻找nk与nk1 的关系时，项数发生什么变 化被弄错 (2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通 不过去了 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (3)关键步骤含糊不清， “假设nk时结论成立， 利用此假设证明nk1时结论也成立” 是数学归纳法的关键一步， 也是证明问题中最重要的环节， 对推导的过程要把步骤写完整， 注意证明过程的严谨性、规范性
5、 题型一 用数学归纳法证明恒等式 【例题 1】用数学归纳法证明 1 . 1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n 分析：左边式子的特点为：各项分母依次为 1,2，3，2n，右边式子的特点为：分 母由n1 开始，依次增大 1，一直到 2n，共n项 反思：理解等式的特点：在等式左边，当n取一个值时，对应两项，即；在 1 2n1 1 2n 等式右边，当n取一个值时，对应一项无论n取何值，应保证等式左边有 2n项，而等式 右边有n项，然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例题 2】已知a0，b0，n1，nN N，用数学归纳法证明： n
6、. anbn 2 () 反思 ： 应用数学归纳法证明不等式时，往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设，再应用放 缩法或其他证明不等式的方法证得nk1 时命题成立 题型三 归纳猜想证明 【例题 3】某数列的第一项为 1，并且对所有的自然数n2，数列的前n项之积为n2. (1)写出这个数列的前五项； (2)写出这个数列的通项公式并加以证明 分析 ： 根据数列前五项写出这个数列的通项公式，要注意观察数列中各项与其序号变化 的关系，归纳出构成数列的规律同时还要特别注意第一项与其他各项的差异，必要时可分 段表示证明这个数列的通项公式可用数学归纳法 反思 ： 先计算出一个数列的前几项，用不完全归纳法猜想得到通项
7、公式，再用数学归纳 法给予证明，这是解数列问题的常见思路 题型四 易错辨析 易错点：在应用数学归纳法证明问题时两步缺一不可，且在证明由nk到nk1 命 题成立时必须用上归纳假设，否则证明过程就是错误的 【例题 4】用数学归纳法证明： . 1 2 4 1 4 6 1 6 8 1 2n(2n2) n 4(n1) 错证：(1)当n1 时，左边，右边，等式成立 1 2 4 1 4(11) 1 4 2 (2)假设当nk时等式成立，那么当nk1 时，直接使用裂项相减法求得 1 2 4 1 4 6 1 6 8 1 2k(2k2) 1 (2k2)(2k4) 1 2( 1 2 1 4)( 1 4 1 6)( 1
8、 2k 1 2k2)( 1 2k2 1 2k4) ，即当nk1 时等式成立 1 2() k1 4(k1)1 由(1)和(2)，可知等式对一切nN N都成立 1 用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN N)，从“nk 到nk1”左端需增乘的代数式为( ) A2k1 B2(2k1) C D 2k1 k1 2k3 k1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2 平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线后，它们的交点个 数最多为( ) Af(k)k Bf(k)1 Cf(k)k1 Dkf(k) 3 利用数学归纳法证明 1(nN N， 且n2)时， 第
9、二步由nk 1 n 1 n1 1 n2 1 2n 到nk1 时不等式左端的变化是( ) A增加了这一项 1 2k1 B增加了和两项 1 2k1 1 2k2 C增加了和两项，同时减少了 这一项 1 2k1 1 2k2 1 k D以上都不对 4 用数学归纳法证明“若f(n)1 ，则nf(1)f(2)f(n1) 1 2 1 3 1 n nf(n)(nN N， 且n2)” 时， 第一步要证的式子是_ 5 在数列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差数列，则S2，S3，S4分别为_， 由此猜想Sn_. 答案：答案： 基础知识梳理基础知识梳理 k1 【做一做】 D 因为从nk到nk1的证明过程中没有
10、用到归纳假设， 故从nk到n k1 的推理不正确 典型例题领悟典型例题领悟 【例题 1】证明：(1)当n1 时，左边1 右边， 1 2 1 2 1 11 等式成立 (2)假设nk时等式成立，即 1 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k . 1 k1 1 k2 1 2k 则当nk1 时， 左边1 1 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 2k1 1 2k2 ( 1 k1 1 k2 1 2k) 1 2k1 1 2k2 ( 1 k2 1 2k 1 2k1) ( 1 k1 1 2k2) 右边 1 k2 1 2k 1 2k1 1 2k1 当nk1 时等式也成立 由(1)和(2)，知等式对
11、任意nN N都成立 【例题 2】 证明 ： (1)当n2 时， 左边， 右边()2， 左边右边 20， a2b2 2 ab 2( ab 2) 不等式成立 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)假设当nk(kN N，k1)时， 不等式成立， 即 k， 因为a0， b0，k1，k akbk 2( ab 2) N N，所以(ak1bk1)(akbabk)(ab)(akbk)0，于是ak1bk1akbabk. 当nk 1 时 ， k 1 k ( ab 2) ab 2( ab 2) akbk 2 ab 2 ak1bk1akbabk 4 ，当nk1 时，不等式也成立 ak1bk1ak1bk1
12、4 ak1bk1 2 由(1)和(2)，知对于a0，b0，n1，nN N，不等式 n恒成立 anbn 2( ab 2) 【例题 3】解：(1)已知a11，由题意，得a1a222， a222. a1a2a332，a3. 32 22 同理，可得a4，a5. 42 32 52 42 因此该数列的前五项为 1,4， ，. 9 4 16 9 25 16 (2)观察这个数列的前五项，猜测数列的通项公式应为 anError! 下面用数学归纳法证明当n2 时，an. n2 n12 当n2 时，a222，等式成立 22 212 假设当nk(k2)时，结论成立，即ak. k2 k12 a1a2ak1(k1)2，
13、a1a2ak1akak1(k1)2， ak 1 k12 a1a2ak1ak k12 k12 k12 k2 k12 k2 . k12 k112 当nk1 时，结论也成立 根据和，可知当n2 时，这个数列的通项公式是an. n2 n12 anError! 【例题 4】错因分析：由nk到nk1 时等式的证明没有用归纳假设，是典型的套 用数学归纳法的一种伪证 正确证法：(1)当n1 时，左边 ，右边 ，等式成立 1 2 4 1 8 1 8 (2)假设当nk时， 成立 1 2 4 1 4 6 1 6 8 1 2k2k2 k 4k1 那么当nk1 时， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1 2
14、4 1 4 6 1 6 8 1 2k2k2 1 2k22k4 k 4k1 1 4k1k2 kk21 4k1k2 k12 4k1k2 ， k1 4k2 k1 4k11 当nk1 时，等式成立 由(1)和(2)，可得对一切nN N等式都成立 随堂练习巩固随堂练习巩固 1B nk时，左边(k1)(k2)(kk)，而nk1 时， 左边(k1)1(k1)2(k1)(k1)(k1)k(k1)(k1) (k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2) 2(k1)(k2)(kk)(2k1) 2A 第k1 条直线与原来k条直线相交，最多有k个交点 3C 不等式左端共有n1 项，且分母是首项为n，公差为 1，末项为 2n的等差数列， 当nk时， 左端为 ； 当nk1 时， 左端为 1 k 1 k1 1 k2 1 2k 1 k1 1 k2 1 k3 ，对比两式，可得结论 1 2k 1 2k1 1 2k2 42f(1)2f(2) 起点n02，观察等式左边最后一项，将n2 代入即可 5， 由题意，得 2Sn1Sn2S1，且S1a11，令式子中的n分别取 3 2 7 4 15 8 2n1 2n1 1,2,3，可得S2 ，S3 ，S4，从而猜想Sn. 3 2 7 4 15 8 2n1 2n1