《2019高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教B版选修2_220181127111.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教B版选修2_220181127111.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.2.2 反证法2.2.2 反证法 1掌握间接证明的常见方法(反证法)的推理特点 2学会写出命题的否定，并以此作条件推出矛盾结论，即学习用反证法证明简单题目 反证法 一般地，由证明pq转向证明：_， t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判定_为假，推出_为真的方法，叫做 反证法 1反证法适宜证明“存在性，唯一性，带有至少有一个或至多有一个等字样” 的一些数学问题 2应用反证法证明数学命题的一般步骤： (1)分清命题的条件和结论； (2)做出与命题结论相矛盾的假设； (3)由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果； (4)断定产生矛盾结果的原因，
2、在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接 地证明命题为真 常见的主要矛盾有：与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾； 与临时假设矛盾； 与公认的事实或自相矛盾等 【做一做 11】应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用 ( ) 结论的相反判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论 A B C D 【做一做 12】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确 的是( ) A假设三角形的内角中至少有一个钝角 B假设三角形的内角中至少有两个钝角 C假设三角形的内角中没有一个钝角 D假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角 如何理解
3、反证法？ 剖析：反证法证题的特征：通过导出矛盾、归结为谬误，而使命题得证 反证法的原理是“否定之否定等于肯定” 反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾， 从而说明原结论正确， 即证明命题的逆否命 题成立否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬 法，否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法要注意用反证法解题，“否定结论”在 推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假 设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾 用反证法证明不等式，常用的否定形式有 ： “”的反面为“” ； “”的反面为“” ； “”的反面为“” ； “”的反面为“
4、” ； “”的反面为“” ； “”的反面为“” 或“”及“” 反证法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定” ， 其中：第一个否定是指“否定结论” ；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设” 反证法 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 属“间接解题方法” ，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设” 反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导 出矛盾，从而肯定结论的正确性 题型一 命题的结论是否定型 【例题 1】已知函数f(x)ax(a1) x2 x1 (1)证明函数f(x)在(1，)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x
5、)0 没有负数根 分析：应用增函数定义证明第一问；第二问的结论是否定型的，适于应用反证法 反思 ： 在解题过程中，提出假设，分类讨论等都是在合理地增设条件，为解题提供帮助 题型二 命题的结论涉及至多、至少及存在型 【例题 2】已知a，b，c都是小于 1 的正数，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a中至 少有一个不大于 . 1 4 分析 ： 命题中有“至少、不都、都不、至多”等指示性语句时，应用直接方法证明时难 度很大，根据正难则反的思想，应用反证法证明本题中“至少有一个”的否定是“一个也 没有” ，然后由假设入手，应用均值不等式证明 反思 ： 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立，反证法
6、的主要依据是逻辑中的排中 律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一 个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现 题型三 唯一性命题的证明 【例题 3】求证：过直线外一点只有一条直线与它平行 分析：本题属唯一性的证明问题，用反证法证明 已知：Aa，Ab，ba， 求证：b唯一 题型四 易错辨析 易错点 ： 运用反证法时，第一步否定结论易错因为有些结论的对立面不易确定，从而 导致错误 【例题 4】用反证法证明命题“a，b为整数，若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时， 应假设_ 错解：a，b不都是偶数 1 反证法证题的关键是在正确的假设下得出矛盾这个矛盾可以是(
7、 ) 与已知矛盾；与假设矛盾；与定义、定理、公理、法则矛盾；与事实矛盾 A B C D 2 命题“在ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是( ) Aab Bab Cab Dab 3“M不是N的子集”的充分必要条件是( ) A若xM则xN B若xN则xM C存在x1Mx1N，又存在x2Mx2N D存在x0Mx0N 4 设实数a，b，c满足abc1，则a，b，c中至少有一个数不小于_ 5 用反证法证明命题“若a2b20，则a，b全为 0(a，b为实数)”时，应假设 _ 答案；答案； 基础知识梳理基础知识梳理 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 qrt q q 【做一做 11】C 【做
8、一做 12】B “至多有一个”的反面为“至少有两个” 典型例题领悟典型例题领悟 【例题 1】 证明 ： (1)任取x1，x2(1， )， 不妨设x1x2， 则x2x10，ax2x11， 且ax10， ax2ax1ax1(ax2x11)0. 又x110，x210， x22 x21 x12 x11 x22x11x12x21 x11x21 0. 3x2x1 x11x21 f(x2)f(x1)ax2ax10. x22 x21 x12 x11 故函数f(x)在(1，)上为增函数 (2)假设存在x00(x01)，满足f(x0)0，则 ax0，且 0ax01， x02 x01 01，即 x02，与假设x00
9、 矛盾，故方程f(x)0 没有负根 x02 x01 1 2 【例题 2】证明：假设(1a)b ，(1b)c ，(1c)a . 1 4 1 4 1 4 a，b，c都是小于 1 的正数， ， ， ，1ab 1 2 1bc 1 2 1ca 1 2 从而 .1ab1bc1ca 3 2 但是1ab1bc1ca 1ab 2 1bc 2 ， 1ca 2 3abcabc 2 3 2 与上式矛盾 假设不成立，即原命题成立 【例题 3】证明：假设过点A还有一条直线ba. 根据平行公理，ba，bb， 与bbA矛盾 假设不成立，原命题成立 【例题 4】错因分析：a，b不都是偶数包括的情况是： a是偶数，b是奇数； a
10、是奇数；b是偶数； a，b都不是偶数 显然， 否定的结论并不是结论的对立面， 所以不正确， 题目中 “a，b 都不是偶数”指“a，b都是奇数” 正解：a，b不都是奇数 随堂练习巩固随堂练习巩固 1D 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2B “大于”的否定是“不大于” ，即“小于”或“等于” 3D 按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素所以，要 使M不是N的子集，只需存在x0M但x0N.选 D. 4 假设a，b，c都小于 ，则abc1. 1 3 1 3 故a，b，c中至少有一个不小于 . 1 3 5a，b不全为 0(a，b为实数) “a，b全为 0”即“a0 且b0” ，它的否定为“a0 或b0” ，即“a，b不全为 0”