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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 课时跟踪检测（十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（大 题练） 课时跟踪检测（十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题（大 题练） A 卷大题保分练 1(2018成都模拟)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F(，0)，长半轴长与 x2 a2 y2 b2 3 短半轴长的比值为 2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标 解：(1)由题意得，c， 2，a2b2c2，3 a b a2，b1， 椭圆C的标准方程为y21. x
2、2 4 (2)证明 ： 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2， y2) 由Error!消去y可得(4k21)x28kmx4m240. 16(4k21m2)0，x1x2，x1x2. 8km 4k21 4m24 4k21 点B在以线段MN为直径的圆上，0.BM BN (x1，kx1m1)(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(mBM BN 1)20， (k21)k(m1)(m1)20， 4m24 4k21 8km 4k21 整理，得 5m22m30， 解得m 或m1(舍去) 3 5 直线l的方程为ykx . 3 5 易知当直线l
3、的斜率不存在时，不符合题意 故直线l过定点，且该定点的坐标为. (0， 3 5) 2(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l 与C交于A，B两点，|AB|8. (1)求l的方程； 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程 解：(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由Error!得k2x2(2k24)xk20. 16k2160，故x1x2. 2k24 k2 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21). 4k24 k2 由题设知8，解得k1 或k1
4、(舍去) 4k24 k2 因此l的方程为yx1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)， 所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)， 即yx5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则Error! 解得Error!或Error! 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144. 3.(2018贵阳模拟)如图，椭圆C：1(ab0)的左顶点 x2 a2 y2 b2 与上顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上，且PFx轴，若ABOP，且|AB|2 .3 (1)求椭圆C的方程； (2)已知Q是C上不同于长轴端点的任意一点，在x轴上是否存在一点D，使得直线QA 与
5、QD的斜率乘积恒为 ，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由 1 2 解：(1)由题意得A(a,0)，B(0，b)，可设P(c，t)(t0)， 1，得t，即P， c2 a2 t2 b2 b2 a(c， b2 a) 由ABOP得 ，即bc，a2b2c22b2， b a b2 a c 又|AB|2，a2b212，3 由得a28，b24，椭圆C的方程为1. x2 8 y2 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)假设存在D(m,0)， 使得直线QA与QD的斜率乘积恒为 ， 设Q(x0，y0)(y00)， 则 1 2 x2 0 8 1， y2 0 4 kQAkQD ，A(2，0)，
6、1 2 2 (x0m)， y0 x02 2 y0 x0m 1 2 由得(m2)x02m80，22 即Error!解得m2，2 存在点D(2，0)，使得kQAkQD .2 1 2 4(2018昆明模拟)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为 4，P是椭圆C上 x2 a2 y2 b2(2， 5 5) 的点 (1)求椭圆C的方程； (2)O为坐标原点，A，B是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点，设，OD OA OB 证明：直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值 解：(1)由题意知 2c4，即c2， 则椭圆C的方程为1， x2 a2 y2 a24 因为点P在椭圆C上， (2， 5 5) 所以1，解得a25 或a
7、2(舍去)， 4 a2 1 5a24 16 5 所以椭圆C的方程为y21. x2 5 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2且x1x20， 由， 得D(x1x2，y1y2)，OA OB OD 所以直线AB的斜率kAB，直线OD的斜率kOD， y1y2 x1x2 y1y2 x1x2 由Error!得 (x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0， 1 5 即 ，所以kABkOD . y1y2 x1x2 y1y2 x1x2 1 5 1 5 故直线AB的斜率与OD的斜率的乘积为定值 . 1 5 B 卷深化提能练 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1(2018安徽江南十校
8、联考)在平面直角坐标系中，直线xym0 不过原点，且2 与椭圆1 有两个不同的公共点A，B. y2 4 x2 2 (1)求实数m的取值所组成的集合M； (2)是否存在定点P使得任意的mM，都有直线PA，PB的倾斜角互补？若存在，求出 所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)因为直线xym0 不过原点，所以m0.将xym0 与1 联22 y2 4 x2 2 立，消去y，得 4x22mxm240.2 因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B， 所以8m216(m24)0， 所以2b0) x2 a2 y2 b2 的右焦点F， 抛物线x24y的焦点为椭圆C的上顶点， 且l交椭圆C于A，B两点，
9、 点A，F，B3 在直线x4 上的射影依次为D，K，E. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交y轴于点M， 且1，2， 当m变化时， 证明 ：12MA AF MB BF 为定值； (3)当m变化时， 直线AE与BD是否相交于定点？若是， 请求出定点的坐标， 并给予证明 ； 否则，说明理由 解：(1)直线xmy1 过椭圆的右焦点， 右焦点F(1,0)，c1，即c21. x24y的焦点(0，)为椭圆C的上顶点，33 b，即b23，a2b2c24，3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 椭圆C的方程为1. x2 4 y2 3 (2)由题意知m0，由Error! 得(3m24)y26my9
10、0.显然0 恒成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2. 6m 3m24 9 3m24 1，2，M，MA AF MB BF (0， 1 m) 1(1x1， y1)，2(1x2， y2)， 11，2 (x 1，y11 m)(x 2，y21 m) 1 my1 1， 1 my2 1222 . y1y2 my1y2 6m 3m24 9m 3m24 8 3 综上所述，当m变化时，12为定值 . 8 3 (3)当m0 时，直线lx轴，则四边形ABED为矩形，易知AE与BD相交于点N， ( 5 2，0) 则若当m变化时，直线AE与BD相交于定点，则定点必为N，证明如下： ( 5 2
11、，0) ，易知E(4，y2)，则.AN ( 5 2x 1，y1) (3 2my 1，y1) NE ( 3 2，y 2) y2 (y1) (y1y2)my1y2m0， ( 3 2my 1) 3 2 3 2 3 2( 6m 3m24)( 9 3m24) ，即A，N，E三点共线AN NE 同理可得B，N，D三点共线 则猜想成立，故当m变化时，直线AE与BD相交于定点N. ( 5 2，0) 3 (2018贵州六校联考)已知点M是椭圆C：1(ab0)上一点，F1，F2分别为C x2 a2 y2 b2 的左、右焦点，|F1F2|4，F1MF260，F1MF2的面积为. 4 3 3 (1)求椭圆C的方程；
12、(2)设N(0,2)， 过点P(1， 2)作直线l， 交椭圆C于异于N的A，B两点， 直线NA，NB 的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值 解：(1)在F1MF2中，由 |MF1|MF2|sin 60，得|MF1|MF2|. 1 2 4 3 3 16 3 由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos 60(|MF1|MF2|)2 2|MF1|MF2|(1cos 60)， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 从而 2a|MF1|MF2|4，2 即a2，从而b2，2 故椭圆C的方程为1. x2 8 y2 4 (2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y
13、2k(x1)， 由Error!得(12k2)x24k(k2)x2k28k0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2. 4kk2 12k2 2k28k 12k2 从而k1k2 y12 x1 y22 x2 2kx 1x2k4x1x2 x1x2 2k(k4)4. 4kk2 2k28k 当直线l的斜率不存在时，可取A，B，得k1k24. (1， 14 2)(1， 14 2) 综上，恒有k1k24. 4(2019 届高三湘东五校联考)已知椭圆C的中心在原点，离心率等于 ，它的一个 1 2 短轴端点恰好是抛物线x28y的焦点3 (1)求椭圆C的方程； (2)如图，已知P(2,3)，Q
14、(2，3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的 动点 若直线AB的斜率为 ，求四边形APBQ面积的最大值； 1 2 当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由 解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)， x2 a2 y2 b2 则b2.由 ，a2c2b2，得a4，3 c a 1 2 椭圆C的方程为1. x2 16 y2 12 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2) 设直线AB的方程为yxt， 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 代入1，得x2txt2120， x2 16 y2 12 由0，解得4t4， 由一元二次方程根与系数的关系得
15、x1x2t，x1x2t212， |x1x2|.x1x224x1x2t24t212483t2 四边形APBQ的面积S 6|x1x2|3. 1 2 483t2 当t0 时，S取得最大值，且Smax12.3 若APQBPQ，则直线PA，PB的斜率之和为 0，设直线PA的斜率为k，则直线PB 的斜率为k，直线PA的方程为y3k(x2)， 由Error! 得(34k2)x28(32k)kx4(32k)2480， x12， 82k3k 34k2 将k换成k可得x22， 8k2k3 34k2 8k2k3 34k2 x1x2，x1x2， 16k212 34k2 48k 34k2 kAB ， y1y2 x1x2 kx123kx223 x1x2 kx1x24k x1x2 1 2 直线AB的斜率为定值 . 1 2