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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 03 导数及其应用 1.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程为x-y+2=0,则 f(1)+f(1)=( ). A.1B.2 C.3D.4 解析 由条件知(1,f(1)在直线x-y+2=0 上,且 f(1)=1,f(1)+f(1)=3+1=4,故选 D. 答案 D 2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,则 的值为 ( ). A.-B.-2 2 3 C.-2 或-D.2 或- 2 3 2 3 解析 由题意知f(x)=3x2+2ax+b, 则f(1)=0,f(1)=10, 即 3 + 2 + = 0, 1
2、 + + - 2- 7a = 10, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解得或 = - 2, = 1 = - 6, = 9, 经检验满足题意,故=-,故选 A. = - 6, = 9 2 3 答案 A 3.对于 R 上可导的任意函数f(x),若满足0,则必有( ). 1 - () A.f(0)+f(2)2f(1) B.f(0)+f(2)2f(1) C.f(0)+f(2)1 时,f(x)0,此时函数f(x)单调递增.即当x=1时,函数f(x)取得极小 值同时也取得最小值f(1).所以f(0)f(1),f(2)f(1),则 f(0)+f(2)2f(1).故选 A. 答案 A 4.若函数y
3、=- x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是 . 1 3 解析 y=-x2+a,若y=- x3+ax有三个单调区间,则方程-x2+a=0 1 3 应有两个不等实根,=4a0,故a的取值范围是(0,+). 答案 (0,+) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 能力 1 会应用导数的几何意义 【例 1】 (1)已知曲线f(x)=在点(1,f(1)处切线的斜率为 2 + 1 1,则实数a的值为( ). A.B.-C.-D. 2 3 3 2 3 4 4 3 (2)曲线f(x)=x2+ln x在点(1,f(1)处的切线方程为 . 解析 (1)对函数f(x)=求导,可得f(x)=. 2 + 1
4、 2( + 1) - 2 ( + 1)2 因为曲线f(x)=在点(1,f(1)处切线的斜率为 1, 2 + 1 所以f(1)=1,得a=,故选 D. 3 4 4 3 (2)因为f(x)=2x+, 1 所以曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为f(1)=2+ =3. 1 1 因为f(1)=1, 所以切线方程为y-1=3(x-1), 即 3x-y-2=0. 答案 (1)D (2)3x-y-2=0 1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法:(1)已知切点 P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程:先求出切线的斜率f(x0),由 点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率k,求y=f(
5、x)的切线方程:设切点 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 P(x0,y0),通过方程k=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切 线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数 求得切线斜率f(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解 得x0,再由点斜式或两点式写出方程. 2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数:已知过某点的切 线方程(斜率)或其与某直线平行、垂直,利用导数的几何意义、切点 坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解. 1.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切 1 线垂直,
6、则点P的坐标为 . 解析 函数ye=x的导函数为ye=x, 曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P的坐标为(x0,y0)(x00), 函数y=的导函数为y=-, 1 1 2 曲线y=(x0)在点P处的切线的斜率k2=-, 1 1 2 0 由题意知k1k2=-1,即 1=-1,解得=1, ( - 1 2 0) 2 0 又x00,x0=1. 点P在曲线y=(x0)上,y0=1, 1 故点P的坐标为(1,1). 答案 (1,1) 2.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则a= . 解析 (法一)令f(x)=x+ln x,求
7、导得f(x)=1+,则f(1)=2. 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 又f(1)=1,曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x- 1),即y=2x-1. 设直线y=2x-1 与曲线y=ax2+(a+2)x+1 相切的切点为P(x0,y0), 则当x=x0时,y=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,a=0 或x0=- . 1 2 又a+(a+2)x0+1=2x0-1,即a+ax0+2=0,当a=0 时,显然不满足2 0 2 0 此方程, x0=-,此时a=8. 1 2 (法二)求出曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1. 由得
8、ax2+ax+2=0, = 2 - 1, = 2+ (a + 2)x + 1, =a2-8a=0,a=8 或a=0(显然不成立). 答案 8 能力 2 会利用导数解决函数的单调性问题 【例 2】 (1)函数f(x)=x2ln x的单调递减区间为( ). A.(0,)B.e ( e e , + ) C.D. (- , e e) ( 0, e e) (2)若函数f(x)=ln x+ax2-2 在内存在单调递增区间,则实 ( 1 2 ,2 ) 数a的取值范围是( ). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.(-,-2 B.(- 1 8, + ) C.D.(-2,+) (- 2, - 1 8
9、) 解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+), 由题意得f(x)=2xln x+x=x(2ln x+1), 令f(x)g=-2,所以 1 22 ( 1 2 ,2 )( 1 2) a-2.故选 D. 答案 (1)D (2)D 利用导数研究函数的单调性:(1)已知函数解析式求单调区间,实 质上是求f(x)0,f(x)0). - 1 2 函数f(x)在1,+)上为增函数, f(x)=0 对任意的x1,+)恒成立, - 1 2 ax-10 对任意的x1,+)恒成立, 即a 对任意的x1,+)恒成立,a1. 1 答案 1,+) 2.已知函数f(x)= x2-2aln x+(a-2)x. 1 2 (1
10、)当a=-1 时,求函数f(x)的单调区间. (2)是否存在实数a,使函数g(x)=f(x)-ax在(0,+)上单调递增? 若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由. 解析 (1)当a=-1 时,f(x)= x2+2ln x-3x, 1 2 则f(x)=x+ -3= 2 2- 3x + 2 =. ( - 1)( - 2) 当 02 时,f(x)0,f(x)单调递增;当 10 时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)当a0,a0,x0,0, 2 + 1 x-10,得x1, f(x)的单调递增区间为(1,+). (2)由(1)可得f(x)=. 2( - 1 - 2)(x - 1) 已知a1,
11、即- 0,因此f(x)在上是 1 2 1 2 ( 1 2 ,1 ) 1 2 ,1 增函数, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 f(x)的最小值为f= - a+ln 2. ( 1 2) 1 2 3 4 综上,函数f(x)在上的最小值为 1 2 ,1 f(x)min= 1 2 - 3 4a + ln2, 0,均有x(2ln a-ln x)a恒成立,求正数a的取 值范围. 解析 (1)f(x)= - =,x(0,+). 1 2 - 2 若a0,则f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增,无极值. 若a0,当x(0,a)时,f(x)0,f(x)在(a,+)上单调递增. 高清试卷 下载可打印
12、 高清试卷 下载可打印 故f(x)在(0,+)有极小值,无极大值,f(x)的极小值为f(a)=ln a+1. (2)若对任意x0,均有x(2ln a-ln x)a恒成立, 则对任意x0,均有 2ln a+ln x恒成立, 由(1)可知f(x)的最小值为 ln a+1, 故问题转化为 2ln aln a+1,即 ln a1,解得 00 恒成立, 故f(x)0 恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.故选 A. 答案 A 4.如图,可导函数y=f(x)的图象在点P(x0,f(x0)处的切线为 l:y=g(x),设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是( ). A.h(x0)=0,
13、x=x0是h(x)的极大值点 B.h(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点 C.h(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点 D.h(x0)0 解析 由题设有g(x)=f(x0)(x-x0)+f(x0), 故h(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0), 所以h(x)=f(x)-f(x0). 因为h(x0)=f(x0)-f(x0)=0, 又当xx0时,有h(x)0, 所以x=x0是h(x)的极小值点,故选 B. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 B 5.若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在区间(2,+)上为增函数,则实数m的取 值范围为( ). A.(-,2)
14、B.(-,2 C.D. (- , 5 2) (- , 5 2 解析 f(x)=6x2-6mx+6,当x(2,+)时,f(x)0 恒成立, 即x2-mx+10 恒成立,mx+恒成立.令g(x)=x+,g(x)=1-, 1 1 1 2 当x2 时,g(x)0,即g(x)在(2,+)上单调递增,m2+ = . 1 2 5 2 答案 D 6.设函数f(x)=ln x+ax2- x,若x=1 是函数f(x)是极大值点,则函数 3 2 f(x)的极小值为( ). A.ln 2-2 B.ln 2-1 C.ln 3-2 D.ln 3-1 解析 f(x)=ln x+ax2- x, 3 2 f(x)= +2ax-
15、 . 1 3 2 x=1 是函数f(x)的极大值点, f(1)=1+2a- =0,a=, 3 2 1 4 f(x)=ln x+ x2- x. 1 4 3 2 f(x)= + - =(x0), 1 2 3 2 2- 3x + 2 2 ( - 2)( - 1) 2 当x(0,1)时,f(x)0; 当x(1,2)时,f(x)0. 当x=2 时,f(x)取极小值,极小值为 ln 2-2.故选 A. 答案 A 7.已知y=f(x)是奇函数,当x(0,2)时,f(x)=ln x-ax,当 ( 1 2) x(-2,0)时,f(x)的最小值为 1,则a的值等于( ). A.B.C.D.1 1 4 1 3 1
16、2 解析 由f(x)是奇函数,当x(-2,0)时,f(x)的最小值为 1 知, 当x(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 令f(x)= -a=0,得x= . 1 1 当 00;当x时,f(x)0,bR),若对任意x0,f(x)f(1), 则( ). A.ln a-2bD.ln a-2b 解析 f(x)=2ax+b-,由题意可知f(1)=0,即 2a+b=1,由选项 1 可知,只需比较 ln a+2b与 0 的大小,而b=1-2a,所以只需判断 ln a+2-4a的符号.构造一个新函数g(x)=2-4x+ln x,则g(x)= -4,令 1 g(x)=0,得x= .所以当0时,g(x)为减函
17、1 4 1 4 1 4 数,所以对任意x0 有g(x)g=1-ln 40,所以有g(a)=2-4a+ln ( 1 4) a=2b+ln a0ln a-2b. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 A 二、填空题 9.已知函数f(x)=fcos x+sin x,则f的值为 . ( 4) ( 4) 解析 因为f(x)=-fsin x+cos x, ( 4) 所以f=-fsin +cos , ( 4) ( 4) 4 4 所以f=-1, ( 4) 2 故f=fcos +sin =1. ( 4) ( 4) 4 4 答案 1 10.直线y=kx+1 与曲线y=x3+bx2+c相切于点M(1,2
18、),则b的值 为 . 解析 由直线y=kx+1与曲线y=x3+bx2+c相切于点M(1,2),知点 M(1,2)满足直线y=kx+1 的方程,即 2=k+1,解得k=1,即y=x+1. 由y=x3+bx2+c,知y=3x2+2bx,则y|x=1=3+2b=1,解得b=-1. 答案 -1 11.若函数f(x)=x3+ax-2 在(1,+)上是增函数,则实数a的取值范围 是 . 解析 由题意知f(x)=3x2+a, 已知f(x)在(1,+)上是增函数, 则f(x)=3x2+a0 对任意x(1,+)恒成立, 即a-3x2对任意x(1,+)恒成立,a-3. 答案 -3,+) 12.若函数f(x)=-
19、x2+4x-3ln x在t,t+1上不单调,则t的取值范围 1 2 是 . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 f(x)=-x+4- =-, 3 - 2+ 4x - 3 ( - 1)( - 3) 由f(x)=0 及判断可知函数f(x)的两个极值点为 1,3, 则只要这两个极值点有一个在(t,t+1)内,函数f(x)在t,t+1上 就不单调,所以t1t+1 或t3t+1, 解得 0t1 或 2t3. 答案 (0,1)(2,3) 三、解答题 13.已知函数f(x)=a(x+1)ln x-x+1(aR). (1)当a=2 时,求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)当a
20、时,求证:对任意x1,+),f(x)0 恒成立. 1 2 解析 (1)由f(x)=2(x+1)ln x-x+1 得f(x)=2ln x+ +1, 2 又切点为(1,0),斜率为f(1)=3, 故所求切线方程为y=3(x-1),即 3x-y-3=0. (2)当a 时,f(x)=a(x+1)ln x-x+1(x1), 1 2 欲证f(x)0,注意到f(1)=0,只要f(x)f(1)即可, f(x)=a-1(x1), (ln + 1 + 1) 令g(x)=ln x+ +1(x1), 1 则g(x)= - =0(x1), 1 1 2 - 1 2 所以g(x)在1,+)上单调递增, 所以g(x)g(1)=2, 所以f(x)2a-10, ( 1 2) 所以f(x)在1,+)上单调递增,于是有f(x)f(1)=0. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 综上,当a 时,对任意x1,+),f(x)0 恒成立. 1 2