《2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题19 直线与椭圆的综合 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题19 直线与椭圆的综合 Word版含解析.pdf（22页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 19 直线与椭圆的综合 1.直线x+4y+m=0 交椭圆+y2=1 于A,B两点,若线段AB中点的横坐标 2 16 为 1,则m=( ). A.-2 B.-1C.1D.2 解析 因为x+4y+m=0,所以y=- x- . 1 4 4 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则两式相减, 2 1 16 + 2 1= 1, 2 2 16 + 2 2= 1, 得=-=- . 1- 2 1- 2 1+ 2 16(1+ 2) 1 4 因为AB中点的横坐标为 1,所以纵坐标为 ,将代入直线y=- 1 4 ( 1, 1 4) x-,解得m=-2,故选 A. 1 4
2、 4 答案 A 2.已知F是椭圆+ =1(ab0)的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E 2 2 2 2 交于P,Q两点,若|PF|=2|QF|,且PFQ=120,则椭圆的离心率为 ( ). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.B.C.D. 1 3 1 2 3 3 2 2 解析 在PQF中,设|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右 焦点为E,由椭圆的对称性,知四边形PFQE是平行四边形,所以在 PEF中,由余弦定理得EF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因为PF+QF=2a=3t,所以 t=,所以e=,故选 C. 2 3 3 3 答案 C 3.如图,在
3、平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+ =1(ab0)的右焦点, 2 2 2 2 直线y=与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率 2 是 . 解析 将y=代入椭圆的标准方程, 2 得+ =1,所以x=a, 2 2 2 4 2 3 2 故B,C. (- 3 2 a, 2) ( 3 2 a, 2) 又因为F(c,0),所以=,=. ( + 3 2 a, - 2) ( - 3 2 a, - 2) 因为BFC=90,所以=0, 所以+=0, ( + 3 2 a)( - 3 2 a)(- 2) 2 即c2- a2+ =0. 3 4 2 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 将b2=
4、a2-c2代入并化简,得a2= c2, 3 2 所以e2= =, 2 2 2 3 所以e=(负值舍去). 6 3 答案 6 3 4.直线+ =1 与椭圆+ =1 相交于A,B两点,该椭圆上有点P,使得 4 3 2 16 2 9 PAB的面积等于 3,则这样的点P共有 个. 解析 设P1(4cos ,3sin ),即点P1在第一象限. (0 b0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦 2 2 2 2 的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( ). A.B.C.D. 1 2 2 2 3 2 5 5 解析 设直线与椭圆的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代 入椭圆方程,由
5、点差法可知yM=- xM,代入点M(-4,1),解得=,e= 2 2 2 2 1 4 =,故选 C.1 - 2 2 3 2 答案 C 能力 2 会用“设而不解”的思想解直线与椭圆中的弦长、面积问题 【例2】 在平面直角坐标系xOy中,动点M(x,y)总满足关系式2 =|x-4|. ( - 1)2+ 2 (1)点M的轨迹是什么曲线?并写出它的标准方程. (2)坐标原点O到直线l:y=kx+m的距离为 1,直线l与M的轨迹 交于不同的两点A,B,若=-,求AOB的面积. 3 2 解析 (1)由 2=|x-4|, ( - 1)2+ 2 得+ =1, 2 4 2 3 所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆
6、, 它的标准方程为+ =1. 2 4 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)由点O到直线l:y=kx+m的距离为 1,得d=1,即 1+k2=m2. | 1 + 2 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, 2 4 + 2 3 = 1, = + , =(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)0,得m2b0), 2 2 2 2 由椭圆的定义可得 2a=+ ( 3+ 2)2+ 1 ( 3 - 2)2+ 1 =+8 + 438 - 43 =+ ( 6+2)2 ( 6 - 2)2 =2,6
7、 a=.6 c=2,b2=2. 椭圆C的标准方程为+ =1. 2 6 2 2 (2)设直线l的方程为x=ky+2, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 代入椭圆C的方程并化简得(k2+3)y2+4ky-2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=-,y1y2=-. 4 2+ 3 2 2+ 3 OAB的面积S= |OF|y1-y2|=|y1-y2| 1 2 =. 162+ 8(2+ 3) 2+ 3 26 2+ 1 2+ 3 令t=(t1),则S=,当且仅当t=,即2+ 1 26t 2+ 2 26t 22t 32 k=1 时取等号, 此时直线l的方程为x=y+2. 圆心
8、O到直线l的距离d=,又圆O的半径为,故|DE|=226 =4.6 - 2 能力 3 会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的有关几何量 【例 3】 已知点M(-4,0),椭圆+ =1(0b0)的离心率为,过右焦点F且斜率 2 2 2 2 3 2 为k(k0)的直线与相交于A,B两点.若=3,则k=( ). A.1B.2C.D.32 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =3,y1=-3y2. e=,设a=2t,c=t,b=t, 3 2 3 x2+4y2-4t2=0. 设直线AB的方程为x=sy+t,3 代入中消去x,可得(s2+4)y2+2s
9、ty-t2=0,3 y1+y2=,y1y2=-. - 23st 2+ 4 2 2+ 4 由y1=-3y2可得-2y2=,-3=-, - 23st 2+ 4 2 2 2 2+ 4 解得s2=,k=.故选 D. 1 2 2 答案 D 能力 4 会用“设而不解”的思想求直线与椭圆中的最值 【例 4】 已知椭圆E:+ =1(ab0)经过点P,椭圆 2 2 2 2 (- 3,1 2) 的一个焦点为(,0).3 (1)求椭圆E的方程; (2)若直线l过点(0,)且与椭圆E交于A,B两点,求|AB|的最2 大值. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 (1)设椭圆E的左、右焦点分别为F1(-,0
10、)、F2(,0),33 则|PF1|=,|PF2|= . 1 2 7 2 |PF1|+|PF2|=4=2a,a=2. 又c=,b2=1,3 椭圆E的方程为+y2=1. 2 4 (2)当直线l的斜率存在时,设y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2),2 由得(1+4k2)x2+8kx+4=0, 2 4 + 2= 1, = + 2 2 由0 得 4k21. x1+x2=,x1x2=, - 82k 1 + 42 4 1 + 42 |AB|=1 + 2 ( 1+ 2)2 - 412 =2. - 6( 1 1 + 42) 2 + 1 1 + 42 + 1 设t=,则 00,得m20, 0(3 +
11、42) - 整理得0),2 0 44+ 32 164+ 242+ 9 0,b0)与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线 段AB中点的直线的斜率为,则 的值为( ). 3 2 A.B. 3 2 23 3 C.D. 93 2 23 27 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则a+b=1,a+b=1,2 1 2 1 2 2 2 2 即a-a=-(b-b),2 1 2 2 2 1 2 2 则=-1, 2 1- b22 2 1- a22 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =-1, (1- 2)(1+ 2) (1- 2)(1+ 2) (-1)=-1, 3 2 =,故选 B. 23 3
12、 答案 B 2.已知经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1 有两个不同2 2 2 的交点P和Q,则k的取值范围是( ). A. (- 2 2 , 2 2) B. (- , - 2 2) ( 2 2 , + ) C.(-,) 22 D.(-,-)(,+)22 解析 由题意得,直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程得2 2 2 +(kx+)2=1,整理得x2+2kx+1=0.直线l与椭圆有两个不2 ( 1 2 + 2) 2 同的交点P和Q等价于=8k2-4=4k2-20,解得k, ( 1 2 + 2) 2 2 2 2 即k的取值范围为.故选 B. (- , - 2 2) ( 2 2 ,
13、+ ) 答案 B 3.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A,B 2 2 两点.设O为坐标原点,则等于( ). A.-3B.-1 3 C.-或-3 D. 1 3 1 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 由题意知,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为 y-0=tan 45(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程+y2=1 并整理得 3x2- 2 2 4x=0,解得x=0 或x=,所以两个交点的坐标分别为(0,-1),所以 4 3 ( 4 3, 1 3) =-,同理,当直线l经过椭圆的左焦点时,也可得=-, 1 3 1 3 故选 B. 答案 B 4
14、.若椭圆+ =1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点 2 2 2 2 ( 1, 1 2) 分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程 是( ). A. + =1 B. + =1 2 4 2 3 2 3 2 2 C. + =1 D. + =1 2 5 2 4 2 8 2 5 解析 可设斜率存在的切线的方程为y- =k(x-1)(k为切线的 1 2 斜率),即2kx-2y-2k+1=0,由=1,解得k=-,所以圆x2+y2=1的 | - 2 + 1| 42+ 4 3 4 一条切线的方程为 3x+4y-5=0,可求得切点的坐标为,易知另一 ( 3 5, 4 5)
15、切点的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=-2x+2.令y=0 得右焦点为 (1,0),令x=0 得上顶点为(0,2),故a2=b2+c2=5,所以所求椭圆的方程 为+ =1,故选 C. 2 5 2 4 答案 C 5.已知椭圆C的方程为+=1(m0),若直线y=x与椭圆的一个交 2 16 2 2 2 2 点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为( ). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.2B.2 C.8D.223 解析 根据已知条件得c=,则点16 - 2 在椭圆+=1(m0)上, ( 16 - 2, 2(16 - 2) 2 ) 2 16 2 2 +=1,可得m=2
16、,故选 B. 16 - 2 16 16 - 2 22 2 答案 B 6.已知直线l:y=kx+2 过椭圆+ =1(ab0)的上顶点B和左焦点F, 2 2 2 2 且被圆x2+y2=4 截得的弦长为L,若L,则椭圆离心率e的取值范 45 5 围是( ). A.B. ( 0, 5 5) ( 0, 25 5 C.D. ( 0, 35 5 ( 0, 45 5 解析 依题意,知b=2,|kc|=2.设圆心到直线l的距离为d,则 L=2,解得d2.4 - 2 45 5 16 5 又因为d=,所以 ,解得k2.因为e2= =, 2 1 + 2 1 1 + 2 4 5 1 4 2 2 2 2+ 2 1 1 +
17、 2 所以 00,b0),若以C1的 2 11 2 2 2 2 长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A,B两点,且C1与C2的渐近 线的两个交点将线段AB三等分,则C2的离心率为( ). A.B.55 C.D.17 214 7 解析 设直线AB与椭圆在第一象限内的交点为P,A(cos 11 ,sin ),其中,11 ( 0, 2) 则P. ( 11 3 cos, 11 3 sin) 因为点P在椭圆上, 所以+sin2=1,解得 sin2=,cos2=,所以 tan =2, 即 cos2 9 11 9 4 5 1 5 =2,所以e=,故选 A. 1 +( ) 2 5 答案 A 8.已知椭圆+ =
18、1(03,但当直线AB的斜率不存在时,|AB|=3,故 3 3 + 42 |AB|存在最小值 3,故 D 选项不对. 答案 D 二、填空题 11.已知椭圆C:+ =1(ab0),F(,0)为其右焦点,过F且垂直于x 2 2 2 2 2 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2,则椭圆C的方程为 . 解析 由题意得解得 = 2, 22 = 2, 2= 2+ 2, = 2, = 2, 椭圆C的方程为+ =1. 2 4 2 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 + =1 2 4 2 2 12.已知直线MN过椭圆+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点,直线 2 2 PQ过原点O 与MN平
19、行,且PQ与椭圆交于P,Q两点,则= . |2 | 解析 由题意知F(-1,0),当直线MN斜率不存在时,|MN|= 22 ,|PQ|=2b=2,则=2.2 |2 | 2 当直线MN斜率存在时,设直线MN的斜率为k,则直线MN的方程 为y=k(x+1),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立整理得 2 2 + 2= 1, = ( + 1), (2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,由韦达定理得x1+x2=,x1x2=, - 42 22+ 1 22- 2 22+ 1 所以|MN|=|x1-x2|=1 + 21 + 2 ( 1+ 2)2 - 412 . 22 ( 2+ 1) 22+ 1
20、易知直线PQ的方程为y=kx,设P(x3,y3),Q(x4,y4),联立 解得x2=,y2=, 2 2 + 2= 1, = , 2 22+ 1 22 22+ 1 则|OP|2=x2+y2=,所以|PQ|=2|OP|,则|PQ|2=4|OP|2=, 2(2+ 1) 22+ 1 8(2+ 1) 22+ 1 =2. |2 | 2 答案 2 2 三、解答题 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 13.点A为椭圆+ =1(ab0)上的一个动点,弦AB、AC分别过椭圆的 2 2 2 2 左、右焦点F1、F2.当ACx轴时,恰好|AF1|=2|AF2|. (1)求该椭圆的离心率. (2)设=1,=2,
21、1+2是否为定值?若是,则求出该11B 22C 定值;若不是,请说明理由. 解析 (1)因为当ACx轴时,恰好|AF1|=2|AF2|, 由椭圆的定义知,2a-|AF2|=2|AF2|,|AF2|=,所以 2a- =2 ,即 2 2 2 =, 2 2 2 3 故椭圆的离心率e= =. 3 3 (2)设椭圆的半焦距为c,则F1(-c,0),F2(c,0),椭圆方程设为+ 2 32 =1,整理得 2x2+3y2-6c2=0. 2 22 设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2), 若直线AC的斜率存在,则直线AC的方程为y=(x-c), 0 0- c 联立消去x, = 0 0- c(x
22、 - c), 22+ 32- 62= 0, 得2(x0-c)2+3y2+4cy0(x0-c)y-4c2=0.2 0 2 0 由韦达定理得y0y2=, - 422 0 2(0- c)2+ 32 0 y2=, - 420 2(0- c)2+ 32 0 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 同理y0y1=,y1=. - 422 0 2(0+ c)2+ 32 0 - 420 2(0+ c)2+ 32 0 由=1得y0=-1y1,11B 则1=- =. 0 1 2(0+ c)2+ 32 0 42 由=2得2=- =,22C 0 2 2(0- c)2+ 32 0 42 所以1+2= 2(0- c)2+ 32 0+ 2(0+ c)2+ 320 42 2(22 0+ 320) + 42 42 =4, 2 62+ 42 42 故1+2=4. 若直线ACx轴,则2=1,1=3,所以1+2=4. 综上所述,1+2=4 是定值.