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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 22 不等式选讲 1.已知函数f(x)=m-|x-3|,mR,不等式f(x)2 的解集为x|22,得m-|x-3|2, 所以 5-m2 的解集为(2,4), 所以 5-m=2 且m+1=4,解得m=3. (2)关于x的不等式|x-a|f(x)恒成立,等价于|x-a|+|x-3|3 恒成立, 即|a-3|3 恒成立,解得a6 或a0. 2.已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|. (1)当m=-1 时,求不等式f(x)2 的解集; (2)若f(x)|2x+1|的解集包含,求m的取值范围. 3 4 ,2 解析 (1)当m=-1 时,f(x)=|x-1
2、|+|2x-1|, 当x1 时,f(x)=3x-22,解得 1x ; 4 3 当1 的解集; (2)当x(0,1)时,不等式f(x)x成立,求a的取值范围. 解析 (1)当a=2 时,f(x)=|x+1|-|2x-1|, 即f(x)= - 2, - 1, 3, - 1 1 得或或解得 1, - 1 3 1, - 1 1, 1 2, 1 3 或 x1 的解集为. | 1 3 x成立等价于当x(0,1) 时,|ax-1|0,由|ax-1|0,b0,a2+b2=a+b.证明: (1)(a+b)22(a2+b2); (2)(a+1)(b+1)4. 解析 (1)因为(a+b)2-2(a2+b2)=2ab
3、-a2-b2=-(a-b)20, 所以(a+b)22(a2+b2). (2)由(1)及a2+b2=a+b,得 02; (2)当a=0 时,不等式f(x)t2-t-7 对xR 恒成立,求实数t的取 值范围. 解析 (1)当a=1 时,由f(x)2 得|2x+1|-|x-1|2, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故有或或 2 - 1 2 x 1, 2 + 1 + - 1 2 1, 2 + 1 - ( - 1) 2, 即x1, 2 3 即x, 2 3 故原不等式的解集为. |x 2 3 (2)当a=0 时,f(x)=|2x|-|x-1|= - - 1, 1, 由函数f(x)的图象(图略)
4、知,f(x)min=f(0)=-1. 由-1t2-t-7 得t2-t-60,b0,且a2+b2=1,证明: (1)4a2+b29a2b2; (2)(a3+b3)20,b0,a,b(0,1), a30 的解集为 R,求实数a的取值 范围. 解析 (1)f(x)=|x+2|+|x-1|x+2-(x-1)|=3, 函数f(x)的最小值为 3,此时x的取值范围为-2,1. (2)不等式f(x)+ax-10 的解集为 R,等价于f(x)-ax+1 成立时, 即函数f(x)的图象恒位于直线y=-ax+1 的上方. f(x)=|x+2|+|x-1|= - 2 - 1, 1, 又函数y=-ax+1 表示过点(
5、0,1),斜率为-a的一条直线,如图所示, 由题意可知,m恒成立,须有f(x)minm;不等式的解集为 R,即 不等式恒成立;不等式的解集为空集,即不等式无解. 已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,aR. (1)若不等式f(x)2-|x-1|有解,求实数a的取值范围; (2)当a 1), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 作出函数f(x)的图象,由图可知f(x)在上单调递减,在 (- , 2) 上单调递增, 2, + ) f(x)min=f=- +1=3,解得a=-42|x|. (2)若f(x)a2+2b2+3c2对任意xR 恒成立,求证:ac+2bc. 7 8 解析 (1)
6、 f(x)2|x|x2+|x-2|2|x|或 2, 2+ x - 2 2x 或x2或02 0 2x 0, 2+ 2 - x - 2x 或x2|x|的解集为(-,1)(2,+). (2)当x2 时,f(x)=x2+x-24; 当x0,b0,a+b=1.求证: (1)+ ; 1 4 1 + 9 2 (2)+2.2 + 12 + 12 解析 (1)a0,b0,a+b=1, 1=a+(b+1), 1 2 +=a+(b+1)= , 1 4 1 + 1 2( 1 + 4 1 + ) 1 2(5 + + 1 + 4 + 1) 9 2 当且仅当b+1=2a,即a=,b=时,等号成立. 2 3 1 3 (2)(
7、分析法)要证+2,2 + 12 + 12 只需证 2a+1+2b+1+28,(2 + 1)(2 + 1) a0,b0,a+b=1, 只需证2.(2 + 1)(2 + 1) 由基本不等式可得=2,(2 + 1)(2 + 1) (2 + 1) + (2 + 1) 2 由此逆推而上,则不等式+2成立.2 + 12 + 12 3.已知函数f(x)=|ax-1|. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)当a=3 时,解不等式f(x)|x+1|; (2)若关于x的不等式f(x)+f(-x)2, 解得m3. 4.已知函数f(x)=|tx-3|+|x-1|(t为常数). (1)当t=4 时,求不等
8、式f(x)2 的解集; (2)当t=1 时,若函数f(x)的最小值为M,正数a,b满足+ =M,证 2 8 明:a+b9. 解析 (1)当t=4 时,f(x)2 等价于|4x-3|+|x-1|2. 当x1 时,4x-3+x-12,x ; 6 5 当 2, 2 - 3 5 1 2, 1 5 -2,g(x)=x2+2ax+,若对于x,都有f(x)g(x)成 7 4 - 1, 2 立,求a的取值范围. 解析 (1)当a=6 时,f(x)=|2x+4|+|2x-6|,f(x)12 等价于 |x+2|+|x-3|6. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为|x+2|+|x-3|= 2 - 1, 3, 5, - 2 3, - 2 + 1, 3, 2 - 1 6 - 2 3, 5 6 -2,且x时,f(x)=2x+4-(2x-a)=4+a, - 1, 2 所以f(x)g(x),即 4+ag(x). 又g(x)=x2+2ax+的最大值必为g(-1),g之一, 7 4 ( 2) 所以即 4 + 11 4 - 2a, 4 + 5 4 2 + 7 4, 3 - 5 4, 5 4 2 - a - 9 4 0, 解得-a , 5 12 9 5 所以a的取值范围为. - 5 12, 9 5