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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 6 解析几何 一、直线和圆 1.如何判断两条直线平行与垂直? (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有 k1=k2l1l2.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行. (2)两条直线垂直 若两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则k1k2=- 1l1l2,当一条直线的斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条 直线垂直. 2.如何判断直线与圆的位置关系? 设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d. 方法 位置关系 几何法代数法 相交d0 相切d=r=0 相离drr,圆心距为d,则两圆的
2、位置关系 可用下表来表示: 位 置 相离 外切 相交 内切 内含 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 关 系 几 何 特 征 dR+ r d=R+ r R- rb0) y2 a2 x2 b2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =1(ab0) 图形 范围 -axa -byb -bxb -aya 对称 性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(- a,0),A2(a, 0),B1(0,- b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为 2a;短轴B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|=2c 离心 率 e=(0,
3、1) c a a,b,c 的关 系 c2=a2-b2 2.双曲线的标准方程怎么求?几何性质有哪些? 标准 方程 - =1 x2 a2 y2 b2 (a0,b0) - =1 y2 a2 x2 b2 (a0,b0) 图形 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 范围 xa或 x-a,yR xR,y-a或 ya 对称 性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(- a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近 线 y= x y= x 离心 率 e=,e(1,+) 实虚 轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫作 双曲线的虚轴,它的长|B1
4、B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长 a,b,c 的 关系 c2=a2+b2 3.抛物线的标准方程是什么?几何性质有哪些? y2=2px (p0) y2=- 2px (p0) x2=2py (p0) x2=-2py (p0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 顶 点 O(0,0) 对 称 轴 直线y=0直线x=0 焦 点 F(p 2 ,0 ) F F( 0, p 2) F(0, - p 2) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (- p 2 ,0 ) 离 心 率 e=1 准 线 方 程 x=-p 2 x=p 2 y=-p 2 y=p 2 范 围 x0, yR
5、 x0, yR y0, xR y0, xR 开 口 方 向 向右向左向上向下 三、直线与圆锥曲线的位置关系 1.怎样判断直线与圆锥曲线的位置关系? 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程 Ax+By+C=0(A,B不同时为 0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去 y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的方程,即 消去y,得ax2+bx+c=0. + + = 0, (,) = 0 (1)当a0 时,设一元二次方程ax2+bx+c=0 的判别式为,则 0直线与圆锥曲线C相交; =0直线与圆锥曲线C相切; 0)的渐近线方程 2 2 2 4 为y= x,则a= . 1
6、 2 解析 因为a0,根据题意,双曲线的渐近线方程为y= x= x, 2 1 2 所以a=4. 答案 4 4.(2018天津卷文 T7 改编)已知双曲线- =1(a0,b0) 的渐近 2 2 2 2 线方程为y=x,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B3 两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1,d2,且d1+d2=6, 则双曲线的方程为( ). A. - =1B. - =1 2 3 2 9 2 9 2 3 C. -=1D.- =1 2 4 2 12 2 12 2 4 解析 由题意可得图象,如图,CD是双曲线的一条渐近线y= x, 即bx-ay=0,右焦点为F(c,0),且
7、ACCD,BDCD,EFCD,所以四边形 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 ABCD是梯形.又因为F是AB的中点,所以EF=3,得EF=b, 1+ 2 2 2+ 2 所以b=3.又=,所以a=,故双曲线的方程为- =1,故选 A. 33 2 3 2 9 答案 A (三)考查圆锥曲线的几何性质,属中等偏难题目,主要包含离心 率、范围、对称性、渐近线、准线等性质. 5.(2018全国卷文 T4 改编)已知椭圆C:+ =1(ab0)的一个 2 2 2 2 焦点为(2,0),离心率为,则C的标准方程为( ). 2 2 A. + =1B.+ =1 2 8 2 2 2 12 2 4 C. + =
8、1D. + =1 2 8 2 4 2 8 2 6 解析 因为椭圆焦点在x轴上,且c=2,离心率e= =,解得a=2 2 2 ,所以b=2,故C的标准方程为+ =1,故选 C.2 2 8 2 4 答案 C 6.(2018全国卷文 T10 改编)已知点(4,0)到双曲线C:- 2 2 2 2 =1(a0,b0)的渐近线的距离为 2,则C的离心率为( ).2 A.B.22 C.D.2 32 2 2 解析 由题意可知双曲线的一条渐近线为y= x,即bx-ay=0,故 点(4,0)到C的渐近线的距离d=2,整理可得a=b,故双曲线 |4| 2+ 2 2 C:- =1(a0,b0)的离心率e= =,故选
9、A. 2 2 2 2 1 + 2 2 2 答案 A 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (四)考查圆锥曲线中的最值和范围问题,属偏难题目,主要考查 以直线和圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求最值与 取值范围问题. 7.(2017全国卷文 T12 改编)已知椭圆C:+ =1 离心率的取值 2 3 2 范围为,则m的取值范围为( ). 6 3 ,1 ) A.(0,19,+) B.(0,9,+)3 C.(0,14,+) D.(0,4,+)3 解析 当 03 时,焦点在y轴上,则=, 3 3 3 1 -( ) 2 6 3 ,即,得m9.故m的取值范围为(0,19,+),故选 A.
10、3 3 3 3 3 答案 A 8.(2017全国卷文 T5 改编)已知双曲线C:- =1(a0,b0)的 2 2 2 2 虚轴长为 2,实轴长大于 2,则双曲线C的离心率的取值范围是( ). A.(,+) B.(,2)22 C.(1,)D.(1,2)2 解析 由题意知,b=1,a1,则e2= =1+ .因为a1,所以 2 2 2+ 1 2 1 2 10)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0). 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由得k2x2-(2k
11、2+4)x+k2=0. = ( - 1), 2= 4x, =16k2+160,故x1+x2=. 22+ 4 2 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=. 42+ 4 2 由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1. 42+ 4 2 因此l的方程为y=x-1. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0), 则 0= - 0+ 5, ( 0+ 1)2= ( 0- 0+ 1)2 2 + 16, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解得或 0= 3, 0= 2 0=
12、11, 0= - 6. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144. 2.(2017全国卷T20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上, 2 2 过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足= .2 (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3 上,且=1,证明:过点P且垂直于OQ的 直线l过C的左焦点F. 解析 (1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y), =(0,y0). 由= 得x0=x,y0=y.2 2 2 因为M(x0,y0)在C上,所以+ =1. 2 2 2 2 因此点P的轨迹方程为x2+y2
13、=2. (2)由题意知F(-1,0). 设Q(-3,t),P(m,n), 则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n), =(-3-m,t-n). 由=1 得-3m-m2+tn-n2=1. 又由(1)知m2+n2=2,故 3+3m-tn=0. 所以=0,即. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. (二)已知图形的几何性质,求有关参数的值(或取值范围) 3.(2018北京卷文 T20)已知椭圆M:+ =1(ab0)的离心率为, 2 2 2 2 6 3 焦距为 2.斜率为k的直线l与椭
14、圆M有两个不同的交点A,B.2 (1)求椭圆M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值; (3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M 的另一个交点为D,若C,D和点Q共线,求k. (- 7 4, 1 4) 解析 (1)由题意得解得 2= 2+ 2, = 6 3 , 2 = 2 2, = 3, = 1. 所以椭圆M的方程为+y2=1. 2 3 (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得 4x2+6mx+3m2-3=0, = + , 2 3 + 2= 1, 所以x1+x2=-,x1x2=. 3 2 32- 3 4 所以|AB|=
15、 ( 2 - 1)2+ (2 - 1)2 =2(2- 1)2 =2(1+ 2)2- 412 =. 12 - 32 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为.6 (3)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意得+3=3,+3=3.2 1 2 1 2 2 2 2 直线PA的方程为y=(x+2). 1 1+ 2 由 = 1 1+ 2(x + 2), 2+ 32= 3, 得(x1+2)2+3x2+12x+12-3(x1+2)2=0.2 1 2 1 2 1 设C(xC,yC), 所以xC+x1=. - 122 1 ( 1+ 2)2+ 321
16、 42 1- 12 41+ 7 所以xC=-x1=. 42 1- 12 41+ 7 - 12 - 71 41+ 7 所以yC=(xC+2)=. 1 1+ 2 1 41+ 7 设D(xD,yD), 同理得xD=,yD=. - 12 - 72 42+ 7 2 42+ 7 记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ, 则kCQ-kDQ=- 1 41+ 7 - 1 4 - 12 - 71 41+ 7 + 7 4 2 42+ 7 - 1 4 - 12 - 72 42+ 7 + 7 4 =4(y1-y2-x1+x2). 因为C,D,Q三点共线, 所以kCQ-kDQ=0. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下
17、载可打印 故y1-y2=x1-x2. 所以直线l的斜率k=1. 1- 2 1- 2 (三)求证图形的几何性质中一些几何量的相等问题 4.(2018全国卷文 T20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+ =1 2 4 2 3 交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m0). (1)证明:k0,x20. 由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4. = ( - 2), 2= 2x, 2 直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=+=. 1 1+ 2 2 2+ 2 21+ 12+ 2(1+ 2) ( 1+ 2)(2+ 2) 将x1= +2,x2= +2 及y1+y2,y1y2的表
18、达式代入式分子,可得 1 2 x2y1+x1y2+2(y1+y2)=0. 212+ 4k(1+ 2) - 8 + 8 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN. 综上,ABM=ABN. 1.圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题,常涉及不等式、 函数的值域等,综合性比较强,解法灵活多变,但总体上主要有两种方 法:一是利用几何方法,即利用曲线的定义、 几何性质以及平面几何中 的定理、 性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求的几何量或代 数表达式表示为某些参数的函数解析式,然后利用函数方法、不等式 方法等进行求解. 2.
19、圆锥曲线的几何性质主要包括离心率、 范围、 对称性、 渐近线、 准线等.这些性质问题往往与平面图形中三角形、四边形的有关几何 量结合在一起,主要考查利用几何量的关系求椭圆、双曲线的离心率 和双曲线的渐近线方程.对于圆锥曲线的最值问题,正确把握圆锥曲 线的几何性质并灵活应用,是解题的关键. 3.圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题,常涉及不等式的 恒成立问题、 函数的值域问题,综合性比较强.解决此类问题常用几何 法和判别式法. 4.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等 式,代入代数式,化简即可得出定值. (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距 离的关系式,再利用题设条件化简、变形求得定值. (3)求某条线段长度为定值.利用长度公式求得关系式,再依据条 件对关系式进行化简、变形即可求得定值. 5.(1)解决是否存在常数(或定点)的问题时,应首先假设存在,看 是否能求出符合条件的参数值,如果推出矛盾就不存在,否则就存在. (2)解决是否存在直线的问题时,可依据条件寻找适合条件的直 线方程,联立方程消元得出一元二次方程,利用判别式得出是否有解.