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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 专题 3 数列 一、等差数列 1.等差数列的通项公式是什么?如何表示等差数列中任意两项的 关系? an=a1+(n-1)d;an=am+(n-m)d. 2.等差数列的前n项和公式是什么?它具有什么特点? Sn=na1+d. (1+ ) 2 ( - 1) 2 等差数列的前n项和为关于n的二次函数,且没有常数项. 二、等比数列 1.等比数列的通项公式是什么?如何表示等比数列中任意两项的 关系? an=a1qn-1;an=amqn-m. 2.等比数列的前n项和公式是什么?具有什么特点?易忽略点是什 么? Sn= 1,q = 1, 1(1 - ) 1 - =
2、 1- q 1 - ,q 1. 当q1 时,Sn=-qn,qn的系数与常数项互为相反数. 1 1 - 1 1 - 应用等比数列前n项和公式时,应先讨论公式中的公比q是否等 于 1. 3.等差数列的单调性与什么有关?等比数列呢? 等差数列的单调性只取决于公差d的正负,而等比数列的单调性 既要考虑公比q的取值,又要考虑首项a1的正负. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.等差中项、等比中项的概念是什么?由此可以得到哪些重要的 性质? 等差中项:若a,M,b成等差数列,则M为a,b的等差中项,且M=. + 2 重要性质:已知数列an是等差数列,(1)若m,n,p,qN*,且 m+n=p+
3、q,则am+an=ap+aq.(2)an=S2n-1. 1 2 - 1 等比中项:若a,M,b成等比数列,则M为a,b的等比中项,且M2=ab. 重要性质:已知数列an是等比数列,若m,n,p,qN*,且m+n=p+q, 则aman=ap aq. 三、数列求和 列举数列求和的方法,各自的注意点是什么? (1)公式法求和:要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式. (2)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形 式的数列求和问题的方法,其中an与bn是等差(比)数列或一些可以 直接求和的数列. (3)裂项相消法:将数列的通项公式分成两个代数式子的差,即 an=f(n+1)-f(
4、n)的形式,然后通过累加抵消中间若干项的求和方法.形 如(其中an是公差d0 且各项均不为 0 的等差数列,c为常 + 1 数)的数列等.用裂项相消法求和时易认为只剩下首尾两项.用裂项相 消法求和时要注意所裂式与原式的等价性. 附:常见的裂项公式(其中nN*). = -. 1 ( + 1) 1 1 + 1 =. 1 ( + ) 1 ( 1 - 1 + ) =. 1 (2 - 1)(2 + 1) 1 2( 1 2 - 1 - 1 2 + 1) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =-. 1 + + 1 + 1 =. 1 + + 1 ( + - ) (4)错位相减法:形如anbn(其中an
5、为等差数列,bn为等比 数列)的数列求和,一般分三步:巧拆分;构差式;求和.用错位相 减法求和时易漏掉减数式的最后一项. (5)倒序求和法:距首尾两端等距离的两项和相等,可以用此法.一 般步骤:求通项公式;定和值;倒序相加;求和;回顾反思. 从近三年的高考全国卷试题来看,数列一直是高考的热点,数列 部分的题型、难度和分值都保持稳定,考查的重点主要是等差数列及 其前n项和、等比数列及其前n项和、数列的通项、数列的前n项和 等知识.考查内容比较全面,解题时要注意基本运算、 基本能力的运用, 同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用. 一、选择题和填空题的命题特点 等差(比)数列的基本运算:a
6、1,an,Sn,n,d(q)这五个量中已知其中 的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列 的通项公式和前n项和等. 1.(2018全国卷理 T4 改编)记Sn为等差数列an的前n项和. 若 3S3=S2+S4,a1=2,则S5=( ). A.-20 B.-10 C.10 D.20 解析 设数列an的公差为d,由题意可得 3(31+ 3 2 2 d) =2a1+d+4a1+d,解得d=- a1.因为a1=2,所以d=-3,所以S5=52+ 4 3 2 3 2 (-3)=-20,故选 A. 5 4 2 答案 A 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.(2018全国卷
7、理 T14 改编)记Sn为数列an的前n项和.若 Sn=2an+1,则a6= . 解析 当n2 时,Sn-1=2an-1+1,所以Sn-Sn-1=2(an-an-1),即 an=2an-1. 又a1=S1=2a1+1,所以a1=-10, 所以数列an是以-1 为首项,2 为公比的等比数列, 所以an=-2n-1,a6=-26-1=-32. 答案 -32 二、解答题的命题特点 等差(比)数列的基本运算:a1,an,Sn,n,d(q)这五个量中已知其中 的三个量,求另外两个量.已知数列的递推关系式以及某些项,求数列 的通项公式.已知等差(比)数列的某些项或前几项的和,求其通项公 式.等差(比)数列
8、的判断与证明以及等差数列前n项和的最值问题等. 1.(2018全国卷文 T17 改编)已知数列an满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn= . (1)证明数列bn是等比数列,并求an的通项公式. (2)求数列an的前n项和Sn. 解析 (1)由已知条件可得=,即bn+1=2bn. + 1 + 1 2 又b1=1,所以bn是首项为 1,公比为 2 的等比数列. 所以bn= =2n-1,所以an=n2n-1. (2)由(1)可得 Sn=a1+a2+an=120+221+322+n2n-1, 所以 2Sn=121+222+323+n2n, 两式相减得 -Sn=1+21+22+23+2n
9、-1-n2n=-n2n=2n-1-n2n, 1 - 2 1 - 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以Sn=(n-1)2n+1. 2.(2018全国卷理、 文 T17 改编)记Sn为等差数列an的前n项 和,已知a1=-7,a1+a2+a3=-15. (1)求an,Sn; (2)求数列|an|的前n项和Tn. 解析 (1)设数列an的公差为d,由题意得31 + 3d = - 15, 1= - 7, 解得d=2, 所以an=2n-9,Sn=n2-8n. (2)当 1n4(nN*)时,an0, 所以Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|an|=- (a1+a2+a
10、3+a4)+(a5+an)=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-8n+32. 综上所述,Tn= 8 - 2(1 n 4), 2- 8n + 32(n 5). 3.(2018全国卷理、文 T17 改编)在正项等比数列an 中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和,证明:an=. 1 + 2 解析 (1)设数列an的公比为q(q0),由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2(舍去)或q=2. 故an=2n-1. (2)因为an=2n-1,所以Sn=2n-1, 1 - 2 1 - 2 所以=2n-1=an. 1
11、+ 2 1 + (2- 1) 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.等差数列和等比数列的判断方法:判断等差数列和等比数列, 可 以先计算特殊的几项,观察其特征,然后归纳出等差数列或者等比数 列的结论.证明等差数列和等比数列,应该首先考虑其通项公式,利用 定义或者等差中项、等比中项来证明.利用通项公式和前n项和公式 只是作为判断方法,而不是证明方法.把对数列特征的判定渗透在解 题过程中,可以帮助学生拓展思维和理清思路. 2.数列通项的求法: (1)公式法: 等差数列通项公式;等比数列通项公式. (2)已知Sn(即a1+a2+an=f(n)求an,用作差法:an= 1(n = 1),
12、 - - 1(n 2,n N * ). (3)已知a1a2an=f(n)求an,用作商法:an= (1)( = 1), () ( - 1)(n 2,n N * ). (4)已知an+1-an=f(n)求an,用累加法:an=(an-an-1)+(an-1-an- 2)+(a2-a1)+a1(n2,nN*). (5)已知=f(n)求an,用累乘法:an= + 1 - 1 - 1 - 2 2 1 a1(n2,nN*). (6)已知递推关系式求an,用构造法(构造等差、等比数列). 3.数列求和:数列求和的关键是研究数列通项公式,根据通项公 式的不同特征选择相应的求和方法,若数列是等差数列或等比数列, 则 直接利用公式求和;若通项公式是等差乘等比型,则利用错位相减法; 若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消某些 项,则利用裂项相消法.