《2020版广西高考人教A版数学（理）一轮复习考点规范练：37 数学归纳法 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版广西高考人教A版数学（理）一轮复习考点规范练：37 数学归纳法 Word版含解析.pdf（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考点规范练考点规范练 37 数学归纳法数学归纳法 考点规范练考点规范练 A 册第册第 25 页页 基础巩固基础巩固 1.在用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n=n(2n+1)时,当 n=1 时的左边等于( ) A.1B.2C.3D.4 答案 C 解析在用数学归纳法证明等式 1+2+3+2n=n(2n+1)时,当 n=1 时的左边=1+2=3. 2.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数 n,总有 2nn3,则验证不等式成立所取的第一个 n 的最小 值应该是( ) A.1B.9 C.10D.n10,且 nN* 答案 C 解析 210=1 024103
2、.故选 C. 3.如果命题 P(n)对于 n=1 成立,同时,如果 n=k成立,那么对于 n=k+2 也成立.下述结论正确的是( ) A.P(n)对于所有的自然数 n 都成立 B.P(n)对于所有的正奇数 n都成立 C.P(n)对于所有的正偶数 n都成立 D.P(n)对于所有大于 3 的自然数 n 都成立 答案 B 解析由于若命题 P(n)对 n=k成立,则它对 n=k+2也成立. 又已知命题 P(1)成立,可推出 P(3),P(5),P(7),P(9),P(11)均成立, 即 P(n)对所有的正奇数 n都成立. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.用数学归纳法证明“n3+(n+1
3、)3+(n+2)3,nN*,能被 9 整除”,要利用归纳假设证当 n=k+1(kN*)时的 情况,只需展开( ) A.(k+3)3B.(k+2)3 C.(k+1)3D.(k+1)3+(k+2)3 答案 A 解析假设 n=k(kN*)时,k3+(k+1)3+(k+2)3能被 9 整除,当 n=k+1 时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上 面的归纳假设证明,只需将(k+3)3展开,让其出现 k3即可.故选 A. 5.对于不等式 ,1+1,1+,1+2,你能得到一个怎样的一般 1 2 1 2 + 1 3 1 2 + 1 3 1 7 3 2 1 2 + 1 3 1 15 不等式?并加
4、以证明. 解一般结论:1+(nN*),证明如下: 1 2 + 1 3 1 2 - 1 2 (1)当 n=1时,由题设条件知命题成立. (2)假设当 n=k(kN*)时猜想成立, 即 1+. 1 2 + 1 3 1 2 - 1 2 当 n=k+1时,1+ 1 2 + 1 3 1 2 - 1 + 1 2 1 2 + 1 - 1 2 + 1 2 + 1 2+ 1 1 2 + 1 - 1 2 + 1 2 + 1 + +. 1 2 + 1 1 2 + 1 = 2 + 2 2 + 1 = + 1 2 当 n=k+1时不等式成立. 根据(1)和(2)可知猜想对任何 nN*都成立. 8.观察下列等式: 1=1
5、, 2+3+4=9, 3+4+5+6+7=25, 4+5+6+7+8+9+10=49, (1)写出第 5 个等式; (2)你能作出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明你的猜想. 解(1)第 5个等式为 5+6+7+13=81. (2)猜测第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2. 证明:当 n=1时显然成立; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 假设当 n=k(k1,kN*)时成立, 即 k+(k+1)+(k+2)+(3k-2)=(2k-1)2. 则当 n=k+1时,(k+1)+(k+2)+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)=k+(k+1)
6、+(k+2)+(3k-2)+(2k- 1)+3k+3k+1=(2k-1)2+(2k-1)+3k+(3k+1)=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=2(k+1)-12. 这就是说,当 n=k+1 时,等式也成立. 根据知,等式对任何 nN*都成立. 9.设 a0,f(x)=,令 a1=1,an+1=f(an),nN*. + (1)写出 a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. (1)解a1=1,a2=f(a1)=f(1)=;a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.猜想 an=(nN*). 1 + 2 + 3 + ( - 1) + (2)证明易知当 n
7、=1时,猜想正确. 假设当 n=k(kN*)时,猜想正确, 即 ak=,则 ak+1=f(ak)= ( - 1) + + = ( - 1) + + ( - 1) + =. ( - 1) + + 1 = ( + 1) - 1 + 故 n=k+1时,猜想正确. 由知,对于任何 nN*,都有 an=. ( - 1) + 能力提升能力提升 10.利用数学归纳法证明不等式 1+2,f(8) ,f(16)3,f(32) ,则其一般结论 1 2 + 1 3 1 5 2 7 2 为 . 答案 f(2n)(n2,nN*) + 2 2 解析因为 f(22) ,f(23) ,f(24) ,f(25) ,所以当 n2 时,有 f(2n).故填 f(2n)(n2,nN*). 4 2 5 2 6 2 7 2 + 2 2 + 2 2