《2020版高考数学（浙江专用）一轮总复习检测：10.3 抛物线及其性质 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（浙江专用）一轮总复习检测：10.3 抛物线及其性质 Word版含解析.pdf（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10.3 抛物线及其性质 挖命题 【考情探究】 5 年考情 考点内容解读 考题示例考向关联考点 预测热度 2016 浙江文,19 抛物线的定义和 标准方程 直线与抛物线的 位置关系、抛物线的焦 点坐标、准线方程 抛物线 的定义 和标准 方程 1.了解圆锥曲线的实际背景,了 解圆锥曲线在刻画现实世界和 解决实际问题中的作用. 2.掌握抛物线的定义、几何图 形、标准方程. 2014 浙江文,22 抛物线的定义 和标准方程 直线与抛物线的位置关 系、 抛物线的焦点坐标 2016 浙江,9 抛物线的焦点坐 标、 准线方程 抛物线的定义和 标准方程 2015
2、浙江,5 抛物线的焦点坐 标 抛物线的定义和 标准方程、直线与抛物线 的位置关系 抛物线 的几何 性质 1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.理解数形结合的数学思想. 2014 浙江文,22 抛物线的焦点坐 标 直线与抛物线的位置关 系、 抛物线的定义和标准方程 分析解读 1.考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质. 2.考查直线与抛物线的位置关系,以及与抛物线有关的综合问题. 3.预计 2020 年高考中,抛物线的标准方程及简单几何性质仍将被考查. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 破考点 【考点集训】 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2018 浙江杭州二中期中,8)已知点
3、A(4,4)在抛物线 y2=2px(p0)上,该抛物线的焦点为 F,过点 A 作抛物 线准线的垂线,垂足为 E,则EAF 的平分线所在的直线方程为( ) A.2x+y-12=0B.x+2y-12=0 C.2x-y-4=0D.x-2y+4=0 答案 D 2.(2018 浙江名校协作体期初,15)已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N. 若=,则|= . 1 2 答案 5 考点二 抛物线的几何性质 1.(2018 浙江新高考调研卷一(诸暨中学),2)抛物线 y2=4ax 的焦点坐标为( ) A.(a,0)或(-a,0)B.(a,0) C.(
4、-a,0) D.(|a|,0) 答案 B 2.(2018 浙江镇海中学 5 月模拟,16)已知抛物线 y2=4x,焦点记为 F,过点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点, 则 |AF|-的最小值为 . 2 | 答案 2-2 2 炼技法 【方法集训】 方法 1 求抛物线标准方程的方法 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.(2018浙江镇海中学期中,19)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F(0,1),过O 作斜率为 k(k0)的直线 l 交抛物线于 A(异于 O 点),已知 D(0,5),直线 AD 交抛物线于另一点 B. (1)求抛物线 C
5、的方程; (2)若 OABF,求 k 的值. 解析 (1)由题意知, =1,所以 p=2,所以抛物线 C:x2=4y. (2)由题意知,直线 OA:y=kx,将其代入抛物线方程:x2=4y 中, 消去 y,得 x2-4kx=0,则 A(4k,4k2). 直线 AB:y=x+5,直线 BF:y=-x+1, 4 2 - 5 4 联立可解得 B. ( - 16 4 2 - 1 , 4 2 + 15 4 2 - 1) 又因为 B 在抛物线 C 上,则=4, ( - 16 4 2 - 1) 2 4 2 + 15 4 2 - 1 得(4k2+3)(4k2-5)=0,得 k=. 5 2 2.(2018 浙江
6、名校协作体期初,21)如图,已知抛物线 C1:x2=2py(p0)的焦点在抛物线 C2:y=x2+1 上,点 P 是抛 物线 C1上的动点. (1)求抛物线 C1的方程及其准线方程; (2)过点 P 作抛物线 C2的两条切线,A、B 为两个切点,求PAB 面积的最小值. 解析 (1)抛物线 C1的方程为 x2=4y, 其准线方程为 y=-1. (2)设 P(2t,t2),A(x1,y1),B(x2,y2), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则切线 PA 的方程为 y-y1=2x1(x-x1),即 y=2x1x-2+y1,又 y1=+1,所以 y=2x1x+2-y1,同理得切线 PB
7、 的方程 2121 为y=2x2x+2-y2,又切线PA和PB都过P点,所以所以直线AB的方程为4tx-y+2-t2=0. 41- 1+ 2 - 2 = 0, 42- 2+ 2 - 2 = 0, 联立得 x2-4tx+t2-1=0,所以 = 4 + 2 - 2, = 2+ 1 1+ 2= 4t, 12= 2- 1. 所以|AB|=|x1-x2|=.1 + 1621 + 162122+ 4 点 P 到直线 AB 的距离 d=. |82- 2+ 2 - 2| 1 + 162 6 2 + 2 1 + 162 所以PAB 的面积 S=|AB|d=2(3t2+1)=2(3t2+1, 3 2 + 1) 3
8、 2 所以当 t=0 时,S 取得最小值,为 2,即PAB 面积的最小值为 2. 方法 2 利用抛物线的定义解决有关问题的方法 1.(2018 浙江宁波模拟,8)设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 P(5,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物 线的准线相交于 C,若|BF|=5,则BCF 与ACF 的面积的比= ( ) A.B.C.D. 20 33 15 31 20 29 答案 D 2.(2018 浙江金华十校第一学期期末调研,12)已知抛物线 y2=2px(p0)上一点 A(1,a)到焦点的距离为 2,则 该抛物线的准线方程为 ;a= . 答案 x=-1;2 过专题 【五年高
9、考】 A 组 自主命题浙江卷题组 考点一 抛物线的定义和标准方程 (2016 浙江,9,4 分)若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是 . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 9 考点二 抛物线的几何性质 1.(2015 浙江,5,5 分)如图,设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则BCF 与ACF 的面积之比是( ) A.B.C.D. | - 1 | - 1 |2- 1 |2- 1 | + 1 | + 1 |2+ 1 |2+ 1 答案 A
10、2.(2016浙江文,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1. (1)求 p 的值; (2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N,AN 与 x 轴交于 点 M.求 M 的横坐标的取值范围. 解析 (1)由题意可得,抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离,由抛物线的定义得=1, 即 p=2. (2)由(1)得,抛物线方程为 y2=4x,F(1,0),可设 A(t2,2t),t0,t1. 因为 AF 不垂直于 y 轴,可设直线 AF:x
11、=sy+1(s0),由消去 x 得 y2-4sy-4=0, 2= 4x, = + 1 故 y1y2=-4,所以 B. ( 1 2 , - 2 ) 又直线 AB 的斜率为,故直线 FN 的斜率为-. 2 2- 1 2- 1 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 从而得直线 FN:y=-(x-1),直线 BN:y=-. 2- 1 2 所以 N. ( 2+ 3 2- 1 , - 2 ) 设 M(m,0),由 A,M,N 三点共线得 =,于是 m=. 2 2- m 2 + 2 2- 2+ 3 2- 1 2 2 2- 1 所以 m2.经检验,m2 满足题意. 综上,点 M 的横坐标的取值范围是
12、(-,0)(2,+). 思路分析 (1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物 线方程联立可得 B 点坐标,进而得直线 FN 的方程与直线 BN 的方程,联立可得 N 点坐标,最后利用 A,M,N 三点 共线可得 kAM=kAN,最终求出结果. 评析 本题主要考查抛物线的几何性质、 直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思 想方法和综合解题能力. 3.(2014 浙江文,22,14 分)已知ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x2=4y 上,F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的 中点,=3. (1)若|=3,求点 M
13、 的坐标; (2)求ABP 面积的最大值. 解析 (1)由题意知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1. 设 P(x0,y0),由抛物线的定义知|PF|=y0+1,得到 y0=2, 所以 P(2,2)或 P(-2,2). 22 由=3,分别得 M或 M. ( - 22 3 ,2 3) ( 22 3 ,2 3) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由得 x2-4kx-4m=0, = + , 2= 4y 于是 =16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以 AB 中点
14、 M 的坐标为(2k,2k2+m). 由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以由=4y0得 k2=-m+. 0=- 6k, 0= 4 - 62- 3m, 20 4 15 由 0,k20,得-f, ( - 1 3, 1 9) ( 1 9,1) (1, 4 3) ( 1 9) 256 243 ( 4 3) 所以,当 m=时, f(m)取到最大值,此时 k=. 256 243 55 15 所以ABP 面积的最大值为. 2565 135 评析 本题主要考查抛物线的几何性质、 直线与抛物线的位置关系、 三角形面积公式、 平面向量等基础知识, 同时考查解析几何的基本思想方法和运算
15、求解能力. B 组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2017 课标全国理,16,5 分)已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N. 若 M 为 FN 的中点,则|FN|= . 答案 6 2.(2015 陕西,14,5 分)若抛物线 y2=2px(p0)的准线经过双曲线 x2-y2=1 的一个焦点,则 p= . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 2 2 考点二 抛物线的几何性质 1.(2016 课标全国,10,5 分)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于
16、 D,E 两点.已知 |AB|=4,|DE|=2,则 C 的焦点到准线的距离为( ) 25 A.2B.4C.6D.8 答案 B 2.(2018 课标,16,5 分)已知点 M(-1,1)和抛物线 C:y2=4x,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与C 交于 A,B 两点. 若AMB=90,则 k= . 答案 2 3.(2018 北京文,10,5 分)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴.若 l 被抛物线 y2=4ax 截得的线段长为 4,则抛 物线的焦点坐标为 . 答案 (1,0) 4.(2017 北京理,18,14 分)已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1).过点作直线 l
17、 与抛物线 C 交于不同的两 (0, 1 2) 点 M,N,过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点. (1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段 BM 的中点. 解析 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系. (1)由抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1),得 p=. 所以抛物线 C 的方程为 y2=x. 抛物线 C 的焦点坐标为,准线方程为 x=-. ( 1 4,0) (2)证明:由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+ (k0),l 与抛物线 C 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2).
18、由得 4k2x2+(4k-4)x+1=0. = + 1 2, 2= x 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 x1+x2=,x1x2=. 1 - 2 1 4 2 因为点 P 的坐标为(1,1),所以直线 OP 的方程为 y=x,点 A 的坐标为(x1,x1).直线 ON 的方程为 y=x,点 B 的 2 2 坐标为. (1, 21 2) 因为 y1+-2x1= 21 2 12+ 21- 212 2 = (1 + 1 2)2 + (2 + 1 2)1 - 212 2 =0, (2 - 2)12+ 1 2 ( 2+ 1) 2 (2 - 2) 1 4 2 + 1 - 2 2 2 所以 y1
19、+=2x1. 21 2 故 A 为线段 BM 的中点. 方法总结 在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据 根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解. 易错警示 在设直线方程时,若要设成 y=kx+m 的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成 x=ty+n 的形式, 注意先讨论斜率是不是 0. C 组 教师专用题组 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2016课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= (k0)与C交于点P,PFx轴,则 k=( ) A.B.1C.D.2 答案 D 2.(2014 辽宁,8,5 分)已知
20、点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率为 ( ) A.-B.-1 C.-D.- 答案 C 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.(2014 课标,10,5 分)已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF|=x0,则 x0=( ) A.1B.2C.4D.8 答案 A 4.(2017 山东,15,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 2 2 2 2 x2=2py(p0)交于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近
21、线方程为 . 答案 y=x 2 2 5.(2014 湖南,15,5 分)如图,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F 两点,则= . 答案 1+ 2 6.(2014 湖南,14,5 分)平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x=-1 的距离相等.若 机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是 . 答案 (-,-1)(1,+) 考点二 抛物线的几何性质 1.(2015 陕西,3,5 分)已知抛物线 y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( ) A.(-1,0) B.(1
22、,0) C.(0,-1) D.(0,1) 答案 B 2.(2015 四川,10,5 分)设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点 M,且 M 为 线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( ) A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4) 答案 D 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.(2014 安徽,3,5 分)抛物线 y=x2的准线方程是( ) A.y=-1B.y=-2 C.x=-1D. x=-2 答案 A 4.(2014 四川,10,5 分)已知 F 为抛物线 y2=x 的
23、焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,=2(其 中 O 为坐标原点),则ABO 与AFO 面积之和的最小值是( ) A.2B.3C.D. 172 8 10 答案 B 5.(2017 天津,12,5 分)设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l.已知点 C 在 l 上,以 C 为圆心的圆与 y 轴的正 半轴相切于点 A.若FAC=120,则圆的方程为 . 答案 (x+1)2+(y-)2=1 3 6.(2014 上海,4,4 分)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆+=1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程 2 9 2 5 为 . 答案 x=-2 7.(2014 福建,21,1
24、2 分)已知曲线 上的点到点 F(0,1)的距离比它到直线 y=-3 的距离小 2. (1)求曲线 的方程; (2)曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A,直线 y=3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M,N.以 MN 为直径作圆 C, 过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B.试探究:当点 P 在曲线 上运动(点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度是 否发生变化?证明你的结论. 解析 (1)解法一:设 S(x,y)为曲线 上任意一点, 依题意,得点 S 到 F(0,1)的距离与它到直线 y=-1 的距离相等, 所以曲线 是以点 F(0,1)为焦点、直线 y=-1 为准线的抛
25、物线,所以曲线 的方程为 x2=4y. 解法二:设 S(x,y)为曲线 上任意一点, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则|y-(-3)|-=2,( - 0)2+ (y - 1)2 依题意,知点 S(x,y)只能在直线 y=-3 的上方,所以 y-3, 所以=y+1,( - 0)2+ (y - 1)2 化简得,曲线 的方程为 x2=4y. (2)当点 P 在曲线 上运动(点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度不变.证明如下: 由(1)知抛物线 的方程为 y=x2, 设 P(x0,y0)(x00),则 y0=, 1 4 2 0 由 y=x,得切线 l 的斜率 k=y=x0,| =
26、 0 所以切线 l 的方程为 y-y0=x0(x-x0),即 y=x0x-. 1 4 2 0 由得 A. = 1 20x - 1 4 2 0, = 0 ( 1 20,0) 由得 M. = 1 20x - 1 4 2 0, = 3 ( 1 20 + 6 0,3) 又 N(0,3),所以圆心 C, ( 1 40 + 3 0,3) 半径 r=|MN|=, | 1 40 + 3 0| |AB|=|2- 2 =. 1 20 - ( 1 40 + 3 0) 2 + 32- ( 1 40 + 3 0) 2 6 所以点 P 在曲线 上运动(点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度不变. 评析 本题主要考查
27、抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,考查运算求解能力、 推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8.(2014 大纲全国,21,12 分)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点 为 Q,且|QF|=|PQ|. (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N 两点,且 A、M、B、N 四点 在同一圆上,求 l 的方程. 解析 (1)设 Q(x0,
28、4),代入 y2=2px 得 x0=. 所以|PQ|=,|QF|=+x0=+. 由题设得+=, 解得 p=-2(舍去)或 p=2. 所以 C 的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m0). 代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故 AB 的中点为 D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1). 2+ 1 又 l的斜率为-m, 所以 l的方程为 x=-y+2m2+3. 1 将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+y-4(2m2+3)
29、=0. 4 设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3). 4 故 MN 的中点为 E, ( 2 2 + 22+ 3, - 2 ) |MN|=|y3-y4|=. 1 + 1 2 4(2+ 1) 22+ 1 2 由于 MN 垂直平分 AB,故 A、M、B、N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 即 4(m2+1)2+=. (2 + 2 ) 2 ( 2 2 + 2) 2 4(2+ 1)2(22+ 1) 4 化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1.
30、 所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. 评析 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、四点共圆等基础知识.考查解析几何的 基本思想方法,考查运算求解能力和综合解题能力.对于第(2)问将直线 l 方程设为 x=my+1(m0),这样可以 避免讨论斜率不存在的情形,使问题简单化. 【三年模拟】 一、选择题(每小题 4 分,共 4 分) 1.(2018 浙江镇海中学期中,6)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,O 为原点,若 M 是抛物线上的动点,则的 | | 最大值为( ) A.B.C.D. 3 3 6 3 23 3 26 3 答案 C 二、填空题(单空题
31、4 分,多空题 6 分,共 16 分) 2.(2019 届浙江温州九校联考,15)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,则 += ,-|BF|2的最大值为 . 1 | 1 | 16 | 答案 1;4 3.(2018浙江台州第一次调考(4月),12)抛物线C:y2=8x的焦点F的坐标为 ,若点P(,m)在抛物线C 3 上,则线段 PF 的长度为 . 答案 (2,0);+2 3 4.(2018 浙江镇海中学阶段性测试,16)已知 M(a,4)为抛物线 y2=2px(p0)上的一点,F 为抛物线的焦点,N 为 y 轴上的动点,当 sinMNF 的值最大
32、时,MNF 的面积为 5,则 p 的值为 . 答案 2 或 8 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 三、解答题(共 60 分) 5.(2019 届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,21)已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M(-2,8),且 |MF|=4. 5 (1)求抛物线的方程; (2)设 A,B 是抛物线上的两点,当 F 为ABM 的垂心时,求直线 AB 的方程. 解析 (1)由题意得|MF|=4, ( 2 + 2) 2 + 645 解得 p=4, 所以抛物线的方程为 y2=8x.(5 分) (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 因为 F 是ABM 的垂心
33、,所以 MFAB,所以 kMFkAB=-1, 故 kAB=,(7 分) 所以设直线 AB 的方程为 x=2y+n,与 y2=8x 联立得 y2-16y-8n=0. 令 0,有 n-8. y1+y2=16,y1y2=-8n.(10 分) 因为 F 是ABM 的垂心,所以 MAFB. 即 x1x2-2x1+2x2-4+y1y2-8y2=0, 同理,x1x2-2x2+2x1-4+y1y2-8y1=0, +得 2x1x2-8+2y1y2-8(y1+y2)=0.(13 分) 所以 n2-8n-68=0,解得 n=42,又因为 n-8, 21 所以直线 AB 的方程为 x-2y-42=0.(15 分) 2
34、1 6.(2018 浙江嘉兴教学测试(4 月),21)如图,点 P(1,1)为抛物线 y2=x 上一定点,斜率为-的直线与抛物线交 于 A,B 两点. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求弦 AB 的中点 M 的纵坐标; (2)点 Q 是线段 PB 上任意一点(异于端点),过 Q 作 PA 的平行线交抛物线于 E,F 两点,求证:|QE|QF|- |QP|QB|为定值. 解析 (1)由作差,可得(yA+yB)(yA-yB)=xA-xB, 2= , 2= =-,(*) 1 + - - 所以 yA+yB=-2,yM=-1. + 2 (2)证明:设 Q(x0,y0),直线 EF:x-
35、x0=t1(y-y0),联立方程组y2-t1y+t1y0-x0=0, - 0 = 1(y - 0), 2= x 所以 yE+yF=t1,yEyF=t1y0-x0, |QE|QF|=|yE-y0|yF-y0|=(1+ )|-x0|,1 + 211 + 21 2120 同理,|QP|QB|=(1+ )|-x0|. 2220 由(1)中(*)可知,t1=yA+yP,t2=yB+yP, 1 1 1 所以 t1+t2=(yA+yB)+2yp=-2+2=0,即 t1=-t2 = , 2122 所以|QE|QF|=|QP|QB|, 即|QE|QF|-|QP|QB|=0. 7.(2018 浙江名校协作体联考,
36、21)已知抛物线 C:x2=2py(p0),且抛物线 C 在点 P(1, f(1)处的切线斜率为. 直线 l 与抛物线交于不同的两点 A,B,且直线 AP 垂直于直线 BP. (1)求证:直线 l 过定点,并求出定点坐标; (2)直线 BP 交 y 轴于点 M,直线 AP 交 x 轴于点 N,求的最大值. | | 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 (1)证明:y=,y=x. 2 2 当 x=1 时,得=,p=2. 抛物线的方程为 x2=4y. 设 A(2t1, ),B(2t2, ), 2122 APBP,P,kAPkBP=-1, (1, 1 4) 2 1- 1 4 2 1- 1
37、 2 2- 1 4 2 2- 1 t1t2+ (t1+t2)+=0(*), 17 4 又kAB=, 2 1- 22 2 1- 22 1+ 2 2 直线 AB 的方程为 y- =(x-2t1), 21 1+ 2 2 即 2y=(t1+t2)x-2t1t2, 将(*)式代入直线 AB 的方程得(t1+t2)(x+1)+-2y=0, 17 2 令 x+1=0,-2y=0,解得直线 AB 过定点. 17 2 ( - 1,17 4) (2)设直线 BM 的方程为 y-=k(x-1),不妨设 k0, 联立得 x2-4kx+4k-1=0,=16k2-16k+40, - 1 4 = k(x - 1), 2=
38、4y, 根据根与系数的关系得 xB+xP=4k,xB=4k-1, 由于 APBP,同理可得 xA=-1, 又xN=+1,xM=0, |AP|BP|=|xP-xA|xB-xP|=(4k-2)= 1 + 1 2 2+ 1 1 + 2 (2 + 4 ) 4(1 + 2)(2k - 1)(k + 2) 2 , 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |MP|NP|=|xP-xM|xN-xP|=, 2+ 11 + 1 2 1 + 2 4 =16=-32 | | 4(1 + 2)(2k - 1)(k + 2) 2 4 1 + 2 16(2 - 1)( + 2) 2 ( - 2 2 + 3 + 2) +
39、5050, ( 1 - 3 4) 2 的最大值为 50. | | 8.(2018 浙江嵊州高三期末质检,21)如图,已知抛物线 y2=x,点 A(1,1),B(4,-2),抛物线上的点 P(x,y)(y1), 直线 AP 与 x 轴相交于点 Q,记PAB,QAB 的面积分别是 S1,S2. (1)若 APPB,求点 P 的纵坐标; (2)求 S1-5S2的最小值. 解析 (1)因为 kAP=,kBP=. - 1 - 1 - 1 2- 1 1 + 1 + 2 - 4 + 2 2- 4 1 - 2 由 APBP,得 kAPkBP=-1,即 y2-y-1=0,得 y=. 1 + 1 1 - 2 1
40、+5 2 (2)解法一:设直线 AP:y-1=k(x-1),则 Q, (1 - 1 ,0) 由 y1,知 01),则 kAP=,所以直线 AQ:y-1=(x-1),则 Q(-t,0). 1 + 1 1 + 1 又直线 AB:x+y-2=0,|AB|=3. 2 则点 P 到直线 AB 的距离 d1=,点 Q 到直线 AB 的距离 d2=, | 2 + t - 2| 2 2+ t - 2 2 | - - 2| 2 + 2 2 所以 S1-5S2=|AB|(d1-5d2)=3 2 2 ( 2+ t - 2 2 - 5 + 10 2 ) = (t-2)2-24. 故当 t=2 时,S1-5S2有最小值-24.