《2020版高考数学（浙江专用）一轮总复习检测：12.3 离散型随机变量及其分布 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学（浙江专用）一轮总复习检测：12.3 离散型随机变量及其分布 Word版含解析.pdf（34页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 12.3 离散型随机变量及其分布 挖命题 【考情探究】 5 年考情 考点内容解读 考题示例考向关联考点 预测热度 2018 浙江,7随机变量的方差函数的单调性 2014 浙江,12随机变量的方差随机变量的均值离散型 随机变 量及其 分布列 1.理解取有限个值的离散型随 机变量及其分布列的概念,了解 分布列对于刻画随机现象的重 要性. 2.理解两点分布和超几何分布 的意义,并能进行简单的应用. 2014 浙江,9随机事件的概率数学期望 离散型 随机变 量的均 值与方 差 理解取有限个值的离散型随机 变量的均值、方差的概念,能计 算简单离散型随机变量的均
2、值、 方差,并能解决一些实际问题. 2017 浙江,8 随机变量的均值、 方差 随机变量的概念 及其分布列 分析解读 1.随机变量及其分布是概率统计部分的重要内容,是高中数学的主干知识,也是高考的热点. 2.主要考查随机变量分布列的性质及运算求解能力. 3.考查一般以解答题形式出现,以随机变量分布列为载体,综合计数原理、古典概型、等可能事件等考 查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力. 4.预计 2020 年高考试题中,对随机变量及其分布的考查必不可少. 破考点 【考点集训】 考点一 离散型随机变量及其分布列 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.(2018 浙江新高考调研卷四
3、(金华一中),6)设随机变量 X 的分布列为 P(X=m)=p,m=1,2,3,则 X 的数 ( 1 2) 学期望 E(X)为( ) A.1B.C.D. 11 7 11 13 答案 C 2.(2018 浙江台州高三期末质检,12)已知随机变量 X 的分布列为 X123 P 1 2 1 3 m 则 m= ,D(X)= . 答案 ; 考点二 离散型随机变量的均值与方差 1.(2018 浙江温州二模(3 月),6)随机变量 X 的分布列如下表所示,若 E(X)=,则 D(3X-2)=( ) X-101 P 1 6 ab A.9B.7C.5D.3 答案 C 2.(2018 浙江杭州高三教学质检,12)
4、在一次随机试验中,事件 A 发生的概率为 p,事件 A 发生的次数为 ,则 数学期望 E()= ,方差 D()的最大值为 . 答案 p; 炼技法 【方法集训】 方法 1 求离散型随机变量的分布列的方法 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.(2018 浙江萧山九中 12 月月考,8)已知某口袋中有 3 个白球和 a 个黑球(aN*),现从中随机取出一球, 再 放回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球),记放好球 后袋中白球的个数是 .若 E()=3,则 D()= ( ) A.B.1C.D.2 答案 B 2.(2018 浙江浙东北联盟期中,
5、14)已知随机变量 的分布列为 -1012 Pa 1 3 1 6 b 若 E()=,则 a+b= ,D()= . 答案 ;11 9 方法 2 求离散型随机变量的均值与方差的方法 1.(2018 浙江杭州高考教学质量检测(4 月),7)已知 0D(2) C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2) 答案 A 3.(2014 浙江,9,5 分)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m3,n3),从乙盒 中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 i(i=1,2); (b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1
6、 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2). 则( ) A.p1p2,E(1)E(2) C.p1p2,E(1)E(2) D.p170)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40) =0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 故 P(A)=1-P( )=0.91. 考点二 离散型随机变量的均值与方差 1.(2018课标全国理,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立. 设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)0; 当
7、p(0.1,1)时, f (p)400,故应该对余下的产品作检验. 4.(2018 天津理,16,13 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的 方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查. (i)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望; (ii)设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概率
8、. 解析 本题主要考查随机抽样、 离散型随机变量的分布列与数学期望、 互斥事件的概率加法公式等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此 应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人. (2)(i)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P (X=k)=(k=0,1,2,3). C 4C3 - 3 C3 7 所以随机变量 X 的分布列为 X0123 P 1 35 12 35 18 35 4 35 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0+1+2+3=. 1
9、 35 12 35 18 35 4 35 12 7 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (ii)设事件 B 为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 1 人,睡眠不足的员工有 2 人”;事件 C 为“抽取的 3 人 中,睡眠充足的员工有 2 人,睡眠不足的员工有 1 人”,则 A=BC,且 B 与 C 互斥. 由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=. 所以事件 A 发生的概率为. 5.(2017 江苏,23,10 分)已知一个口袋中有 m 个白球,n 个黑球(m,nN*,n2),这些球除颜色外完全相同. 现将口
10、袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放 入编号为 k 的抽屉(k=1,2,3,m+n). 123m+n (1)试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率 P; (2)随机变量 X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是 X 的数学期望,证明:E(X)120 发电机最多可运行台数123 若某台发电机运行,则该台年利润为 5 000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元.欲使水电站 年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台? 解析 (1)依题意,p1=P(40120)=0.1. 10 50 35 50 5 50
11、由二项分布知,在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p=(1-p3)4+(1-p3)3p3=+4 C04C14 ( 9 10) 4 =0.947 7. ( 9 10) 3 1 10 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)记水电站年总利润为 Y(单位:万元). (i)安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40,故一台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000. (ii)安装 2 台发电机的情形. 依题意知,当 40120 时,三台发电机运行,此时 Y=5 0003=15 000,因此 P(Y=15
12、000)=P(X120)=p3=0.1,由此得 Y 的分布列 如下: Y3 4009 20015 000 P0.20.70.1 所以 E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台. 评析 本题考查了概率和离散型随机变量的分布列.考查了分类讨论方法和运算求解能力. 考点二 离散型随机变量的均值与方差 1.(2016 山东,19,12 分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮 活动中,如果两人都猜对,则 “星队” 得 3 分;如果只有一人猜对,则 “星队” 得 1
13、分;如果两人都没猜对,则 “星 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 队”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结 果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 EX. 解析 (1)记事件 A:“甲第一轮猜对”,记事件 B:“乙第一轮猜对”,记事件 C:“甲第二轮猜对”,记事件 D:“乙第二轮猜对”,记事件 E:“星队至少猜对 3 个成语”. 由题意,E=ABCD+ BCD+A CD+AB D+ABC , 由事件的独立性与互斥性,得 P(
14、E)=P(ABCD)+P( BCD)+P(A CD)+P(AB D)+P(ABC ) =P(A)P(B)P(C)P(D)+P( )P(B)P(C)P(D)+P(A)P( )P(C)P(D)+P(A)P(B)P( )P(D)+P(A)P(B)P(C)P( ) =+2(1 4 2 3 3 4 2 3 + 3 4 1 3 3 4 2 3) =. 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为. (2)由题意,随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)=, 1 144 P(X=1)=2=, ( 3 4 1 3 1 4 1 3 + 1 4 2 3 1 4 1
15、 3) 10 144 5 72 P(X=2)=+=, 25 144 P(X=3)=+=, 12 144 1 12 P(X=4)=2=, ( 3 4 2 3 3 4 1 3 + 3 4 2 3 1 4 2 3) 60 144 5 12 P(X=6)=. 36 144 可得随机变量 X 的分布列为 X012346 P 1 144 5 72 25 144 1 12 5 12 1 4 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以数学期望 EX=0+1+2+3+4+6=. 1 144 5 72 25 144 1 12 5 12 23 6 2.(2016 课标,19,12 分)某公司计划购买 2 台机
16、器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在 购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期 内更换的易损零件数,得下面柱状图: 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三 年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (1)求 X 的分布列; (2)若要求 P(Xn)0.5,确定 n 的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的
17、期望值为决策依据,在 n=19 与 n=20 之中选其一,应选用哪个? 解析 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分 别为 0.2,0.4,0.2,0.2. 可知 X 的所有可能取值为 16、17、18、19、20、21、22, P(X=16)=0.20.2=0.04; P(X=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24; P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2; P(X=21)=20.20.2=0.08; P
18、(X=22)=0.20.2=0.04.(4 分) 所以 X 的分布列为 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 X16171819202122 P0.040.160.240.240.20.080.04 (6 分) (2)由(1)知 P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故 n 的最小值为 19.(8 分) (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当 n=19 时, EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040.(10 分) 当 n=20 时, EY=20200
19、0.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080. 可知当 n=19 时所需费用的期望值小于 n=20 时所需费用的期望值,故应选 n=19.(12 分) 思路分析 (1)确定 X 的可能取值,分别求其对应的概率,进而可列出分布列. (2)根据(1)中求得的概率可得 P(X18)以及 P(X19)的值,由此即可确定 n 的最小值. (3)求出 n=19,n=20 时的期望值,比较大小即可作出决策. 3.(2015 福建,16,13 分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡将被锁定.小 王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密
20、码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之 一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被 锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A, 则 P(A)=. (2)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3. P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1=, 所以 X 的分布列为 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 X123 P 1 6 1 6 2 3 所以 E(X)=1+2+3=
21、. 4.(2015安徽,17,12分)已知2件次品和3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件 产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检 测费用(单位:元),求 X 的分布列和均值(数学期望). 解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A, 则 P(A)=. A1 2A13 A2 5 3 10 (2)X 的可能取值为 200,300,40
22、0. P(X=200)=, A2 2 A2 5 1 10 P(X=300)=, A3 3+ C12C13A22 A3 5 3 10 P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-=. 1 10 3 10 6 10 故 X 的分布列为 X200300400 P 1 10 3 10 6 10 EX=200+300+400=350. 1 10 3 10 6 10 5.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装 有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球.在摸出的 2 个球中
23、, 若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 解析 (1)记事件 A1=从甲箱中摸出的 1 个球是红球, A2=从乙箱中摸出的 1 个球是红球, B1=顾客抽奖 1 次获一等奖, B2=顾客抽奖 1 次获二等奖, C=顾客抽奖 1 次能获奖. 由题意,A1与 A2相互独立,A1与A2互斥,B1与 B2互斥,且 B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2. 21
24、21 因为 P(A1)=,P(A2)=, 4 10 5 10 所以 P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=, P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2) 2121 =P(A1)P()+P()P(A2) 21 =P(A1)1-P(A2)+1-P(A1) P(A2) =+=. (1 - 1 2) (1 - 2 5) 故所求概率 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)= +=. 7 10 (2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为,所以 XB. (3, 1 5) 于是 P(X=0)=, C03(1 5) 0 ( 4
25、 5) 3 64 125 P(X=1)=, C13(1 5) 1 ( 4 5) 2 48 125 P(X=2)=, C23(1 5) 2 ( 4 5) 1 12 125 P(X=3)=. C33(1 5) 3 ( 4 5) 0 1 125 故 X 的分布列为 X0123 P 64 125 48 125 12 125 1 125 X 的数学期望为 E(X)=0+1+2+3=. 64 125 48 125 12 125 1 125 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 6.(2015 湖北,20,12 分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A,B 两种奶制品,生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2
26、吨, 使 用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元.要求每天B 产 品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备每天生产 A,B 两种产品时间之和不超过 12 小时.假定每天可获取的 鲜牛奶数量 W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为 W121518 P0.30.50.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z(单位:元)是一个随机变量. (1)求 Z 的分布列和均值; (2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10 000 元的概率. 解析 (1)设每天
27、A,B 两种产品的生产数量分别为 x 吨,y 吨,相应的获利为 z 元,则有 2 + 1.5 , + 1.5 12, 2 - 0, 0, 0. 目标函数为 z=1 000x+1 200y. 当 W=12 时,表示的平面区域如图 1,三个顶点分别为 A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0). 当 z=1 000x+1 200y 变形为 y=-x+, 1 200 当 x=2.4,y=4.8 时,直线 l:y=-x+在 y 轴上的截距最大, 1 200 最大获利 Z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160. 当 W=15 时,表示的平面区域如图 2,三个顶点分别为 A(0,
28、0),B(3,6),C(7.5,0). 将 z=1 000x+1 200y 变形为 y=-x+, 1 200 当 x=3,y=6 时,直线 l:y=-x+在 y 轴上的截距最大, 1 200 最大获利 Z=zmax=31 000+61 200=10 200. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当 W=18 时,表示的平面区域如图 3, 四个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0). 将 z=1 000x+1 200y 变形为 y=-x+, 1 200 当 x=6,y=4 时,直线 l:y=-x+在 y 轴上的截距最大, 1 200 最大获利 Z=zmax=6
29、1 000+41 200=10 800. 故最大获利 Z 的分布列为 Z8 16010 20010 800 P0.30.50.2 因此,E(Z)=8 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708. (2)由(1)知,一天最大获利超过 10 000 元的概率 p1=P(Z10 000)=0.5+0.2=0.7, 由二项分布,3 天中至少有 1 天最大获利超过 10 000 元的概率为 p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973. 评析 本题考查了线性规划,离散型随机变量的分布列与均值及概率的计算等基础知识.考查运用概率知识 解决实际问题的能力. 7.(2014 重庆,1
30、8,13 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的 数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与数学期望. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (注:若三个数 a,b,c 满足 abc,则称 b 为这三个数的中位数) 解析 (1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 P=. C3 4+ C33 C3 9 5 84 (2)X 的所有可能值为 1,2,3,且 P(X=1)=,P(X=2)=, C2 4C1
31、5+ C34 C3 9 17 42 C1 3C14C12+ C23C16+ C33 C3 9 43 84 P(X=3)=, C2 2C17 C3 9 1 12 故 X 的分布列为 X123 P 17 42 43 84 1 12 从而 E(X)=1+2+3=. 17 42 43 84 1 12 47 28 8.(2014 福建,18,13 分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励,规定:每位顾 客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3
32、个均为 10 元,求: (i)顾客所获的奖励额为 60 元的概率; (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成, 或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获 的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由. 解析 (1)设顾客所获的奖励额为 X 元. (i)依题意,得 P(X=60)=, C1 1C13 C2 4 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可
33、打印 (ii)依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60. P(X=60)=,P(X=20)=, C2 3 C2 4 即 X 的分布列为 X2060 P0.50.5 所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)=200.5+600.5=40(元). (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元. 所以先寻找期望为 60 元的可能方案. 对于面值由10元和 50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以 期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60 元,因此可能的方案是(1
34、0,10,50,50),记为方案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案 是(20,20,40,40),记为方案 2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X1元,则 X1的分布列为 X12060100 P 1 6 2 3 1 6 X1的数学期望为 E(X1)=20+60+100=60, X1的方差为 D(X1)=(20-60)2+(60-60)2+(100-60)2=. 1 600 3 对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设
35、顾客所获的奖励额为 X2元,则 X2的分布列为 X2406080 P 1 6 2 3 1 6 X2的数学期望为 E(X2)=40+60+80=60, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 X2的方差为 D(X2)=(40-60)2+(60-60)2+(80-60)2=. 400 3 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求,但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小,所以应该选择方案 2. 9.(2014安徽,17,12分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.
36、 (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望). 解析 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,Ak表示“第 k 局甲获胜”,Bk表示“第 k 局乙获胜”, 则 P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) =+=. ( 2 3) 2 ( 2 3) 2 ( 2 3) 2 56 81 所以甲在 4 局以内(含 4 局
37、)赢得比赛的概率为. 56 81 (2)X 的可能取值为 2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=, P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=, 10 81 P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=. 8 81 故 X 的分布列为 X2345 P 5 9 2 9 10 81 8
38、 81 EX=2+3+4+5=. 10 81 8 81 224 81 评析 本题考查了独立事件同时发生、 互斥事件至少有一个发生、 分布列、 均值等概率知识;考查应用意识、 运算求解能力;准确理解题意是解题的关键,准确运算求解是得分的关键. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 10.(2014 江苏,22,10 分)盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球、 3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 x1,x2,x3,随机变量 X
39、表示 x1,x2,x3 中的最大数.求 X 的概率分布和数学期望 E(X). 解析 (1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球, 所以 P=. C2 4+ C23+ C22 C2 9 6 + 3 + 1 36 5 18 (2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4. X=4表示的随机事件是“取到的 4 个球是 4 个红球”,故 P(X=4)=; C4 4 C4 9 1 126 X=3表示的随机事件是 “取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球”, 故 P(X=3)=; C3 4C15+ C33C16 C4 9
40、 20 + 6 126 13 63 于是 P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-=. 13 63 1 126 11 14 所以随机变量 X 的概率分布如下表: X234 P 11 14 13 63 1 126 因此随机变量 X 的数学期望 E(X)=2+3+4=. 11 14 13 63 1 126 20 9 评析 本题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解能力. 11.(2014 江西,21,14 分)随机将 1,2,2n(nN*,n2)这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组,每组 n 个数.A 组最小数为 a1,最大数为 a2;B 组最小数为 b1,
41、最大数为 b2.记 =a2-a1,=b2-b1. (1)当 n=3 时,求 的分布列和数学期望; (2)令 C 表示事件“ 与 的取值恰好相等”,求事件 C 发生的概率 P(C); 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (3)对(2)中的事件 C, 表示 C 的对立事件,判断 P(C)和 P( )的大小关系,并说明理由. 解析 (1)当 n=3 时, 的所有可能取值为 2,3,4,5. 将 6 个正整数平均分成 A,B 两组,不同的分组方法共有=20 种,所以 的分布列为 C36 2345 P 1 5 3 10 3 10 1 5 E=2+3+4+5=. 3 10 3 10 (2) 和 恰
42、好相等的所有可能取值为 n-1,n,n+1,2n-2. 又 和 恰好相等且等于 n-1 时,不同的分组方法有 2 种; 和 恰好相等且等于 n 时,不同的分组方法有 2 种; 和 恰好相等且等于 n+k(k=1,2,n-2)(n3)时,不同的分组方法有 2种, C 2 所以当 n=2 时,P(C)= =, 当 3时,() = 2(2 + - 2 = 1C 2 ) C 2 . (3)由(2)知当 n=2 时,P( )=,因此 P(C)P( ), 而当 n3 时,P(C)E(Y),D(X)D(Y) B.E(X)=E(Y),D(X)D(Y) C.E(X)E(Y),D(X)=D(Y) D.E(X)=E
43、(Y),D(X)=D(Y) 答案 C 5.(2018 浙江嵊州高三期末质检,8)甲箱子里装有 3 个白球和 2 个红球,乙箱子里装有 2 个白球和 2 个红球. 从这两个箱子里分别摸出一个球,设摸出的白球的个数为 X,摸出的红球的个数为 Y,则( ) A.P(X=1),且 E(X),且 E(X)E(Y) C.P(X=1)=,且 E(X)E(Y) 答案 D 6.(2018 浙江重点中学 12 月联考,8)已知随机变量 满足 P(=0)=,P(=1)=x,P(=2)= -x,若 0x,则 ( ) A.E()随着 x 的增大而增大,D()随着 x 的增大而增大 B.E()随着 x 的增大而减小,D(
44、)随着 x 的增大而增大 C.E()随着 x 的增大而减小,D()随着 x 的增大而减小 D.E()随着 x 的增大而增大,D()随着 x 的增大而减小 答案 C 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 18 分) 7.(2019 届浙江“超级全能生”9 月联考,15)随机变量 X 的分布列为 X-3-113 Pabcd 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 其中 a,b,c,d 成等差数列(ab),则 P(|X|=3)= ,D(X)的取值范围为 . 答案 ;(20 9 ,5) 8.(2019 届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,11)已知随机变量 的分布列如下: -11 Pm 1 3 则 E()= ,D()= . 答案 -; 9.(2018 浙江宁波模拟(5 月),13)已知随机变量 X 的分布列如下表: Xa234 P 1 3 b 1 6 1 4 若 E(X)=2,则 a= ;D(X)= . 答案 0;