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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 2.7 函数与方程 挖命题 【考情探究】 5 年考情 考点内容解读 考题示例考向关联考点 预测热度 2018 浙江,15 函数的零点与方程的 根 分段函数、解不等式 组 2017 浙江,20 函数的零点与方程的 根 函数的最值 2016 浙江文,12 函数的 零点与 方程的 根 了解函数零点的概念.掌握连续 函数在某个区间上存在零点的 判断方法. 2015 浙江文,8 函数的零点与方程的 根 分析解读 1.函数零点的思想属于常考知识.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题. 也有可能与其他知识综合出现在解答题中,属难题. 2.预计函数与
2、方程的有关问题可能在 2020 年的高考中出现,复习时应重视. 破考点 【考点集训】 考点 函数的零点与方程的根 1.(2018 浙江镇海中学 5 月模拟,9)已知函数 f(x)=则方程 f(f(x)-2=0 的|ln( - 1)|, 1, 2 - 1+ 1,x 1, () + 3 4 实根个数为( ) A.3B.4C.5D.6 答案 B 2.(2018 课标全国理,15,5 分)函数 f(x)=cos在0,的零点个数为 . (3 + 6) 答案 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.(2018 天津理,14,5 分)已知 a0,函数 f(x)=若关于 x 的方程 f(x)=ax
3、 恰有 2 2+ 2ax + a,x 0, - 2+ 2ax - 2a,x 0. 个互异的实数解,则 a 的取值范围是 . 答案 (4,8) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 炼技法 【方法集训】 方法 1 判断函数零点所在区间和零点的个数的方法 1.(2018 浙江新高考调研卷三(杭州二中),5)函数 f(x)=ln x-x|x-e|的零点的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 答案 C 2.(2017浙江镇海中学模拟卷三,9)已知x1,x2为函数f(x)=(x2+ax+b)ex+c的极值点(其中a,b,c为实常数). 若 f(x1)=x1 0, 值范围是( ) A.-1,0)
4、B.0,+) C.-1,+)D.1,+) 答案 C 2.(2017 课标全国理,11,5 分)已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则 a=( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.-B. C.D.1 答案 C 3.(2017 山东理,10,5 分)已知当 x0,1时,函数 y=(mx-1)2的图象与 y=+m 的图象有且只有一个交点, 则正实数 m 的取值范围是( ) A.(0,12,+) 3 B.(0,13,+) C.(0,2,+) 23 D.(0,3,+) 2 答案 B 4.(2015 天津,8,5 分)已知函数 f(x)=函数 g(x)=b
5、-f(2-x),其中 bR.若函数 y=f(x)-2 - |, 2, ( - 2)2,x 2, g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( ) A.B. ( 7 4, + ) ( - ,7 4) C.D. (0, 7 4) ( 7 4,2) 答案 D 5.(2015 北京,14,5 分)设函数 f(x)= 2- a,x 1, 数为 . 答案 4 4.(2015 湖南,15,5 分)已知函数 f(x)=若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,则 a 的 3,x a, 2,x a. 取值范围是 . 答案 (-,0)(1,+) 5.(2014 天津,14,5 分)已知函数
6、f(x)=|x2+3x|,xR.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根,则实 数 a 的取值范围为 . 答案 (0,1)(9,+) 6.(2016 江苏,19,16 分)已知函数 f(x)=ax+bx(a0,b0,a1,b1). (1)设 a=2,b=. 求方程 f(x)=2 的根; 若对于任意 xR,不等式 f(2x)mf(x)-6 恒成立,求实数 m 的最大值; (2)若 01,函数 g(x)=f(x)-2 有且只有 1 个零点,求 ab 的值. 解析 (1)因为 a=2,b=,所以 f(x)=2x+2-x. 方程 f(x)=2,即 2x+2-x=2,亦即(2x)2-
7、22x+1=0, 所以(2x-1)2=0,于是 2x=1,解得 x=0. 由条件知 f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2-2. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因为 f(2x)mf(x)-6 对于 xR 恒成立,且 f(x)0, 所以 m对于 xR 恒成立. ()2+ 4 () 而=f(x)+2=4,且=4,所以 m4,故实数 m 的最大值为 4. ()2+ 4 () 4 () () 4 () (0)2+ 4 (0) (2)因为函数 g(x)=f(x)-2 只有 1 个零点,而 g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0, 所以 0 是函数 g(x)的
8、唯一零点. 因为 g(x)=axln a+bxln b,又由 01 知 ln a0, 所以 g(x)=0 有唯一解 x0=lo. g ( - ln ln) 令 h(x)=g(x),则 h(x)=(axln a+bxln b)=ax(ln a)2+bx(ln b)2, 从而对任意 xR,h(x)0,所以 g(x)=h(x)是(-,+)上的单调增函数. 于是当 x(-,x0)时,g(x)g(x0)=0. 因而函数 g(x)在(-,x0)上是单调减函数,在(x0,+)上是单调增函数. 下证 x0=0. 若 x0-2=0,且函数 g(x)在以和 loga2 0 2 ( 0 2) log2log2log
9、2 0 2 为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为00,同理可得,在和 logb2 之间存在 g(x)的非 0 的零点,矛盾. 0 2 因此,x0=0. 于是-=1,故 ln a+ln b=0,所以 ab=1. ln ln 评析 本题主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究基本初等函数的单调性及零点问题,考查综合运 用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力. 【三年模拟】 一、选择题(每小题 4 分,共 28 分) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 1.(2019 届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,9)已知函数 f(x)=ax2+bx- (a0)有两个不同的零点 x1,x2, 则( ) A.x1+x20,x1x20 C.x1+x20D.x1+x20,x1x2c),关于x的方程|x2-ax+b|=cx恰有三个不等 实根,且函数 f(x)=|x2-ax+b|+cx 的最小值是 c2,则= . 答案 5