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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 86 分项练 4 平面向量与数学文化86 分项练 4 平面向量与数学文化 1 (2018贵阳模拟)如图， 在ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点， 若a a，b b，AB AC 则等于( )AO A.a ab b 1 2 1 2 B.a ab b 1 2 1 4 C.a ab b 1 4 1 2 D.a ab b 1 4 1 4 答案 B 解析 在ABC中，BE是AC边上的中线， ，AE 1 2AC O是BE边的中点， ()，AO 1 2 AB AE ，AO 1 2AB 1 4AC a a，b b，AB AC a ab b.AO 1 2 1
2、 4 2(2018上饶模拟)设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC2，则AD 等于( )AE A. B. C. D. 4 9 8 9 26 9 26 3 答案 C 解析 如图， 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 |2， ， 60，AB AC AB AC D，E是边BC的两个三等分点， AD AE (AB 1 3BC ) (AC 1 3CB ) ( 2 3AB 1 3AC ) ( 1 3AB 2 3AC ) |2 |2 2 9 AB 5 9AB AC 2 9 AC 4 22 4. 2 9 5 9 1 2 2 9 26 9 3(2018昆明模拟)程大位算法统宗里有诗云“
3、九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次 第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传”意为：996 斤棉花， 分别赠送给 8 个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多 17 斤，直到第八个孩子为 止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( ) A65 B176 C183 D184 答案 D 解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an， 其中d17，n8，S8 996. 由等差数列前n项和公式可得 8a117996， 8 7 2 解得a165. 由等差数列通项公式得a865(81)17184. 4八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 1 是八
4、卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边 形ABCDEFGH，其中OA1，则给出下列结论： 0；HD BF OA OD 2 2 ；|.OB OH 2OE AH FH 2 2 其中正确结论的个数为( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A4 B3 C2 D1 答案 B 解析 正八边形ABCDEFGH中，HDBF， 0，故正确；HD BF 11cos，故正确；OA OD 3 4 2 2 ，故正确；OB OH 2OA 2OE |，AH FH AF OF OA 则|211211cos2，AF 3 4 2 |，故错误AF 2 2 综上，正确的结论为，故选 B. 5(2018聊城模拟)在AB
5、C中，BC边上的中线AD的长为 2，点P是ABC所在平面上的任 意一点，则的最小值为( )PA PB PA PC A1 B2 C2 D1 答案 C 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原点处，点A在y轴上，则A(0,2) 设点P的坐标为(x，y)， 则，(x，y)，PA (x，2y)PO 故22PA PB PA PC PA (PB PC ) PA PO (x2y22y) 222，当且仅当x0，y1 时等号成立x2(y1)2 所以的最小值为2.PA PB PA PC 6(2018石家庄模拟)三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图” ，用数形结合的方 法给出了勾股定理的详细证明，如图
6、所示“勾股圆方图”中由四个全等的直角三角形(直角边 长之比为 1)围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取3 一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A. B. 3 2 3 4 C1 D1 3 2 3 4 答案 C 解析 由题意可知，设直角三角形的直角边长分别为k，k(k0)，3 则大正方形的边长为 2k，小正方形的边长为(1)k，3 所以大正方形的面积为 4k2，小正方形的面积为(1)2k2，3 故所求概率为1. 31 2k2 4k2 3 2 7 (2018南平质检)我国古代著名的数学著作有 周髀算经 、 九章算
7、术 、 孙子算经 、 五 曹算经 、 夏侯阳算经 、 孙丘建算经 、 海岛算经 、 五经算术 、 缀术 、 缉古算机 等 10 部算书，被称为“算经十书” 某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名 的数学著作产生浓厚的兴趣 一天， 他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话， 甲 ： “乙比丁少” ；乙：“甲比丙多” ；丙：“我比丁多” ；丁：“丙比乙多” ，有趣的是，他们说 的这些话中， 只有一个人说的是真实的， 而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个(他 们四个人对这十部书阅读本数各不相同)甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是 ( ) A乙甲丙丁 B甲丁乙丙 C丙甲
8、丁乙 D甲丙乙丁 答案 D 解析 由题意可列表格如下： 甲乙丙丁 甲说丁乙 乙说甲丙 丙说丙丁 丁说丙乙 对于选项 A，甲，丁说的都对，不符合只有一个人对 ； 对于选项 B，丙，丁说的都对，也不符 合只有一个人对 ； 对于选项 C，乙说的对，但乙不是最少的，不符合 ； 对于选项 D，甲说的对， 也正好是最少的，符合，选 D. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 8(2018河北省衡水中学模拟)已知2，点C在线段AB上，且的最小值为 1， |OA | |OB |OC | 则(tR R)的最小值为( ) |OA tOB | A. B. C2 D.235 答案 B 解析 2， |OA | |
9、OB | 点O在线段AB的垂直平分线上 点C在线段AB上，且的最小值为 1， |OC | 当C是AB的中点时最小，此时1， |OC |OC | 此时与的夹角为 60，OB OC ，的夹角为 120.OA OB 又 22t222t |OA tOB | OA OB OA OB 44t22t22cos 120 4t24t4 4 233， (t 1 2) 当且仅当t 时等号成立 1 2 2的最小值为 3， |OA tOB | 的最小值为. |OA tOB | 3 9已知向量a a(2,4)，|b b|2，|a a2b b|8，则a a在a ab b方向上的投影为_ 答案 13 10 10 解析 由a
10、a(2,4)，|b b|2，|a a2b b|8， 可知|a a|2，22425 (a a2b b)2a a24b b24a ab b64， 则a ab b7， 所以a a在a ab b方向上的投影为 a a a ab b |a ab b| a a2a ab b a a2b b22a ab b 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 . 207 2042 7 13 10 10 10(2018烟台模拟)如果2，3，a ab b4，则的值是_|a a|b b|a a2b b| 答案 2 6 解析 由2，3，a ab b4，|a a|b b| 得|a a2b b|a a2b b2a a24b b
11、24a ab b 2.4364 46 11(2018石家庄模拟)已知向量a a与b b的夹角是，|a a|1，|b b| ，则向量a a2b b与a a 3 1 2 的夹角为_ 答案 3 解析 a ab bcos ，|a a|b b| 3 1 4 a a(a a2b b)a a22a ab b ， 1 2 |a a2b b| a a2b b2 1.a a24a ab b4b b214 1 44 1 4 设向量a a2b b与a a的夹角为，cos ， a a a a2b b |a a|a a2b b| 1 2 又因为0， 所以. 3 12(2018宁德质检)我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数
12、学史上解决不定方程的第一 人，他在张丘建算经中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五， 鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为： 设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x，y，z，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组Error!的 解其解题过程可用程序框图表示，如图所示，则程序框图中正整数m的值为_ 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 4 解析 由Error! 得y25x，故x必为 4 的倍数， 7 4 当x4t时，y257t， 由y257t0 得，t的最大值为 3， 故判断框应填入的是t4？， 即m4. 13若非零向量a a，b b满
13、足|b b|a a|，若(a a2b b)(3a atb b)，a a与b b的夹角等于，则实2 4 数t的值为_ 答案 9 5 解析 由a a与b b的夹角等于可得 4 cos，故a ab b|a a|2. 4 a ab b |a a|b b| a ab b 2| a a|2 由(a a2b b)(3a atb b)可得 3a a2ta ab b6a ab b2tb b20， 即 3|a a|2(6t)|a a|24t|a a|20， 又a a为非零向量， 所以|a a|20，则有 36t4t0，解得t . 9 5 14 (2018咸阳模拟)已知圆的半径为 1，A，B，C，D为该圆上四个点， 且， 则ABCAB AC AD 面积的最大值为_ 答案 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 如图所示，由知，四边形ABDC为平行四边形，AB AC AD 又A，B，C，D 四点共圆， 四边形ABDC 为矩形，即BC 为圆的直径， ABC的面积SABAC AD2， 1 2 1 2 AB2AC2 2 1 4 当AD是圆的直径时，ABC的面积最大 当ABAC 时， ABC的面积取得最大值 41. 1 4