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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 单元质检三单元质检三 导数及其应用导数及其应用 (时间:120分钟 满分:150分) 单元质检卷第单元质检卷第 5 页页 一、选择题(本大题共 10小题,每小题 4分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知函数 f(x)=ln x-x,则函数 f(x)的单调递减区间是( ) A.(-,1)B.(0,1) C.(-,0),(1,+)D.(1,+) 答案 D 2.曲线 y=在点(-1,-1)处的切线方程为( ) + 2 A.y=2x+1B.y=2x-1 C.y=-2x-3D.y=-2x-2 答案 A 3.(2018全
2、国 1)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( ) A.y=-2xB.y=-x C.y=2xD.y=x 答案 D 解析因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得 a=1,则 f(x)=x3+x. 由 f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率 k=f(0)=1.故切线方程为 y=x. 4. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令
3、 g(x)=xf(x),g(x)是 g(x)的 导函数,则 g(3)=( ) A.-1B.0 C.2D.4 答案 B 解析由条件,知 f(3)=1,k=f(3)=- 1 3. g(x)=f(x)+xf(x), g(3)=f(3)+3f(3)=1+3=0.故选 B.(- 1 3) 5.设点 P 是曲线 y=x3-x+ 上的任意一点,则点 P 处切线倾斜角 的取值范围为( ) 3 2 3 AB. 0, 2) 5 6 , ) .2 3 , ) CD. 0, 2) 2 3 , ) .( 2, 5 6 答案 C 解析因为 y=3x2-,故切线斜率 k-, 333 所以切线倾斜角 的取值范围是 0, 2)
4、 2 3 , ). 故答案为 C. 6.已知直线 ax-by-2=0与曲线 y=x3在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 为( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 AB.-CD.-. 2 3 2 3 .1 3 1 3 答案 D 解析 y=3x2,点 P(1,1)为曲线 y=x3上一点, 曲线 y=x3在点 P(1,1)处的切线斜率 k=3, 由条件知,3=-1,=- 故答案为 D. 1 3. 7.已知 f(x)=x3-2x2+x+6,则 f(x)在点 P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( ) A.4B.5CD. 25 4 .13 2 答案 C 8.(2017山西
5、五校联考改编)已知函数 f(x)的导数为 f(x),f(x)不是常数函数,且(x+1)f(x)+xf(x)0,对 x 0,+)恒成立,则下列不等式一定成立的是( ) A.f(1)0 时,不等式 x2+(1-a)x-aln x2a- a2恒成立,则 a 的取值范围是( ) 1 2 3 2 A.0,1)(1,+)B.(0,+) C.(-,0(1,+)D.(-,1)(1,+) 答案 A 解析不妨令 f(x)= x2+(1-a)x-aln x-2a+ a2, 1 2 3 2 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 f(x)=x+1-a-, = 2+ (1 - ) - = ( - )( + 1)
6、 当 a0,f(x)在 x0 时单调递增,当 x0时 f(x)不恒大于 0,不符合题意; 当 a=0时,f(x)= x2+x在 x0时 f(x)0 恒成立; 1 2 当 a0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增, f(x)min=f(a)=a2-a-aln a=a(a-1-ln a), 令 g(a)=a-1-ln a,g(a)=1- ,g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增, 1 g(a)min=g(1)=0,故当 a0 时且 a1 时 f(x)0, 综上 a的取值范围是0,1)(1,+), 故答案为 A. 10.若 mR,函数 f(x)=x- -2ln
7、x 有两个极值点 x1,x2(x10,m0,得 00,y; 1 - 2 1 - 8 9 8 9 ( 0, 32 27) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 当m0,函数是增函数, f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=8-6=2, 函数 f(x)在区间0,2内的值域是-2,2. 故答案为 y=-3x;-2,2. 12.函数 f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为 6,极小值为 2,则 a= ,f(x)的单调递减区间 是 . 答案 1 (-1,1) 解析令 f(x)=3x2-3a=0,得 x= . f(x),f(x)随 x的变化情况如下表: x (-,- ) a - a (- a
8、,a ) a ( ,+) a f(x)+0-0+ f(x) 极大 值 极小 值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 从而( - )3- 3( -) + = 6, ( )3 - 3 + = 2. 解得所以 f(x)的单调递减区间是(-1,1). = 1, = 4, 13.(2017浙江温州调研改编)已知函数 f(x)= x2-ax+ln x,若 a=1,则切线斜率的取值范围为 , 1 2 若函数存在垂直于 y轴的切线,则实数 a 的取值范围是 . 答案1,+) 2,+) 解析f(x)= x2-ax+ln x, 1 2 f(x)=x-a+ 1 . a=1时,f(x)=x+ -11, 1 若
9、 f(x)存在垂直于 y轴的切线, f(x)存在零点,x+ -a=0 有解, 1 a=x+2(x0). 1 14.函数 f(x)=x3-3x的极小值为 ,在(a,6-a2)上有最小值,则实数 a 的取值范围是 . 答案-2 -2,1) 解析令 f(x)=3x2-3=0, 得 x=1,且 x=1 为函数的极小值点,f(1)=-2,x=-1为函数的极大值点.函数 f(x)在区间(a,6-a2)上, 则函数 f(x)极小值点必在区间(a,6-a2)内, 即实数 a 满足 a0,f=0,因此 2-a+1=0,解 3 ( 3) ( 3) 3 ( 3) 2 得 a=3.从而函数 f(x)在-1,0上单调递
10、增,在0,1上单调递减,所以 f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(-1)=-4. 故 f(x)max+f(x)min=1-4=-3. 17.函数 y=x+2cos x 在区间上的最大值是 . 0, 2 答案 6 + 3 解析 y=1-2sin x,令 y=0,且 x,得 x= ,则 x时,y0;x时,y0, 1 1 2 = - 1 2 h(x)=ln x+ 在1,+)上递增, 1 -(a+1)h(1)=1,a-2. 19.(15分)(2017浙江台州模拟)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 与 x=1 时都取得极值. 2 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下
11、载可打印 (1)求 a,b 的值与函数 f(x)的单调区间; (2)若对 x-1,2,不等式 f(x)f(2)=2+c.解得 c2. 20.(15分)设函数 f(x)=x2+ax-ln x(aR). (1)若 a=1,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(0,1上是减函数,求实数 a 的取值范围; (3)过坐标原点 O 作曲线 y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为 1. (1)解 a=1时,f(x)=x2+x-ln x(x0), 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 f(x)=2x+1-,当 x时,f(x)0.f(x)的单调递减区 1 = (2 - 1)( +
12、1) ( 0, 1 2) (1 2, + ) 间为,单调递增区间为 ( 0, 1 2) ( 1 2, + ). (2)解 f(x)=2x+a- ,f(x)在区间(0,1上是减函数, 1 f(x)0对任意 x(0,1恒成立,即 2x+a-0对任意 x(0,1恒成立. 1 a-2x对任意 x(0,1恒成立,令 g(x)= -2x, 1 1 ag(x)min,易知 g(x)在(0,1上单调递减, g(x)min=g(1)=-1.a-1. (3)证明设切点为 M(t,f(t),f(x)=2x+a- , 1 切线的斜率 k=2t+a- ,又切线过原点,则 k=, 1 () =2t+a- ,即 t2+at
13、-ln t=2t2+at-1. () 1 t2-1+ln t=0, 存在性:t=1 满足方程 t2-1+ln t=0, t=1是方程 t2-1+ln t=0的根. 再证唯一性:设 (t)=t2-1+ln t,(t)=2t+ 0, 1 (t)在(0,+)单调递增,且 (1)=0, 方程 t2-1+ln t=0有唯一解. 综上,切点的横坐标为 1. 21.(15分)(2017浙江杭州高三期末)设函数 f(x)=x2+,x0,1. 1 + 1 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (1)证明:f(x)x2- x+ ; 4 9 8 9 (2)证明: 68 81 ( 2 9) = 773 891
14、68 81 所以8-8ln 2; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)若 a3-4ln 2,证明:对于任意 k0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点. 证明(1)函数 f(x)的导函数 f(x)=, 1 2 1 由 f(x1)=f(x2),得, 1 2 1 1 1 = 1 2 2 1 2 因为 x1x2,所以 1 1 + 1 2 = 1 2. 由基本不等式,得2, 1 2 12=1+2 4 x1x2 因为 x1x2,所以 x1x2256. 由题意得 f(x1)+f(x2)=-ln x1+-ln x2=-ln(x1x2). x1x2 1 2 x1x2 设 g(x)=-ln x,则 g(x)=-4), 1 2 x 1 4x( x 所以 x(0,16)16 (16,+) g(x)-0+ g(x) 2- 4ln 2 所以 g(x)在256,+)上单调递增, 故 g(x1x2)g(256)=8-8ln 2, 即 f(x1)+f(x2)8-8ln 2. (2)令 m=e-(|a|+k),n=+1,则 ( | + 1 ) 2 f(m)-km-a|a|+k-k-a0, f(n)-kn-a0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点.