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1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 考点规范练考点规范练 44 圆的方程圆的方程 考点规范练第考点规范练第 59 页页 基础巩固组基础巩固组 1.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在 x 轴和 y 轴上,则此圆的方程是( ) A.(x-2)2+(y+3)2=13 B.(x+2)2+(y-3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 答案 A 解析设该直径的两个端点分别为 P(a,0),Q(0,b), 则 A(2,-3)是线段 PQ 的中点,所以 P(4,0),Q(0,-6),圆的半径 r=|PA|= (4 - 2)2+ 3
2、2= 13. 故圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13. 2.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线 y=x 对称的圆的方程为( ) A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-1)2+(y+2)2=1 答案 A 解析已知圆的圆心 C(1,2)关于直线 y=x 对称的点为 C(2,1),圆(x-1)2+(y-2)2=1 关于直线 y=x 对称的 圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选 A. 3.若圆心在 y轴上,且过点(3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是( ) A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-
3、10y=0 C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=0 答案 B 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析根据题意,设圆心坐标为(0,r),半径为 r, 则 32+(r-1)2=r2, 解得 r=5.故所求圆的方程为 x2+y2-10y=0. 4.已知圆 C与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2 答案 B 解析设圆的坐标为(a,-a),则, | - ( - )| 2 = | -
4、 ( - ) - 4| 2 即|a|=|a-2|,解得 a=1, 则圆的坐标为(1,-1),半径 r=, 2 2 = 2 故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 5.设 P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1 上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为( ) A.6B.25C.26D.36 答案 D 解析(x-5)2+(y+4)2表示点 P(x,y)到点(5,-4)的距离的平方.点(5,-4)到圆心(2,0)的距离 d= =5.则点 P(x,y)到点(5,-4)的距离的最大值为 6,从而(x-5)2+(y+4)2的最大值为 36.(5 - 2)2+ ( - 4)2 6.圆 x2
5、+y2-2y-3=0 的圆心坐标是 ,半径是 . 答案(0,1) 2 解析已知圆 x2+y2-2y-3=0 的方程转化为 x2+(y-1)2=4,圆心坐标为(0,1),半径 r=2. 7.圆 x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a= . 答案- 4 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析由圆的方程 x2+y2-2x-8y+13=0 得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得 d=1, |1 + 4 - 1| 1 + 2 解之,得 a=- 4 3. 8.经过点 A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线 2x-y-3=0上的圆的方程
6、为 . 答案 x2+y2-4x-2y-5=0或(x-2)2+(y-1)2=10 解析圆过 A(5,2),B(3,-2)两点,圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上. 易知线段 AB 的垂直平分线方程为 y=- (x-4). 1 2 设所求圆的圆心为 C(a,b),则有解得 2 - - 3 = 0, = - 1 2( - 4), = 2, = 1. 因此圆心坐标 C(2,1),半径 r=|AC|= 10. 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10. 能力提升组能力提升组 9.(2018浙江嘉兴二模)圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的点到直线 x-y=2 的距离的最大值是( ) A.1
7、+B.2 2 C.1+D.2+2 2 2 2 答案 A 解析将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为 1,则圆心到直线 x-y=2 的距离 d= 故圆上的点到直线 x-y=2 的距离的最大值为 d+1=+1,应选 A. |1 - 1 - 2| 2 = 2.2 10.已知 aR,方程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆,则 a 的值为( ) A.2B.-1C.1D.2 或-1 答案 B 解析由已知方程表示圆,则 a2=a+2, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解得 a=2 或 a=-1. 当 a=2时,方程不满足表示圆的条件,故舍
8、去. 当 a=-1时,原方程为 x2+y2+4x+8y-5=0, 化为标准方程为(x+2)2+(y+4)2=25, 表示以(-2,-4)为圆心,半径为 5 的圆. 11.圆心在曲线 y= (x0)上,与直线 2x+y+1=0 相切,且面积最小的圆的方程为( ) 2 A.(x-2)2+(y-1)2=25B.(x-2)2+(y-1)2=5 C.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x-1)2+(y-2)2=5 答案 D 解析设圆心坐标为 C(a0),则半径 r=,当且仅当 2a= ,即 a=1 时取 ( , 2 ) 2 + 2 + 1 5 2 2 2 + 1 5 = 5 2 等号. 所以当 a=1
9、 时圆的半径最小,此时 r=,C(1,2),所以面积最小的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5. 5 12.(2018浙江七校联考)若圆 x2+y2+2x-6y+1=0关于直线 ax-by+3=0(a0,b0)对称,则的最小值 1 + 3 是( ) A.2BC.4D 3 .20 3 .16 3 答案 D 解析由圆 x2+y2+2x-6y+1=0可知其标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,圆 x2+y2+2x-6y+1=0 关于直线 ax- by+3=0(a0,b0)对称,该直线经过圆心(-1,3),即-a-3b+3=0.a+3b=3(a0,b0)(a+3b). 1 + 3 = 1 3
10、1+910+2=,当且仅当,即 a=b 时取等号.故选 D. ( 1 + 3 ) = 1 3 3 + 3 1 3 3 3 16 3 3 = 3 13.已知点 A,B 在双曲线=1 上,且线段 AB经过原点,点 M 为圆 x2+(y-2)2=1 上的动点,则 2 16 2 4 的最大值为( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.-15B.-9C.-7D.-6 答案 C 解析利用向量的线性运算以及数量积运算法则求解. 设圆 x2+(y-2)2=1 的圆心为 C,且 A,B关于原点 O 对称, 则=()()=()+=()()-2 + 2 + +1=4-|2-4cos +1=5-|2-4
11、cos ,其中 为的夹角,当 =,且点 A 在双曲线的顶点时,(-4cos , )max=4,|=16,所以()max=5-16+4=-7,故选 C. | 2 min 14.已知 M(1,0)是圆 C:x2+y2-4x-2y=0 内的一点,则过点 M 的最短弦所在直线的方程是 . 答案 x+y-1=0 解析由题意知过点 M的最短弦与 CM 垂直,圆 C:x2+y2-4x-2y=0 的圆心为 C(2,1), kCM=1, 1 - 0 2 - 1 最短弦所在直线的方程为 y-0=-(x-1), 即 x+y-1=0. 15.已知实数 x,y 满足 x2+y2-6x+8y-11=0,则的最大值为 ,|
12、3x+4y-28|的最小值2+ 2 为 . 答案 11 5 解析化方程 x2+y2-6x+8y-11=0 为(x-3)2+(y+4)2=36.令 x-3=6cos ,y+4=6sin , 则 x=3+6cos ,y=-4+6sin , 2+ 2=(3 + 6cos)2+ ( - 4 + 6sin)2 =61 + 60cos( + )(tan = 4 3). 的最大值为=11;2+ 2 121 |3x+4y-28|=|9+18cos -16+24sin -28| 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 =|24sin +18cos -35|=|30sin(+)-35|(tan = 3 4).
13、 |3x+4y-28|的最小值为|30-35|=5. 16.已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1,设 P 是圆 C 上的动点.记 d=|PB|2+|PA|2,其中 A(0,1),B(0,-1),则 d 的最大 值为 . 答案 74 解析设点 P的坐标为(x0,y0),则 d=|PB|2+|PA|2=+(y0+1)2+(y0-1)2=2()+2为圆上2 0 2 0 2 0+ 20 . 2 0+ 20 任一点到原点距离的平方,()max=(5+1)2=36.2 0+ 20 dmax=74. 17.已知圆 C过点 P(1,1),且与圆 M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r0)关于直线 x+
14、y+2=0 对称. (1)求圆 C的方程; (2)设 Q为圆 C 上的一个动点,求的最小值. 解(1)设圆心 C(a,b),由已知得 M(-2,-2), 则解得 - 2 2 + - 2 2 + 2 = 0, + 2 + 2 = 1, = 0, = 0, 则圆 C的方程为 x2+y2=r2,将点 P 的坐标代入得 r2=2, 故圆 C的方程为 x2+y2=2. (2)设 Q(x,y),则 x2+y2=2, =(x-1,y-1)(x+2,y+2) =x2+y2+x+y-4=x+y-2. 令 x=cos ,y=sin ,所以=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2,所以的最 22 2
15、( + 4) 小值为-4. 18.已知 M为圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 上任意一点,且点 Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)若 M 的坐标为(m,n),求的最大值和最小值. - 3 + 2 解(1)由圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0, 可得(x-2)2+(y-7)2=8, 所以圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r=2 2. 又|QC|=42,(2 + 2)2+ (7 - 3)2 22 所以点 Q 在圆 C 外.所以|MQ|max=4+2=6, 222 |MQ|min=4-2=2 222. (2)由题意可知表示直线 MQ 的斜率, - 3 + 2 设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2), 即 kx-y+2k+3=0,则=k. - 3 + 2 因为直线 MQ 与圆 C 有交点, 所以2,可得 2-k2+, |2 - 7 + 2 + 3| 1 + 2 233 所以的最大值为 2+,最小值为 2- - 3 + 2 33.