《2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练：13_§ 3_2 导数与函数单调性 教师备用题库 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练：13_§ 3_2 导数与函数单调性 教师备用题库 Word版含解析.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 教师专用真题精编教师专用真题精编 (2018 天津,20,14 分)已知函数 f(x)=ax,g(x)=logax,其中 a1. (1)求函数 h(x)=f(x)-xln a 的单调区间; (2)若曲线 y=f(x)在点(x1, f(x1)处的切线与曲线 y=g(x)在点(x2,g(x2)处的 切线平行,证明 x1+g(x2)=-; 2ln ln ln (3)证明当 a 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的e 1 e 切线. 解析 本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数 与对数函数的性质
2、等基础知识和方法.考查函数与方程思想、 化归思想.考查抽 象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. (1)由已知,h(x)=ax-xln a,有 h(x)=axln a-ln a. 令 h(x)=0,解得 x=0. 由 a1,可知当 x 变化时,h(x),h(x)的变化情况如表: x(-,0)0(0,+) h(x)-0+ h(x)极小值 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以函数 h(x)的单调递减区间为(-,0),单调递增区间为(0,+). (2)证明:由f (x)=axln a,可得曲线y=f(x)在点(x1, f(x1) 处的切线斜率为1 ln a. 由 g(x)=,可得曲线
3、 y=g(x)在点(x2,g(x2)处的切线斜率为. 1 ln 1 2ln 因为这两条切线平行,故有ln a=,1 1 2ln 即 x2(ln a)2=1.1 两边取以 a 为底的对数,得 logax2+x1+2logaln a=0, 所以 x1+g(x2)=-. 2ln ln ln (3)证明:曲线 y=f(x)在点(x1,)处的切线 l1:y-=ln a(x-x1).111 曲线 y=g(x)在点(x2,logax2)处的切线 l2:y-logax2=(x-x2). 1 2ln 要证明当 a 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的e 1 e 切线,只
4、需证明当 a 时,存在 x1(-,+),x2(0,+),使得 l1与 l2重合.e 1 e 即只需证明当 a 时,e 1 e 方程组有解. 1ln = 1 2ln, 1- 11ln = log2- 1 ln, 由得 x2=,代入, 1 1(ln)2 得-x1ln a+x1+=0.11 1 ln 2ln ln ln 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 因此,只需证明当 a 时,关于 x1的方程存在实数解.e 1 e 设函数 u(x)=ax-xaxln a+x+, 1 ln 2ln ln ln 即要证明当 a 时,函数 y=u(x)存在零点.e 1 e u(x)=1-(ln a)2xax,
5、可知 x(-,0)时,u(x)0;x(0,+)时,u(x)单调递 减,又u(0)=10,u=1-0,使得u(x0)=0, ( 1 (ln)2) 1 (ln)2 即 1-(ln a)2x0=0.0 由此可得u(x)在(-,x0)上单调递增,在(x0,+)上单调递减.u(x)在x=x0处取 得极大值 u(x0). 因为 a ,故 ln ln a-1,所以 u(x0)=-x0ln a+x0+=+x0+e 1 e 00 1 ln 2ln ln ln 1 0(ln)2 0. 2ln ln ln 2 + 2ln ln ln 下面证明存在实数 t,使得 u(t)时,有 1 ln u(x)(1+xln a)(1-xln a)+x+=-(ln a)2x2+x+1+, 1 ln 2ln ln ln 1 ln 2ln ln ln 所以存在实数 t,使得 u(t)0. 因此,当 a 时,存在 x1(-,+),使得 u(x1)=0.e 1 e 所以,当 a 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切e 1 e 线. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印