《2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练：22_§ 4_7 正弦定理和余弦定理 夯基提能作业 Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学新攻略大一轮浙江专用精练：22_§ 4_7 正弦定理和余弦定理 夯基提能作业 Word版含解析.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 4.7 正弦定理和余弦定理 A 组 基础题组A 组 基础题组 1.在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a,b,c 成等差数 列,B=30,ABC 的面积为 ,则 b=( ) 3 2 A.B.1+ 1 + 3 2 3 C.D.2+ 2 + 3 2 3 答案 B 由条件知 acsin B= ,得ac=6,又a+c=2b,则由余弦定理得 1 2 3 2 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-ac,即 b2=4b2-12-6,解得 b1=b2=1+.333 2.如图,正三棱锥 P-ABC 的所有棱长都为 4.点
2、D,E,F 分别在棱 PA,PB,PC 上,则 满足 DE=EF=3,DF=2 的DEF 的个数是( ) A.1B.2C.3D.4 答案 C 令 PD=x,PE=y,PF=z,则当 x=z 时, 2+ 2- xy = 9, 2+ 2- zy = 9, 2+ 2- xz = 4, = = 2, = 1 + 6, 当 xz 时,有两解. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 3.(2017 浙江镇海中学模拟)在ABC 中,BC=2,AC=2,则 A 的最大值是( )2 A.30B.45C.60D.90 答案 B 由余弦定理,知 cos A=(当且仅当 c=2 时,取 2+ 8 - 4 2 2
3、2 1 42( + 4 ) 2 2 等号),故 A 的最大值为 45,故选 B. 4.(2017 浙江台州调研)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=1,2b-c=2acos C,sin C=,则ABC 的面积为( )3 3 2 A.B.C.或D.或 3 2 3 4 3 2 3 4 3 3 2 答案 C 由正弦定理知,2sin B-sin C=2sin Acos C,又 sin 3 B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以 cos A=,故 A=30. 3 2 因为 sin C=,所以 C=60或 C=120. 3 2 当 C=60时
4、,B=90,由=,得 c=,故 S= 11=; sin sin 3 1 2 3 3 2 当 C=120时,B=30,此时 b=a=1,故 S= 11sin 120=.故选 C. 1 2 3 4 5.(2018 杭州高三期末)设点 P 在ABC 的 BC 边所在的直线上从左到右运动, 设 ABP 与ACP 的外接圆面积之比为 ,当点 P 不与 B,C 重合时( ) A. 先变小再变大 B.当 M 为线段 BC 中点时, 最大 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 C. 先变大再变小 D. 是一个定值 答案 D 设ABP 与ACP 的外接圆半径分别为 r1,r2,则 2r1=,2r2= si
5、n ,因为APB+APC=180,所以sinAPB=sinAPC,所以 =,所以= sin 1 2 =.故选 D. 2 1 2 2 2 2 6.已知 a,b,c 分别为ABC 的内角 A,B,C 所对的边,其面积满足 SABC= a2,则 1 4 的最大值为( ) A.-1B.C.+1D.+22222 答案 C 根据题意,有SABC= a2= bcsin A,应用余弦定理,可得b2+c2-2bccos 1 4 1 2 A=2bcsin A,令 t= ,于是 t2+1-2tcos A=2tsin A.于是 2tsin A+2tcos A=t2+1,所 以 2sin=t+ ,从而 t+ 2,解得
6、t 的最大值为+1.2 ( + 4) 1 1 22 7.(2017浙江测试)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=2,C=3 ,tan A= ,则 sin A= ,b= . 3 3 4 答案 ;4+ 3 5 3 解析 由 tan A= 得 sin A= ,cos A= ,由正弦定理,得 c=a=5,又 sin 3 4 3 5 4 5 sin sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,b=acos C+ccos A=4+.3 8.(2017 浙江名校协作体)已知在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, S 为ABC 的面积.
7、若 a=4,b=5,C=2A,则 c= ,S= . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 6;15 7 4 解析 由题意可知,=, sin sin sin( - 3) sin3 所以 asin 3A=bsin A, 即 4(3sin A-4sin3A)=5sin A, 整理得 7=16sin2A, 从而 cos2A=,即 cos A= . 9 16 3 4 由正弦定理得,c=a=2cos Aa=6. sin sin S= bcsin A= 56=. 1 2 1 2 7 4 157 4 9.(2018 杭州七校高三联考)设ABC 的三个内角 A、 B、 C 所对的边依次为 a、 b、
8、 c, 若ABC 的面积为 S,且 S=a2-(b-c)2,则= . sin 1 - cos 答案 4 解析 因为ABC 的面积为 S,且 S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc= bcsin A, 1 2 所以由余弦定理可得-2bccos A+2bc= bcsin A, 1 2 所以 4-4cos A=sin A, 所以=4. sin 1 - cos 4 - 4cos 1 - cos 10.(2017 浙江稽阳联谊学校联考)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 csin A=acos C,则 C= ;若 c=,ABC 的面积为, 则331 33 2 a+
9、b= . 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 ;7 3 解析 由正弦定理可得 sin Csin A=sin Acos C,3 因为 sin A0,所以 tan C=,所以 C= .3 3 由 absin C=,得 ab=6. 1 2 33 2 又由余弦定理得=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,( 31)2 所以 a+b=7. 11.(2017 浙江台州质量评估)已知在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 b=a,cos B=cos A,c=+1,则ABC 的面积为 . 2323 答案 3+ 1 2 解析 由cos B=cos A,得32
10、=,3 2+ 2- 2 2 2 2+ 2- 2 2 又 b=a,c=+1,所以上式可化简为 a2=c2=2,23 3 - 1 3+ 1 所以 a=,b=2.2 所以 cos B=,所以 sin B=. 2+ 2- 2 2 2 2 1 - cos2B 2 2 故ABC 的面积 S= acsin B= (+1)=. 1 2 1 2 23 2 2 3+ 1 2 12.(2017浙江宁波期末)已知ABC的三边分别为a,b,c,且a2+c2=b2+ac,则边b 所对的角 B 为 ;此时,若 b=2,则的最大值为 . 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 答案 ;6+4 3 3 解析 由余弦定理
11、得 cos B= ,B= , 2+ 2- 2 2 1 2 3 由正弦定理得 c=4sin C. sin sin =bccos A=8sin Ccos A,又 C=-A,3 2 3 =8cos A=12cos2A+4sin Acos A=6(1+cos 3( 3 2 cos + 1 2sin) 3 2A)+2sin 2A=6+4sin.33 (2 + 3) 00, 所以 sin B=, 3 2 因为三角形 ABC 为锐角三角形,所以 B= . 3 (2)已知 b=,则 3=a2+c2-2accos3 3 =a2+c2-ac=(a+c)2-3ac, 所以 a+c=2,3 所以三角形 ABC 的周长
12、为 3.3 15.已知 f(x)=sin x(cos x+sin x)-1,xR. (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)在锐角ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 f(A)=0,a=1,求 a2+b2+c2的取值范围. 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 解析 (1)f(x)=sin xcos x+sin2x-1= sin 2x+-1=sin- . 1 2 1 - cos2 2 2 2 (2 - 4) 1 2 令 +2k2x- 2k+(kZ), 2 4 3 2 得+kxk+(kZ). 3 8 7 8 故函数 f(x)的单调递减区间为(kZ). 3 8
13、 + k, 7 8 + k (2)由 f(A)=0 得 sin=. (2 - 4) 2 2 A,2A- , (0, 2) 4 ( - 4, 3 4) 2A- = , 4 4 A= . 4 易得 bc=sin Bsin C=2sin Bsin C=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)- ( sin) 2 cos(-A)=+cos(B-C),又在锐角ABC 中,A= ,故 B-C,bc 2 2 4 ( - 4, 4) , ( 2,1 + 2 2 又 cos A=,b2+c2-a2=bc, 2+ 2- 2 2 2 a2+b2+c2=bc+2(4,3+.22 B 组 提升题组B 组 提
14、升题组 1.(2018 金华东阳二中高三调研)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 3bcos A=ccos A+acos C,则 tan A 的值是( ) 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.-2B.-C.2D.2222 答案 C 在ABC 中,由余弦定理得 ccos A+acos C=c+a=b. 2+ 2- 2 2 2+ 2- 2 2 所以 3bcos A=ccos A+acos C=b, 两边约去 b,得 3cos A=1,所以 cos A= 0, 1 3 所以 A 为锐角,且 sin A=,1 - cos2A 22 3 因此,tan A=2. s
15、in cos 2 2.若满足条件 AB=,C= 的三角形 ABC 有两个,则边 BC 的长的取值范围是3 3 ( ) A.(1,) B.(,)223 C.(,2) D.(,2)32 答案 C 设 BC=a,C= ,AB=, 3 3 由正弦定理得=,即=,sin A= . sin sin 3 3 2 sin 2 由题意得,当 A且 A 时,满足条件的ABC 有两个, 1,解得 ( 3, 2 3) 2 3 2 2 3 a2,即 BC 的取值范围是(,2).3 3.(2017 浙江镇海中学模拟)在锐角ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 且 acos B+bcos A=c2,C=
16、 ,则 a+b 的取值范围是( ) 3 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 A.1,2B.(1,2 C.,2 D.(,2 33 答案 D 由正弦定理,知 sin Acos B+sin Bcos A=sin Cc,即 sin(A+B)=csin C,所以 c=1. 又=, sin sin sin 所以 a+b=c= ( sin sin + sin sin) 2 3sin + sin( 2 3 - ) =2sin. 2 3( 3 2sin + 3 2 cos)( + 6) 因为 0 2, 0 2 3 - 2, 所以 A , 6 2 所以 A+ , 3 6 2 3 所以 a+b(,2,故选
17、D.3 4.(2017 浙江绍兴质量检测)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已 知 A= ,b=,ABC 的面积为,则 c= ,B= . 4 6 3 + 3 2 答案 1+;3 3 解析 由三角形的面积公式,知= c, 3 + 3 2 1 2 6 2 2 所以 c=1+.3 由正弦定理得,= ,即= , sin sin sin( 3 4 - ) sin 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 所以=(1+)sin B,6 ( 2 2 cos + 2 2 sin) 3 所以cos B=sin B,即 tan B=,所以 B= .33 3 5.(2017浙江杭州二模)
18、设a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,且SABC= c2. 1 2 若 ab=,则 a2+b2+c2的最大值是 . 2 答案 4 解析 由 SABC= c2,知 absin C= c2,所以 c2=sin C; 1 2 1 2 1 2 2 由 c2=a2+b2-2abcos C,可知 a2+b2=c2+2abcos C=sin C+2cos C.22 所以 a2+b2+c2=2(sin C+cos C)=4sin4,2 ( + 4) 当且仅当 C= 时,取等号. 4 故 a2+b2+c2的最大值为 4. 6.已知在ABC 中,M,N 分别为 AC,AB 的中点,|AB|AC|=23,
19、当ABC 在上 述条件下变化时,若|BM|CN|恒成立,则 的最小值为 . 答案 7 8 解析 设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,不妨设 c=2,b=3,a=x(1x5).易求得 |BM|2= + - ,从而|BM|=.同理,|CN|=, 2 2 2 2 2 4 22- 1 2 22+ 14 2 (1x5),从而 . 22- 1 22+ 14 7 8 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 7.已知ABC 的面积为 1,A 的平分线交对边 BC 于 D,AB=2AC,且 AD=kAC,kR, 则当 k= 时,边 BC 的长度最短. 答案 2 10 5 解析 由题可设在ABC中,内
20、角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则c=2b,AD=kb. 由角平分线定理知,SACD= = sin kb2,又 1= b2bsin A,两式联立,消去 1 3 1 2 2 1 2 b2,得 cos = k. 2 3 4 又 a2=b2+(2b)2-2b2bcos A=b2(5-4cos A)=, 5 - 4cos sin 所以 a2sin A+4cos A=5, 利用辅助角公式,知sin(A+)=5,4+ 16 (tan = 4 2) 所以 a4+1625,即 a23,此时 cos = (当sin = 3 5,cos = 4 5时,取等号) 2 1 + cos 2 =,故 k= cos
21、=. 310 10 4 3 2 2 5 10 8.(2018 浙江,13,6 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 7 ,b=2,A=60,则 sin B= ,c= . 答案 ;3 21 7 解析 本题考查正弦定理、余弦定理. 由=得 sin B= sin A=, sin sin 21 7 由 a2=b2+c2-2bccos A,得 c2-2c-3=0,解得 c=3(舍负). 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 9.(2017 杭州四校期中)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos 2A+ =2cos A. 3 2 (1)
22、求角 A 的大小; (2)若 a=1,求ABC 的周长 l 的取值范围. 解析 (1)由题意得 2cos2A+ =2cos A, 1 2 即 4cos2A-4cos A+1=0, (2cos A-1)2=0,cos A= . 1 2 又0A, A= . 3 (2)根据正弦定理=,得 b=sin B,c=sin C,l=1+b+c=1+(sin sin sin sin 2 3 2 3 2 3 B+sin C),A= ,B+C=,l=1+=1+2sin 3 2 3 2 3sin + sin( 2 3 - B)( + 6) ,0B, B+ ,l(2,3. 2 3 6 6 5 6 10.在ABC 中,
23、内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 c=2,C= . 3 (1)若ABC 的面积等于,求 a,b;3 (2)若 sin C+sin(B-A)=3sin 2A,求ABC 的面积. 解析 (1)在ABC 中,由余弦定理及三角形面积公式得 即解得 a=b=2. 4 = 2+ 2- ab, 3= 1 2ab 3 2 , 4 = 2 + 2- ab, = 4, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 (2)3sin 2A=sin C+sin(B-A) =sin(B+A)+sin(B-A), 化简得 6sin Acos A=2sin Bcos A, 又 A 为ABC 的内角,所以 co
24、s A0,所以 sin B=3sin A, 即 b=3a, 由余弦定理可得 a2= , 4 7 故ABC 的面积 S= absin C=3a2=. 1 2 3 4 33 7 11.(2017 温州中学月考)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a=2,2cos2+sin A= . + 2 4 5 (1)若满足条件的ABC 有且只有一个,求 b 的取值范围; (2)当ABC 的周长取最大值时,求 b 的值. 解析 由 2cos2+sin A= ,得 1+cos(B+C)+sin A= , + 2 4 5 4 5 所以 sin A-cos A=- , 1 5 又 0A,且
25、sin2A+cos2A=1,所以sin = 3 5, cos = 4 5. (1)若满足条件的ABC 有且只有一个, 则有 a=bsin A 或 ab, 高清试卷 下载可打印 高清试卷 下载可打印 则 b 的取值范围为(0,2. 10 3 (2)设ABC 的周长为 l,则 l=a+b+c. 由正弦定理得 l=a+(sin B+sin C) sin =2+sin B+sin(A+B) 10 3 =2+(sin B+sin Acos B+cos Asin B) 10 3 =2+2(3sin B+cos B) =2+2sin(B+),10 其中 为锐角,且 sin =,cos =, 10 10 310 10 所以 lmax=2+2,且当 cos B=,sin B=时取到.10 10 10 310 10 此时 b=sin B= . sin 10