第十章__双变量回归与相关.ppt

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1、1,第十章,两变量之间关系的分析回归与相关 Linear Regression and Correlation,2,问题引出 对两个变量之间关系的研究,例如糖尿病病人的血糖与胰岛素水平的关系如何?分析资料涉及每个病人的两个变量值(血糖、胰岛素水平），称为双变量资料(Bivariate data），记作： （X1,Y1）, （X2,Y2）, , （Xn,Yn） 分析目的：研究X和Y之间的数量关系 分析方法：简单线性回归和简单线性相关。,3,第一节 简单线性回归 Simple Linear regression,4,十九世纪英国人类学家 F.Galton（1822-1891）在由父亲身高与儿子身高

2、的关系的观察分析中，提出了著名的“相关”（correlation）与“回归”（regression）理论。,历史背景：,5,最初，Galton是将子代身高趋向于种族稳定的自然现象称之向均数“回归”。 目前，“回归”已成为表示变量之间某种数量依存关系的统计学术语，并且衍生出“回归方程”“回归系数”等统计学概念。如研究糖尿病病人血糖与其胰岛素水平的关系，研究儿童年龄与体重的关系等。,6,一、线性回归的概念,目的：如果以某个变量X作为自变量，研究另一个变量Y （应变量）对自变量X的数量依存关系，就是线性回归。 特点：线性回归关系是统计关系，不同于一般数学上的X 和Y的函数关系。,7,例9-1 某地方

3、病研究所调查了8名正常儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表9-1。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X）的回归方程。,8,表9-1 8名正常儿童的年龄 （岁）与尿肌酐含量 （mmol/24h）,102,9,10,在定量描述儿童年龄与其尿肌酐含量数量上的依存关系时，将年龄称为自变量(independent variable)，用 X 表示；尿肌酐含量称为应变量(dependent variable)，用 Y 表示。,11,由图9-1可见，尿肌酐含量 Y 随年龄 X 增加而增大且呈直线趋势，但并非8个散点恰好都在一条直线上，这与两变量间严格的直线函数关系不同，称为直线回归（linear regre

4、ssion）,其方程叫直线回归方程，以区别严格意义的直线方程。 双变量直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression)。,12,直线回归方程的一般表达式为,为各X处Y的总体均数的估计。,13,1a 为回归直线在 Y 轴上的截距。,a 0，表示直线与纵轴的交点在原点的上方； a 0，则交点在原点的下方； a = 0，则回归直线通过原点。,a = 0,a 0,a 0,X,Y,14,b0，直线从左下方走向右上方，Y 随 X 增大而增大； b0，直线从左上方走向右下方，Y 随 X 增大而减小； b=0，表示直线与 X 轴平行，X 与Y 无直线关系。,X,Y

5、,2. b为回归系数，即直线的斜率。,*b 的统计学意义是：X 每增加(或减少)一个单位，Y 平均改变的单位数。,b0,b0,b=0,15,102,16,17,二、直线回归方程的求法,残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回归线上的估计值 的纵向距离 。 求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好地代表数据点分布趋势的直线。,最小二乘法(least sum of squares)原则：即保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小。,（X，Y）,18,19,20,例9-1 某地方病研究所调查了8名正常儿童的尿肌酐含量（mmol/24h）如表9-1。估计尿肌酐含量（Y）对其年龄（X）的

6、回归方程。,21,表9-1 8名正常儿童的年龄 （岁）与尿肌酐含量 （mmol/24h）,22,解题步骤,23,24,25,此直线必然通过点( , )且与纵坐标轴相交于截距 a 。如果散点图没有过坐标系原点，可在自变量实测范围内远端取易于读数的 X 值代入回归方程得到一个点的坐标，连接此点与点( , )也可绘出回归直线。,102,26,27,三、直线回归中的统计推断,28,（一）回归方程的假设检验,建立样本直线回归方程，只是完成了统计分析中两变量关系的统计描述，研究者还须回答它所来自的总体的直线回归关系是否确实存在，即是否对总体有 ？,102,29,30,31,1方差分析,102,32,（X，

7、Y）,33,数理统计可证明：,34,上式用符号表示为,式中,35,36,上述三个平方和，各有其相应的自由度 ，并有如下的关系：,37,如果两变量间总体回归关系确实存在，回归的贡献就要大于随机误差，大到何种程度时可以认为具有统计学意义，可计算统计量 F。,38,式中：,39,2. t 检验,40,例9-2 检验例9-1数据得到的直线回归方程是否成立？,41,（1）方差分析,42,表9-2 方差分析表,列出方差分析表如表9-2。,43,（2）t 检验,44,注意：,45,（二）总体回归系数 的可信区间,利用上述对回归系数的t检验，可以得到的1双侧可信区间为,46,例9-3 根据例9-1中所得b=0

8、.1392，估计其总体回归系数的双侧95%可信区间。,47,（0.1392-2.4470.0304，0.1392+2.4470.0304） =（0.0648，0.2136）,48,（三）利用回归方程进行估计和预测,49,（9-15）,（9-14）,反映其抽样误差大小的标准误为,50,（9-16）,（9-17）,51,两条实曲线总体均数的可信区间； 两条虚曲线个体Y值的预测区间，范围更宽。 二者都是中间窄，两头宽；都在X= 处最窄。,52,例9-4 用例9-1所得直线回归方程，计算当X0=12时， 的95%可信区间和相应个体值的95%预测区间。,53,计算步骤,例9-1、例9-2已计算出,54,

9、线性回归小结,56,决定系数(coefficient of determination),定义为回归平方和与总平方和之比，计算公式为：,（9-23）,取值在0到1之间且无单位，其数值大小反映了回归贡献的相对程度，也就是在Y的总变异中回归关系所能解释的百分比。,57,线性回归的应用条件,四、SPSS软件实现,线性(Linear)过程：用于一元或多元线性回归分析，包括自变量的筛选。 SPSS操作与界面说明：P344 1) 图形(Graphs) 散点图(Scatterplot) 简单散点图(Simple) 2)分析(Analyze) 回归(Regression) 线性(Linear),实例及SPSS

10、过程,例10.1：某医生共测定了21名肝癌患者血清中胆固醇（mmol/L）和三酰甘油的含量，数据集为例10-01.sav。问肝癌患者血清中胆固醇与三酰甘油是否具有线性回归关系？,实例及SPSS过程,界面说明,界面说明,界面说明,界面说明,界面说明,界面说明,界面说明,界面说明,SPSS分析结果,拟合过程中变量进入/退出模型的情况记录,SPSS分析结果,所拟合模型的情况简表,SPSS分析结果,回归模型检验的方差分析结果 结论：F=5.856，P=0.0260.05，提示所建立的线性回归模型有统计学意义。,SPSS分析结果,回归模型系数估计及t检验结果 结论：t=2.42，P=0.0260.05，

11、提示血清胆固醇与甘油三酯具有线性回归关系，可建立两者的回归方程 。,74,第二节 简单线性相关 Simple Linear correlation,75,线性相关(linear correlation)又称简单相关(simple correlation)，用于双变量正态分布(bivariate normal distribution)资料。其性质可由图9-6散点图直观的说明。 目的：研究两个变量X,Y数量上的依存（或相关）关系。 特点：统计关系,一、线性相关的概念,76,二、相关系数的意义与计算,1. 意义：相关系数（correlation coefficient）又称Pearson积差相关系

12、数，用来说明具有直线关系的两变量间相关的密切程度与相关方向。,相关系数没有单位，其值为-1 r 1。r值为正表示正相关，r值为负表示负相关，r的绝对值等于1为完全相关，r=0为零相关。,102,77,78,2. 计算：样本相关系数的计算公式为,（9-18）,79,由例9-1算得，,按公式（9-18）,例9-5 对例9-1数据（见表9-1），计算8名儿童的尿肌酐含量与其年龄的相关系数。,80,三、相关系数的统计推断,（一）相关系数的假设检验,（9-19）,81,例9-6 对例9-5所得 r 值，检验尿肌酐含量与年龄是否有直线相关关系？,82,检验步骤,本例n=8，r=0.8818，按公式（9-1

13、9）,83,（二）总体相关系数的可信区间,102,84,具体步骤如下,85,例9-7 对例9-5所得r值，估计总体相关系数的95%可信区间。,再按公式（9-22）将z作反变换，得到年龄与尿肌酐含量的总体相关系数95%可信区间为（0.4678,0.9971）。,86,四、线性回归与相关应用的注意事项,87,1根据分析目的选择变量及统计方法,直线相关用于说明两变量之间直线关系的方向和密切程度，X与Y没有主次之分； 直线回归则进一步地用于定量刻画应变量Y对自变量X在数值上的依存关系，其中应变量的定夺主要依专业要求而定，可以考虑把易于精确测量的变量作为X，另一个随机变量作Y，例如用身高估计体表面积。

14、两个变量的选择一定要结合专业背景，不能把毫无关联的两种现象勉强作回归或相关分析。,88,89,2进行相关、回归分析前应绘制散点图第一步,（1） 散点图可考察两变量是否有直线趋势； （2） 可发现离群点（outlier）。,散点图对离群点的识别与处理需要从专业知识和现有数据两方面来考虑，结果可能是现有回归模型的假设错误需要改变模型形式，也可能是抽样误差造成的一次偶然结果甚至过失误差。需要认真核对原始数据并检查其产生过程认定是过失误差，或者通过重复测定确定是抽样误差造成的偶然结果，才可以谨慎地剔除或采用其它估计方法。,90,3资料的要求,直线相关分析要求 X与Y 服从双变量正态分布； 直线回归要求

15、至少对于每个 X 相应的 Y 要服从正态分布，X可以是服从正态分布的随机变量，也可以是能精确测量和严格控制的非随机变量； * 对于双变量正态分布资料，根据研究目的可选择由 X 估计 Y 或者由 Y 估计 X ，一般情况下两个回归方程不相同）。,91,反应两变量关系密切程度或数量上影响大小的统计量应该是回归系数或相关系数的绝对值，而不是假设检验的P值。 P值越小只能说越有理由认为变量间的直线关系存在，而不能说关系越密切或越“显著”。另外，直线回归用于预测时，其适用范围一般不应超出样本中自变量的取值范围。,4结果解释及正确应用,五、SPSS软件实现,双变量(Bivariate)过程：用于进行两个或

16、多个变量间的参数或非参数相关分析。 SPSS操作与界面说明：P332 1) 图形(Graphs) 散点图(Scatterplot) 简单散点图(Simple) 2)分析(Analyze) 相关(Correlate) 双变量(Bivariate) 相关系数：pearson,实例及SPSS过程,例10.2：某医生共测定了21名肝癌患者血清中胆固醇（mmol/L）和三酰甘油的含量，数据集为例10-01.sav。问肝癌患者血清中胆固醇与三酰甘油是否具有线性相关关系？,实例及SPSS过程,Spearman秩相关系数,属于非参数统计方法,Kendall等级相关系数,用于反映分类变量相关性的指标，适用于两个变量均为有序分类的情况。 指标说明：P336 属于非参数统计方法,SPSS分析结果,SPSS分析结果,结论：血清中胆固醇和甘油三酯的线性相关系数r=0.485, P=0.0260.05，提示两变量间具有线性相关关系。,99,思考与练习： 医学统计学贺佳主编： P179 四、计算分析题：第1题,100,The end!,