《概率论与数理统计》经典课件 概率论1.ppt

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1、1,关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性,第一章 概率论的基本概念,2,1 随机试验,确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定,确定,不确定,不确定,自然界与社会生活中的两类现象,例： 向上抛出的物体会掉落到地上,明天天气状况,买了彩票会中奖,3,概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律,对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 可以在相同条件下重复进行 事先知道可能出现的结果 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生,例： 抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记

2、；,4,2 样本空间随机事件,(一)样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S=e， 称S中的元素e为基本事件或样本点,S=0,1,2,；,S=正面，反面；,S=(x,y)|T0yxT1；,S= x|axb ,记录一城市一日中发生交通事故次数,例： 一枚硬币抛一次,记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y,记录一批产品的寿命x,5,(二) 随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。,S0,1,2,；,记 A至少有10人候车10,11,12, S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。,例：观察89路公交车浙大站候

3、车人数，,如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记为不可能事件，不包含 任何样本点。,6,(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等） 例： 记A=明天天晴，B=明天无雨 记A=至少有10人候车，B=至少有5人候车 一枚硬币抛两次，A=第一次是正面，B=至少有一次正面,7,事件的运算,A与B的和事件，记为,A与B的积事件，记为,当AB=时，称事件A与B不相容的，或互斥的。,8,“和”、“交”关系式,例：设A= 甲来听课 ，B= 乙来听课 ，则：,甲、乙至少有一人来,甲、乙都来,甲、乙都不来,甲、乙至少有一人不来,9,3 频率与概率,(一)频率 定义

4、：记 其中 A发生的次数(频数)；n总试验次 数。称 为A在这n次试验中发生的频率。 例： 中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为 某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记 A=听课迟到，则 # 频率 反映了事件A发生的频繁程度。,表 1,例：抛硬币出现的正面的频率,11,表 2,12,* 频率的性质： 且 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p,13,(二) 概率 定义1： 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p 定义2：将概率视为测度，且满足： 称P(A)为事件A的概率。,14,性质：,15,4 等可能概型（古典

5、概型）,定义：若试验E满足： S中样本点有限(有限性) 出现每一样本点的概率相等(等可能性),称这种试验为等可能概型(或古典概型)。,16,例1：一袋中有8个球，编号为18，其中13 号为红球，48号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A= 摸到红球 ，求P(A),解： S=1,2,8 A=1,2,3,17,例2：从上例的袋中不放回的摸两球， 记A=恰是一红一黄，求P(A) 解：,（注：当Lm或L0时，记 ）,例3：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak恰有k件次品，求P(Ak) 解：,18,例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(nN)，设每一球落入

6、各盒 的概率相同，且各盒可放的球数不限， 记A 恰有n个盒子各有一球 ，求P(A) 解：,即当n2时，共有N2个样本点；一般地，n个球放入N个盒子中，总样本点数为Nn，使A发生的样本点数,可解析为一个64人的班上，至少有两人在同一天过生日的概率为99.7%,若取n64，N365,19,例5：一单位有5个员工，一星期共七天， 老板让每位员工独立地挑一天休息， 求不出现至少有2人在同一天休息的 概率。 解：将5为员工看成5个不同的球， 7天看成7个不同的盒子， 记A= 无2人在同一天休息 ， 则由上例知：,20,例6: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记abn 设每次摸到各球的概率相等，每

7、次从袋中摸一球， 不放回地摸n次。 设 第k次摸到红球 ，k1,2,n求 解1：,号球为红球，将n个人也编号为1,2,n,-与k无关,可设想将n个球进行编号： 其中,视 的任一排列为一个样本点，每点出现的概率 相等。,21,解3： 将第k次摸到的球号作为一样本点：,原来这不是等可能概型,总样本点数为 ，每点出现的概率相等，而其中有 个 样本点使 发生，,红色,解2： 视哪几次摸到红球为一样本点,解4： 记第k次摸到的球的颜色为一样本点： S红色,白色，,22,解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 21

8、2/712 =0.000 000 3.,例7：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,5 条件概率,例：有一批产品，其合格率为90%，合格品中有95%为 优质品，从中任取一件， 记A=取到一件合格品， B=取到一件优质品。 则 P(A)=90% 而P(B)=85.5% 记：P(B|A)=

9、95% P(A)=0.90 是将整批产品记作1时A的测度 P(B|A)=0.95 是将合格品记作1时B的测度 由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，而这里的S常常省略而已，P(A)也可视为条件概率 分析：,24,一、条件概率 定义： 由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。 例如：,二、乘法公式 当下面的条件概率都有意义时：,25,例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下 的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80% 的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产 品的报废率。,利用乘法公式,解：设 A=生产的产品要报废 B=生产的产品要调试 已知P(B)=0

10、.3，P(A|B)=0.2，,26,例：某行业进行专业劳动技能考核，一个月安排一次，每人 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如 果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为 80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通 过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。,解： 设 Ai= 这人第i次通过考核 ，i=1,2,3 A= 这人通过考核 ，,亦可：,27,例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。,利用乘法公式,与 不相容,（1）若为放回抽样：,（2）若为不放回抽样：,解： 设 Ai=第i次取到红牌，i=1,2 B=

11、取2张恰是一红一黑,28,三、全概率公式与Bayes公式,定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,Bn 为E的一组事件。若： 则称B1,B2,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。,即：B1,B2,Bn至少有一发生是 必然的，两两同时发生又是不可能的。,29,定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,Bn为S的一个划分，P(Bi)0，i=1,2,n； 则称：,为全概率公式,证明：,定理：接上定理条件， 称此式为Bayes公式。,30,* 全概率公式可由以下框图表示： 设 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,n 易知：,S,P1,P2,Pn,. . .,B

12、2,q2,q1,qn,31,例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为80%， 若甲出差，则乙出差的概率为20%；若甲不出差， 则乙出差的概率为90%。(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。,Bayes公式,全概率公式,解：设A=甲出差，B=乙出差,32,例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5% 的假阳性及5%的假阴性：若设A=试验反应是阳性， C=被诊断患有癌症 则有： 已知某一群体 P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？,若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8 推出P(C|A)=0.987 说明这种试验方法可在医院用,解：考察P(C|

13、A)的值,若用于普查，100个阳性病人中被诊断患有癌症的 大约有8.7个，所以不宜用于普查。,33,6 独立性,例：有10件产品，其中8件为正品，2件为次品。从中取2 次,每次取1件，设Ai=第i次取到正品，i=1,2,不放回抽样时，,放回抽样时，,即放回抽样时，A1的发生对A2的发生概率不影响 同样，A2的发生对A1的发生概率不影响,定义：设A，B为两随机事件， 若P(B|A)=P(B)， 即P(AB)=P(A)*P(B) 即P(A|B)=P(A)时，称A，B相互独立。,34,注意：,35,例：甲、乙两人同时向一目标射击，甲击中 率为0.8，乙击中率为0.7，求目标被 击中的概率。,解： 设

14、 A=甲击中,B=乙击中 C=目标被击中, 甲、乙同时射击，其结果互不影响， A，B相互独立,36,例：有4个独立元件构成的系统(如图)，设每个元 件能正常运行的概率为p，求系统正常运行的 概率。,注意：这里系统的概念与电路 中的系统概念不同,37,38,总结：,39,复习思考题 1,1.“事件A不发生，则A=”,对吗？试举例证明之。 2. “两事件A和B为互不相容，即AB=,则A和B互逆”，对吗？ 反之成立吗？试举例说明之。 4. 甲、乙两人同时猜一谜，设A=甲猜中，B=乙猜中， 则AB=甲、乙两人至少有1人猜中。若P(A)=0.7,P(B)=0.8, 则“P(AB)=0.7+0.8=1.5

15、”对吗？ 5. 满足什么条件的试验问题称为古典概型问题？,40,7.如何理解样本点是两两互不相容的？ 8.设A和B为两随机事件，试举例说明P(AB)=P(B|A)表示不同的意义。 10.什么条件下称两事件A和B相互独立？ 什么条件下称n个事件A1,A2,An相互独立？ 11.设A和B为两事件，且P(A)0,P(B)0,问A和B相互独立、A和B互不相容能否同时成立？试举例说明之。 12.设A和B为两事件，且P(A)=a,P(B)=b,问： (1) 当A和B独立时,P(AB)为何值？ (2) 当A和B互不相容时, P(AB)为何值？,41,13.当满足什么条件时称事件组A1,A2,An为样为本空间

16、 的一个划分？ 14.设A,B,C为三随机事件，当AB，且P(A)0, P(B)0时， P(C|A)+P(C|B)有意义吗？试举例说明。 15.设A,B,C为三随机事件,且P(C)0, 问P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)是否成立？ 若成立，与概率的加法公式比较之。,42,第二章 随机变量及其分布,关键词： 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数,43,1 随机变量,* 常见的两类试验结果：,X=f(e)为S上的单值函数，X为实数,* 中心问题：将试验结果数量化,* 定义：随试验结果而变的量X为随机变量,* 常见的两类随机变量,44,2 离

17、散型随机变量及其分布,定义：取值可数的随机变量为离散量 离散量的概率分布(分布律),# 概率分布,45,例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。,解： 设Ai=第i个灯为红灯，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。,46,例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0p1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品， 试写出X的概率分布律。,解：设Ai=第i次抽到正品，i=1,2, 则A1,A2,相互独立。,亦称X为

18、服从参数p的几何分布。,47,三个主要的离散型随机变量 01(p) 分布 二项分布,样本空间中只有两个样本点,即每次试验结果 互不影响,在相同条件下 重复进行,(p+q=1),* n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果： p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复 的独立试验为n重贝努利试验。,48,例： 1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面，,如果是不放回抽样呢？,2.将一颗骰子抛n次，设A=得到1点，则每次试验 只有两个结果：,3.从52张牌中有放回地取n次，设A=取到红牌，则 每次只有两个结果：,49,设A在n重贝努利试验中发生X次，则

19、并称X服从参数为p的二项分布，记,推导：设Ai= 第i次A发生 ，先设n=3,50,例： 设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。 考虑两种配备维修工人的方法， 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。,51,52,例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次红灯的概率。,解：这是三重贝努利试

20、验,53,例：某人独立射击n次，设每次命中率为p， 0p1，设命中X次，(1) 求X的概率分布 律；(2) 求至少有一次命中的概率。,解：这是n重贝努利试验,同时可知：,上式的意义为：若p较小，p0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。,54,例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验， 从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大 于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件 中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p 求这批产品能被接受的概率L(p),L(P)=P(A),解： 设X为第一次抽得的次品数，Y为第

21、2次抽得的次品数； 则Xb(10,p)，Yb(5,p)， 且X=i与Y=j独立。A=接受该批。,55,泊松分布(Poisson分布) 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为的泊松分布，记,例：设某汽车停靠站候车人数 (1)求至少有两人候车的概率； (2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。 解：,56,57,3 随机变量的分布函数,58,例： 解：,59,4 连续型随机变量及其概率密度,定义： 对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有：,其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度。,则称X为连续型随机变量，,60,与物理学中的质量线密度的定义相类似,61,例：设

22、X的概率密度为 (1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； (3) 要使 求k的值。 解：,62,几个重要的连续量 均匀分布 定义：X具有概率密度 称X在区间(a,b)上服从均匀分布， 记为XU(a,b),63,例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率 密度。并求 的值； 若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有 两个数大于0的概率。,解：X在区间(-1,2)上均匀分布,设10个数中有Y个数大于0，,则：,64,指数分布 定义：设X的概率密度为 其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。记为,X具有如下的无记忆性：,65,66,正态分布,定义：设X的概率密度为 其中

23、为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)， 记为 可以验算：,67,称为位置参数(决定对称轴位置) 为尺度参数(决定曲线分散性),68,X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散， 是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。,69,70,例：,71,例：一批钢材(线材)长度 (1)若=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm 的概率；(2)若=100，要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97,103)内，问至多取何值？,72,例：设某地区男子身高 (1) 从该地

24、区随机找一男子测身高，求他的身高大于 175cm的概率；(2) 若从中随机找5个男子测身高,问至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率为多少？,73,5 随机变量的函数分布 问题：已知随机变量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。,例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的 测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？,例：已知X具有概率分布 且设Y=X2，求Y的概率分布。,解：Y的所有可能取值为0,1,即找出(Y=0)的等价事件(X=0)； (Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1),74,例：设随机变量X具有概率密度 求Y=X

25、2的概率密度。,解：分别记X,Y的分布函数为,Y在区间(0,16)上均匀分布。,75,一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：,关键是找出等价事件。,76,例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。,解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1 (Y=-2)的等价事件为(X=-1) (Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1),故得：,77,例：,78,79,80,例：,解：,例：,解：,81,82,复习思考题 2,1.什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？ 2.满足什么条件的试验称为“n重贝努里试验”？ 3.事件A在一次试验中发生的概率为p,0p1。若在n次独立重复的试验中，A发生的总次数为X,则X服从什么分布？并请导出： 4.什么条件下使用泊松近似公式等式较为合适？ 5.什么样的随机变量称为连续型的？ 6.若事件A为不可能事件，则P(A)=0,反之成立吗？又若A为必然事件， 则P(A)=1，反之成立吗？ 7.若连续型随机变量X在某一区间上的概率密度为0，则X落在该区间 的概率为0，对吗？ 8.若随机变量X在区间(a,b)上均匀分布，则X落入(a,b)的任意一子区间 (a1,b1)上的概率为(b1-a1)/(b-a),对吗？ 9.若XN(,2)，则X的概率密度函数f(x)在x=处值最大，因此X落在附近的概率最大，对吗？,