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1、二. 求 体 积,1. 旋转体,定义,一个平面图形绕这平面内的一条定直线旋转一周,而得的立体称为旋转体。,这条定直线叫做它的旋转轴。,圆柱，圆锥，圆台，球体都是旋转体。,1.,其体积是分布在区间,上的,将,任分为若干个小区间,任取一个,分布在其上的体积,即：,小曲边梯形绕,轴旋转一周而得的立体的体积,即,2.,其体积是分布在区间,上的，,将,任分为若干个小区间，,任取一个,即,例8,求由,及,轴所围成的图形,分别绕,轴，,轴旋转而得的旋转体的体积。,解,绕,轴，,绕,轴，,例9,求由,与,所围成的图形,分别绕,轴，,轴旋转而得的旋转体的体积。,解,交点：,绕,轴，,绕,轴，,例10,求由摆线,
2、的一拱与,轴所围成的图形,分别绕,轴，,轴,旋转而得的旋转体的体积。,解,设参数方程,确定了函数,绕,轴，,绕,轴，,的方程:,的方程:,2. 横截面积函数为已知的立体,设一个立体在,处的横截面积为,其体积是分布在区间,上的，,将,任分为若干个小区间，,任取一个小区间,分布在其上的体积,即:,立体的体积,例11,一平面过半径为,的圆柱体的底圆中心，并与,底面成,角，,求这平面截下的圆柱体的体积。,解,横截面面积,所求立体的体积,三. 求平面曲线的弧长,1.平面曲线的弧长的概念,在,上任意加入,个分点:,令,若,存在,则称曲线弧,是可求长的.,定理,光滑曲线是可求长的.,(不证),2. 弧长的计
3、算,(1),直角坐标,设,的方程为:,且,在,上具有连续的导数.,弧长是分布在区间,上的,将,任分为若干个小区间,任取一个,即,弧长,注意:,(2) 参数方程,设,的方程为:,且,在,上具有连续的导数.,弧长是分布在区间,上的,将,任分为,若干个小区间,任取一个,此时,分布在,上的弧长,即,弧长,注意:,(3) 极坐标,设,的方程为:,且,在,上具有连续的导数.,化为直角坐标,得,的方程为:,这是,的参数方程.,即,弧长,注意:,例12,求曲线弧,的弧长.,解,所求弧长,例13,求摆线,的一拱的长度.,解,所求弧长,例14,求阿基米德螺线,的一段的长度.,上相应于,解,所求弧长,四*. 求旋转曲面的侧面积,由曲线弧,：,绕,轴旋转一周,而得的旋转面的侧面积。,|,|,|,|,侧面积,即,旋转面的侧面积,注意：,例15,设有一个抛物面是由抛物线,绕,轴旋转一周而成，,求该抛物面的面积。,解,抛物面的面积,作 业,P285,12, 13,15(1),(3),(4),18,21,23,25,30,