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1、2-1 逻辑代数基础,2-2 逻辑函数的标准形式,2-3 逻辑函数的化简,小结,第二章 逻辑代数基础,逻辑变量及基本逻辑运算,逻辑函数及其表示方法,逻辑代数的运算公式和规则,2-1 逻辑代数基础,一、逻辑变量,取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态。,二、基本逻辑运算,与运算,或运算,非运算,逻辑变量及基本逻辑运算,与逻辑真值表,与逻辑关系表,开关A,开关B,灯F,断 断 断 合 合 断,合 合,灭 灭 灭,亮,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,0,0,1,0,VHDL：YAND = A AND B,与运算,全“1”得“1”,有“0
2、”得“0”,或逻辑真值表, 1,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,1,0,F= A + B+ .+ N,VHDL：YOR = A OR B,或运算,全“0”得“0” ,有“1”得“1”,非逻辑真值表,A,F,0,1,1,0,VHDL：YNOT = NOT A,非运算,三种基本的逻辑运算,0 0=0 1=1 0=0,1 1=1,0+0=0,0+1=1+0=1+1=1,1=0 0=1,三、复合逻辑运算,与非逻辑运算,或非逻辑运算,与或非逻辑运算,VHDL：YNAND = A NAND B,YNOR = A NOR B,YNANDOR = NOT (A AND B) OR (C A
3、ND D),全“1”得“” 有“0”得“”,全“”得“”有“”得“”,AB全“1”或CD全“1”得“0”，其余得“1”,A,B,F,1 0,1 1,0 1,0 0,1,1,0,0,VHDL：YXOR = A XOR B,(1) A0=A,(3) AA=0,(5) AB =C;,A C = B;,B C = A,异或运算,公式：,(2),(4),A、B异得“” ，A、B同得“”,VHDL：YXNOR = A XNOR B, A 1 = A, A A = 1, A0 = A, A A = 0, A B = C;,AB= (AB), 互为反函数, 互为对偶式,A C = B;,B C = A,AB与
4、AB互为对偶,同或运算,公式：,同或与异或运算的关系：,A、B同得“1”，A、B异得“0”,VHDL语言基本逻辑功能描述,操作符 功 能,AND 与,OR 或,NOT 非,NAND 与非,NOR 或非,XOR 异或,XNOR 同或（异或非）,0V,3V,工作原理, A、B中有一个或一个以上为低电平0V，, 只有A、B全为高电平3V，,二极管与门电路,0V,3V,3V,A,B,F,3V,四、正逻辑与负逻辑,则输出F就为低电平0V。,则输出F才为高电平3V。,3V,A,B,F,VL VL,VL,VL,VH,VL,VL VH,VH VL,VH VH,电平关系,正逻辑,负逻辑,正与 = 负或,正或 =
5、 负与,正与非 = 负或非,正或非 = 负与非,四、正逻辑与负逻辑,（与门）,（或门）,正异或 = 负同或,正同或 = 负异或,一、逻辑函数,用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量A、B、C、.连接起来，所得的表达式F = f（A、B、C、.）称为逻辑函数。,二、逻辑函数的表示方法,真值表,逻辑函数式,逻辑图,波形图,取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态。,逻辑函数及其表示方法,F,断“0”,合“1”,亮“1”,灭“0”,0,0,0,0,1,1,0, 挑出函数值为1的项,1, 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项,
6、 这些乘积项作逻辑加,F= ABC+ABC+ABC,F= ABC+ABC+ABC, 公理、定律与常用公式,公理,交换律,结合律,分配律,0 0 = 0,0 1 = 1 0 = 0,1 1 = 1,0+ 0 = 0,0+ 1 = 1 + 0 = 1,1+ 1 = 1,A B = B A,A+ B = B + A,(A B) C = A (B C),(A+ B) + C = A + (B+ C),A (B+ C) = A B + A C,A+ B C = (A+ B) (A+ C),逻辑代数的运算公式和规则,1=0 0=1,(A+B)(A+ C)(B+C) = (A+B)(A+C),A + AB
7、= A+B A(A+B) = AB,A + A B = A A (A+B) = A,AB + AB= A (A + B)(A + B) = A,(A B)= A+ B (A+ B)= AB,A A = A A + A = A,A 1 = A A + 0 = A,A A= 0 A + A= 1,A 0 = 0 A + 1 = 1,(A)= A,AB + AC + BC = AB + AC, 定律与常用公式,0-1律,重叠律,互补律,还原律,反演律,自等律,吸收律,消因律,包含律,合并律,r47,逻辑代数的运算公式和规则,A B,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,证明
8、方法,(A B)= A+B (A+ B)=AB,(A B),A+B,AB,(A+B),可见，等式两边对应的真值表相同，故等式成立。,等式右边,公式可推广：, 三个基本运算规则,任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。,得,由此反演律能推广到n个变量：,利用反演律,逻辑代数的运算公式和规则,(A B)= A+B,那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式，记为F。,对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：, 若把式中的运算符“”换成“+”，“+” 换成“”；, 常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；, 原变量换成反变量，反变量换成原变量,
9、注：, 保持原函数的运算次序：先括号，然后与，最后或，必要时 适当地加入括号。, 不属于单个变量上的反号有两种处理方法：, 反号保留，而反号下面的函数式按反演规则变换。, 将反号去掉，而反号下的函数式保留不变。,F(A，B，C),其反函数为,或,对于任意一个逻辑函数，做如下处理：, 若把式中的运算符“”换成“+”，“+”换成“”；,常量“0”换成“1”，“1”换成“0”,得到新函数式为原函数式F的对偶式FD，也称对偶函数, 对偶规则：,如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即：若F1 = F2，则F1D= F2D。这使公式的数目增加一倍。, 求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常
10、量，其变量是不变的。,注：, 函数式中有“”和“”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成“”， “”换成“”。,其对偶式,证明：FD = G,函数表达式的常用形式,逻辑函数的标准形式,2-2 逻辑函数的标准形式, 五种常用表达式,F(A，B，C),“与-或”式,“或-与”式,“与非-与非”式,“或非-或非”式,“与或非”式, 表达式形式转换,利用还原律,利用反演律,函数表达式的常用形式,逻辑函数的标准形式,n个变量有2n个最小项，记作mi,3个变量有23（8）个最小项,m0,m1,000,001,0,1,在逻辑函数中，有n个变量为A1An，m是这n个变量的与项，若与项m是包括全部n个
11、变量的乘积项（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。,一、 最小项和最大项,最小项,二进制数,十进制数,编号,0 0 1,A B C,0 0 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,1,三变量的最小项：,最小项的性质：, 同一组变量取值任意两个不同最小项的乘积为0，即：mi mj = 0 (ij), 全部最小项之和为1，即：,在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一个最小项的值为1，其它最小项的值均为0。,两个最小项只有一个因子不同，两个最小项之和可合并成一项并消去一对不同的因子。,n个变量有2n个最大项，记作i。,在逻辑函数中，有n个变量为A1
12、An，M是这n个变量的或项，若或项M包括全部n个变量（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）。,三变量的最大项,M0,M1,000,001,0,1, 同一组变量取值任意两个不同最大项的和为1，即Mi + Mj = 1 (ij), 全部最大项之积为0，即, 在输入变量的任意取值下，必有一个且只有一个最大项的值为0，其它最大项的值均为1, 最小项与最大项的关系,(1) 相同编号的最小项和最大项存在互补关系,即:,mi =,Mi ,Mi =,mi,如：, 两个最大项只有一个因子不同，两个最大项之积可合并成一项并消去一对不同的因子,三变量的最小项：, 最小项与最大项的关系,m1,m3,m
13、5,m7,=,=,(2) 若干个最小项之和表示的表达式 F，其反函数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。,即：,可推出：,逻辑函数的标准形式,解：F(A，B，C),解:, 从真值表找出F为1的输入变量对应最小项, 然后将这些项逻辑加,F(A，B，C),逻辑函数的标准形式,解:,同一函数的两种不同表示形式，二者是互补关系， 即最小项表达式中未出现的最小项的下标i必出现在 最大项表达式中，反之亦然。利用这一特性可以方便 的根据一种标准表达式写出另一种标准表达式。,逻辑函数的标准形式, 最小项与最大项的关系,m1,m3,m5,m7,=,=,(2) 若干个最小项之和表示的表达式 F，其反函
14、数F可用等同个与这些最小项相对应的最大项之积表示。,即：,可推出：,代数法化简函数,图解法化简函数,2-3 逻辑函数的化简,例：与或表达式最简的标准, 每个与项中的变量数最少,逻辑函数表达式不同，最简标准也不同。, 与项最少,例：或与表达式最简的标准, 或项最少, 每个或项中的变量数最少, 逻辑电路所用门的数量少, 每个门的输入端个数少, 逻辑电路构成级数少, 逻辑电路保证能可靠地工作, 与项最少, 每个与项所含变量数最少, 与或表达式的化简,与门的输入端个数少, 消项： 利用A + AB = A消去多余的项AB,代数法化简函数,最简式的标准,解：, 或与表达式的化简,例：试化简函数,解：,图
15、形法化简函数, 卡诺图（K图）,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,A,BC,0,1,00,01,11,10,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,AB,CD,AB, 卡诺图（K图）,110,111,101,100,m6,m7,m4,m5,m14,m15,m12,m13,m30,m31,m28,m29,m22,m23,m20,m21,000,001,
16、011,010,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m8,m9,m10,m11,m24,m25,m26,m27,m16,m17,m18,m19,AB,CDE,图形法化简函数, k图为方形图。n个变量的函数k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；, k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。,方格有三种几何相邻：相邻、相对和相重,图形法化简函数, 几何相邻的2i（i = 1、2、3n）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用含（n - i）个变量的积项标注该圈。,图形法化简函数, 与或表达式的化简, 先将函数填入相应的卡诺图中，存在
17、的最小项对应的方格填1，其它填0（或不填）。, 合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起来，要求孤立的单格单独画圈；圈的数量少、范围大，圈可重复包围，但每个圈内必须有新的最小项（新的“1”） ；含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项。, 每个圈写出一个乘积项，按取同去异原则。, 最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式,图形法化简函数, 根据函数填写卡诺图,1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填1，其余格均填0（或不填）；,2、若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些变量取值所对应的方格填1，其余格均填0 （或不填）；,例子,3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法
18、填写。,例子,图形法化简函数,例1：直接给出函数的真值表求函数的最简与或式。,见例子,例2：直接给出函数的复杂的运算式。,见例子,任意项：变量取值组合下，函数值是0还是1都不影响电路的逻辑功能，该变量取值组合对应的最小项。,约束项：变量取值组合不可能出现，该组合对应的最小项。,约束项和任意项统称无关项。,例：用8421码对十进制数0-9编码。,用A,B,C,D四变量表示代码，取值只会出现0000-1001十种 不会出现1010-1111这六种情况， 1010-1111这六种变量取 值组合对应的最小项就是约束项。,图形法化简函数, 含有无关项的函数的化简, 填函数的卡诺图时只需在无关项对应的格内
19、填任意符号“”、“d”或“”。,处理方法：, 化简时可根据需要视为“1”也可视为“0”，使函数化到最简。,例子,图形法化简函数, 几种常用的数制：二进制、八进制、十六进制和十进制以及相互间的转换, 码制部分：自然二进制码、格雷码和常用的BCD码,任意一个R进制数按权展开：, 带符号数在计算机中的三种基本表示方法：原码、反码和补码。, 逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、卡诺图和时序图, 分析和设计逻辑电路的重要数学工具：逻辑代数,真的要退出本章节吗？,是Y,否N,解：,AB,AC,F(A,B,C,D),图形法化简函数,例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图,1,1,1,图形法化简函数,例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，将函数化为最简与或式。,1,1,1,AB,ABC,F=,+,得：,AB,ABC,图形法化简函数,解：, 填函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1, 化简,不考虑约束条件时：,考虑约束条件时：,解：,AC,AD,BC,化简得：,最简与非与非式为：,图形法化简函数,