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1、,北师大版普通高中课程标准实验教科书(选修1-1),椭圆及其标准方程,丰城三中 陈健,创设情境,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？,生活中的椭圆,引入新课,椭圆概念的引出,什么是圆？,平面内到某一定点的距离等于定长的点的集合,当一定点变成二定点，即到两定点距离和等于定长的点的集合是什么图形呢？,椭圆,定义：平面内与两定点F1、F2距离之和等于常数(大于F1F2)的点的集合叫作椭圆。 这两个定点叫作椭圆的焦点。 两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距 。,1.当绳长大于两点间距离时,为椭圆,2.当绳长等于两点间距离时,为线段,3.当绳长小于两点间距离时,无轨迹,椭圆标准方程的推导
2、方法,(2)、利用坐标法求曲线方程的一般方法与步骤是什么？,建系：建立适当的平面直角坐标系. 设点： 设曲线上任意一点M( x,y ). 找关系：写出满足条件 P(M)的集合. 写方程：用坐标表示条件P(M)，列出方程 . 化简：化方程为最简形式. 验证：证明化简后的方程为所求方程(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明).,(1)、圆的标准方程是用什么方法求的？,坐标法,建系：取通过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. 设点：M(x,y) 、F1(-c,0)、F2(c,0). 找关系：由椭圆的定义得，限制条件： MF1+ MF2=2a 代入坐
3、标得,椭圆标准方程的推导过程,x,y,o,F1,F2,M(x,y),写方程：用坐标表示条件P(M)，列出方程： 如何将所列方程化为最简形式 思路1：直接平方 思路2：移项再平方 我们选择思路2 整理得 两边再平方，得 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 整理得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 设 a2-c2=b2(b0) 得b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以a2b2得 (椭圆标准方程1) 还有其他化简方法吗,x,y,o,F1,F2,M(x,y),a,c,b,x,y,o,F1,F2,验证：这说明椭圆上点的坐标满足以上方程.我们还可以证明
4、，这个方程的每一组解对应的点都在椭圆上.(具体步骤略) 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程？ 类比焦点在x轴上的椭圆标准方程推导过程.如左图所示：椭圆焦点F1、F2在y轴上,点F1(0, -c)、F2(0, c), a、b的意义同上. 所得椭圆标准方程为： (椭圆标准方程2),M(x,y),x,y,o,F1,F2,x,y,o,F1,F2,平面内与两定点F1、F2距离之和等于常数(大于 F1F2)的点的集合叫作椭圆。,焦点在x轴上,焦点在y轴上,F1(-c,0)、F2(c,0),F1(0,-c)、F2(0,c),a2=b2+c2,例题1：已知B，C是两个定点， BC=8，且ABC的周长等于18
5、.求顶点A满足的一个方程.,由已知AB+AC+BC=18,BC=8，得 AB+AC=10 由定义可知点A的轨迹是一个椭圆，且 2c=8, 2a=10, 即c=4,a=5. 所以b2=a2-c2=9. 如右图所示，建立平面直角坐标系， 使x轴经过B，C两点，原点O为BC的中点. 当点A在直线BC上，即y=0时， A，B，C三点不能构成三角形. 因此，点A满足的一个方程是,x,y,o,B,C,A,解：,例题讲解,例题2：求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-3,0)、(3,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和为10.,因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为, 2a=1
6、0, 2c=6, a=5, c=3, b2=a2-c2=52-32=16,所求椭圆的标准方程为,解：,x,y,o,F1,F2,(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0, 2),并且椭圆经过点(- ，).,因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为,解：,由椭圆的定义知：,所求椭圆的标准方程为,x,y,o,(0,2),(0,-2),小结,一个定义 椭圆定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于 常数2a (大于 F1F2,)的点的轨迹，叫做椭圆. 两个方程 椭圆标准方程： (1). 椭圆焦点在x轴上 (2). 椭圆焦点在y轴上 两种方法 待定系数法、数形结合思想方法,作业,一、必做题： P27练习2、3 二、选做题： P28练习2、3,