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1、广义相对论课堂21 Schwarzschild时空轨道,2011.11.25,课程安排,复习内容： 讨论内容：惯性系斜交坐标测量意义 新内容：Schwarzschild时空应用 下次课：经典检验 测验 发草稿纸助教 课后发调查表,测验目的,了解大家的学习困难、不足、效果 确保掌握重点和难点,改进,动钟变慢误导吗？,动=速度不为零=钟尺测量速度=相对于坐标钟 加速钟d2=-2dt2 双生子佯谬=为什么反过来不可以？ 钟尺网格 Marzke-Wheeler坐标 实验不需理论引入钟尺网格,试图在球面上构造全局性 惯性系skew坐标,测地线 非测地线，除赤道圈 换成 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二
2、极点O 相对于北极点O OO大圆上坐标失效，无能区分不同点非全局！ 对比极点（，）坐标简并 、类似匀加速系直线+曲线网格,三种理论4种钟尺网格,无非是将平直时空（事件集合） 用网格划分 网格点标记,数学的威力Einstein求助 重要的是数学表达了什么物理,第一个活动 惯性斜交坐标系,写在纸上,不要太潦草上交我查看 多留空白、隔行写方便批改 尽量文字说明你的推理要点、步骤,测量钟与尺相对运动 平直时空坐标网格,三位一体 惯性系skew坐标 钟的世界线 尺子原点刻度的世界线 和钟的世界线重合吗？ 类时、切矢量 类空=尺子延展方向、分量表达 与坐标网格的关系 线元和度规,i方向的基准尺子相对基准钟
3、运动 不是j方向 另选尺子相对不动的总能做到吗？ Cook没讲到：钟尺相对运动,线元存在时空交叉项 基准钟尺相对运动？,转盘系 Schwarzschild时空Eddington-Finkelstein坐标 Kerr时空Boyer-Lindquist坐标 未解之谜：Kerr环奇点 转动宇宙Godel度规,应用,进一步可探讨,对比习题7.21 Cook雷达回波、t,x坐标下,第二个活动 匀加速正交坐标系,匀加速正交坐标系 完美类比 平面几何及坐标系,第四点：测地线方程（组）,径向方程,测试粒子和光线的测地运动 三个初积分运动常数守恒量,单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! 单位
4、质量粒子角动量L(因为L=rv) 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 2。教材9.22，L=0，初始d/d=0，则以后沿测地线处处为d/d=0， =Const.在一个平面上 3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论=/2 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用e,L表达,第五点：有效势,机械能=径向动能+有效势能（势能+角向动能=离心势能）牛顿情况,有效势与径向方程,量纲,t, *c,M*G/c
5、*c,L/c引入M为单位的r,L;粒子 写成牛顿力学机械能守恒的形式9.32,系列方程对非测地线运动也成立，即-1=u*u，只是e,L不再是守恒量，无法利用势能曲线简单分析 第二项为横向动能=离心势能,由离心力导出，方向与引力相反,d-dt 第四项为相对论修正项，吸引，相对论引力比牛顿强，本质因为光速极限（由EP=-1=u*u) 利用（有效）势能曲线分析运动轨道及其稳定性，平方项总是大于等于0 图形，牛顿（二三项）和相对论的有效势，分别主导小、中、大R曲线形状，R-0,R- 特殊点，微分画出曲线,给定M，首先按照角动量分类,牛顿L=0径向可到达r=0,实际情况星体表面阻挡外力，不再有机械能守恒
6、分析；径向远离，E0可逃逸到无穷远（势能为0)，E0)或抛物线(E=0) 2。E0椭圆束缚轨道 3。特别地，势能曲线最低点E=V_min=-1/2L2(与熟知结果一致)圆周，且稳定,微分应用：分析曲线形状,1.R-0,V-L2/R3-;R-,V-1/R-0;中间V-L2/2R2 2.0=V,R01,02=;L4；随L分别为减函24 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是V最小最大RminRmax;L3.46;Vmax给出给定e粒子的俘获截面 4. d2V/dR20逃逸，其余投入或回落 2.L=3.46,同上拐点R=L2/2处=V不稳定圆周轨道 3.3.464,+散
7、射轨道0Vmax,第六点：有效势曲线分析原理,势能曲线的分析原理,d/d径向方程后，得到dr/d=0或d2r/d2=-V=有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由d2r/d2连续性仍然有d2r/d2=-V=有效力；问题：在=V， dr/d=0是否可以保持圆周运动？答：不会 1。仍然有效力不为0,V0;牛顿情况，某个高度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线方程d2r/d2-r_tt(ut)2-r_(u)2-r_rr(ur)2,势能曲线的分析原理：续,2.Cauchy定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从变分原理看L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而
8、来），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始三个速度确定，则定解。即L, 决定了一条且仅仅一条测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在V最高点则只有从RR_max过来的圆周运动部分） 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡（无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力重力有效力，即所谓势能曲线分析,反省3问题,1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用的是什么？ 如果不是，请问哪些你没学到？ 如果不确定，请解释原因。 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ 3、不清楚的原因是 讲课不够清楚？ 缺少提问的机会？ 你事先没有准备？ 缺乏课堂讨论？ 其他？,回补+进一步,牛顿力学练习题
9、链条滑落光滑球面时速度 常引力场中光滑锥面上运动最低点 Zeldovich相对论天体物理库仑力场,第六点：轨道类型,六个量,四个变量,t,r,两两组合数6种，5个速度（三个固有速度两个坐标速度）1个形状量（写成杨辉三角4层4321） 仅取决于三个方程：e,L,径向方程,径向运动,dd0，Const. ，无角动量L=0,V=-1/R仅牛顿势，d=dr/2(+1/r)，1/2 径向自由下落，取负号，=0, e=1,无穷远e=dt/d=1静止，解得 教材用r=0定标，到黑洞讲；从某个r到2M，粒子固有时有限；从无穷远当然无限 坐标时间，从某个r到2M无限，r-2M，9.40最后一项-+，这是史瓦西坐
10、标在近2M出错的一个迹象 例子9.1，径向逃逸（到无穷远0渐近静止,e=1）速度，在施瓦希坐标半径R处静止观者（只有ut不为零）测量V,E=mV(LIF中消除引力影响，观者自身标架为LIF中随动标架），g_tt*ut=e=1,圆周轨道,不稳定圆周轨道3M6M随L增大而增，L=3.46最小，三个施瓦西半径 定义坐标角速度，实测设计：遥远一圈静止钟(同步化），接受圆周运动粒子径向光脉冲，因为圆对称，不同光线受的引力时间膨胀一样，测出t；圆弧长/圆周长 V=0+=V=9.45，也适用于非稳定圆周轨道 得到与Kepler第三定律（圆周轨道）相同形式，不是固有时角速度，在无穷远回到Kepler,束缚轨道
11、的形状,方程，椭圆函数，u=1/R后，补齐量纲，常数项为牛顿能量高阶小量 从内转折点r_1（近星点）到外转折点r_2 （远星点） ，再回到内转折点1圈turn 一般1圈后2不闭合，顺着轨道转动方向进动（相对论修正项为正），每圈进动角相同（因为球对称）2，不闭合的主轴进动椭圆；但对一组E(L)，m圈后=n(2)闭合，mn，习题13,近日点进动,图9.5不同L（勘误）和E，参数取值边界为稳定和不稳定圆周轨道之间，大角动量离星体远、相对论效应小太阳系行星近日点进动 类似Binet方程, 微扰方法求解，Dinverno 15.3节 习题15方法，反比于L2 （L越小，越接近引力体越大）,用天文测量数据表达，半主轴a越小、偏心率，小行星Icarus、水星依次为最. Einstein: 不但牛顿理论从GR中作为一级近似导出，水星进动作为二级近似,