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1、二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,10.5 二阶常系数线性微分方程,10.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1. 当,时, 有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,( r 为待定常数 ),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,2. 当,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原方程的通解为,3. 当,时, 特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解
2、的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,例. 求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,通解结构,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,10.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法,设非齐次方程特解为,代入原方程,整理得,类型1. 型
3、,综上讨论,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程的通解为,例5,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程的通解为,例6,例1.,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,例2.,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例3. 求解定解问题,解: 本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,解得
4、,特别地,方法1：,方法2： 见书P382,解,对应齐次方程通解,代入原方程求得,原方程通解为,例7,解,对应齐次方程通解,代入原方程求得,例8,原方程通解为,例6,解,对应齐次方程的通解为,设所给方程的特解为,代入所给方程, 有,于是 得,所给方程的通解是,例7,解,对应齐次方程的特征方程为,解得,于是对应齐次方程的通解为,设所给方程的特解为,于是, 得,所给方程的通解是,代入所给方程, 有,例4.,的一个特解 .,解: 本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,
5、得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,小结：,1.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,( 待定系数法求特解 ),思考题,1.求微分方程 的通解.,2.写出微分方程,的待定特解的形式.,3.写出微分方程,的待定特解的形式.,思考题解答,令,则,特征根,通解,思考题解答,2.设 的特解为,设 的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,思考题解答,则所求特解为,特征根,设 的特解为,3.原方程可化为,设 的特解为,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1 . (填空) 设,