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1、单自由度计算例题,重 点：刚度系数、柔度系数 频率 难 点：刚度系数、柔度系数,例题1,图示体系，不计梁重，弹簧的刚度KN = ，梁的抗弯刚度为EI，求自振频率。,解：质点的位移由惯性力产生,运动方程：,式中， 为单位力作用于质点时产生的位移,1. 弹簧受力为1 ， 弹簧的伸长,2. 简支梁中点 受力也为1 ，中点挠度为,3. 质点的位移：,代入运动方程，得：,一般地,引 例,刚度法,柔度法,例题2,图示结构，梁的刚度为EI，弹簧的刚度KN = ，不计梁的自重，求自振频率,解：在质点处作用单位力 ，用力法求由此产生的位移,运动方程：,代入运动方程，得：,例题3,图示结构，AB和DE杆的刚度均为
2、EI，而BD杆的刚度为无限刚性。B和D处各有集中质量m ，试求结构的自振频率。,解：1）动力自由度为1,以刚性杆BD的转角 为变量建立振动方程,质点位移,2）求转角 时需在C处施加的力矩(转动刚度) K,*AB杆的杆端弯矩和杆端剪力,*DE 杆的杆端弯矩和杆端剪力,3）取BD为研究对象，如图,MC=0,4）振动方程：,取C结点的平衡，MC=0,例题4,如图，不计杆的自重，求自振频率。 EI=常数,解：质点的水平振动, 动力自由度为1 方程一般形式：,求质点的侧移刚度 K，可以采用位移法-方法1,在B结点作用K, 使结点侧移为1 时的位移法方程,令 解出K,运动方程：,写出运动方程,看成支座移动
3、时内力计算,求质点的侧移刚度 K，可以采用位移法-方法2,例题5,已知，K1= ，K2= ，EI=常数。求自振频率,解：在质点上作用单位力，求出位移，利用公式,方法1,1）是超静定结构，本题用力法求位移较简单,图乘求位移,方法2,A点的侧移刚度怎么考虑？,K=K1+K2,例题6,图示简支梁跨中有质量m，梁端受动力矩Msint作用，不计梁的质量。求质点的动位移和支座A处的动转角。,解：动荷载不作用在质点上，需建立振动方程,建立方程的依据：,1. 质点的位移由动力矩Msint和惯性力 共同产生,2. A端的转角也由动力矩Msint和惯性力 共同产生,1）求出动力矩为1及惯性力为1时在质点及A端处产
4、生的位移及转角,2) 由叠加原理可得振动方程,3）求解方程,设方程的解为：,把上式代入第2个方程中，得,*,1）求B点的柔度,求柔度,2）求动力荷载为1时在质点出产生的位移,3）振动方程,设方程的解为：,例题8 求图示结构B点的最大竖向动位移BV ，并绘最大动力弯矩图。已知，EI=常数，不计阻尼,解：1）动力自由度1 ，D点的竖向位移,用柔度法建立振动方程,2）振动方程的形式,B和D点的竖向位移由惯性力和动力荷载共同产生,原理：,3）方程中各系数,3) 先解第二个方程,以 代入方程，得：,4）最大动力弯矩图,习题课,建立振动方程，求最大动位移,建立方程的依据： 质点位移由惯性力与动荷载 共同产
5、生,1、,质点的最大位移：,动力系数：,建立方程的依据： 质点位移由惯性力与动荷载共同产生,=7L3/12EI,2、,3、,KN=3EI/L3,=39L3/24EI,求自由振动频率，EA=6EI/L2,=L/EA+L3/3EI,K= 1/+24EI/L3,4、,5、,EA=6EI/L2,方法1,位移法方程,消去s(t) 即得振动方程。,方法2,求质点的最大动位移，结构最大动弯矩图,6、,与前例对应,求下列结构质点m的最大动位移，并画出最大动力弯矩图，刚度EI1=,练习题,K=6EI/L3,求下列结构质点m的最大动位移，并画出最大动力弯矩图。EI=常数,练习题,m,KNy,ymax=13PL3 /62EI,作业问题,3i/L,