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1、第8章 习题课 1、主要内容,全微分 的应用,高阶偏导数,隐函数 求导法则,复合函数 求导法则,全微分形式 的不变性,微分法在 几何上的应用,方向导数,多元函数的极值,全微分 概念,偏导数 概念,1、区域,（1）邻域,连通的开集称为区域或开区域,（2）区域,（3）聚点,（4）n维空间,2、多元函数概念,定义,类似地可定义三元及三元以上函数,3、多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,4、极限的运算,5、多元函数的连续性,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区
2、域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,6、多元连续函数的性质,7、偏导数概念,偏导函数简称为偏导数.,、高阶偏导数,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,纯偏导,混合偏导,、全微分概念,多元函数连续、可导、可微的关系,10、全微分的应用,近似计算:,11、复合函数求导法则,以上公式中的导数 称为全导数.,12、全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,隐函数的求导公式,13、隐函数的求导法则,14、微分法在几何上的应用,切线方程,法平面方
3、程,(1) 空间曲线的切线与法平面,() 曲面的切平面与法线,切平面方程,法线方程,法向量.,15、方向导数,记为,x,y,三元函数方向导数的定义,计算：,（grad是gradient（梯度）的缩写）,梯度的概念,梯度的概念,梯度与方向导数的关系,梯度的方向是函数增长最快的方向，即它的方 向与取得最大方向导数的方向一致，且,16、多元函数的极值,多元函数取得极值的条件,定义 一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.,极值点,注意,驻点,偏导数存在,条件极值：对自变量有附加条件的极值,例1,解,二、典型例题,特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.,解: 由题设,例2,解,例3,解,于是可得,例4,解,解,例5,例6,解,分析:,得,四、(2003三)设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 ，又 ,求,测 验 题,测验题答案,