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1、多變數函數的極限與連續,第三組 組長：曾柏凱 組員：林紘宇、邱勝強、林慶源、葉珉龍,目錄,多變數方程式 多變函 偏導的定義 偏導的幾何意義 極限與連續的定義 極限值定義 連續定義 參考資料,多變數方程式,何謂多變數？ 大量的科學、商業、科技的方程式不只一個變數，而是兩個以上。 舉例來說： 產品的需求方程式常常依賴於價格和廣告，而不是單單價格。 兩個以上變數的方程式的注意事項跟單變數方程式一樣。 舉例來說： 是雙變數方程式 為三變數方程式,範例一,Q：月付款 t 年，每個月固定利率為 r ，貸款金額為 P 元每個月 需付款M，當房子抵押金為 95000 元時，以 30 年每個月利率為 9%時月度
2、付款為多少? M = f (P, r, t) = A：令 P = 95000, r = 0.09, t = 30 所以月付,多變函,定義： A 表 R2 空間(二維空間)之部份集合，對 A 中的每一有序 對(x ,y)有唯一的實與之對應，則稱為點(x ,y) 在集合 內之函，記作 z = f (x ,y)稱之為二元函。集合 A 稱為 f 的 定義域。 f 的值域由所有的實 f (x ,y) 組成，此點(x ,y)在 A 中。 函 y= f (x)之定義域與值域在幾何上以實線上的點代表。 對於二元函，我們可以用在 xy平面上的點代表定義域 A 而 實線上的點代表值域 ，稱z軸，如圖1所示 。,範
3、例二,Q：試求z = f ( x , y ) = 之定義域。 A：因 ，故其定義域為 。 即以原點為圓心，以 1 為半徑，在xy平面上， 之圓心上與其內部之所有點的集合。 f之圖形如圖 2 所示。,偏導的定義,範例三,Q：若 ，是用偏導數之定義，求 與 之值。 A：,偏導的幾何意義,考慮一個由方程式 所決定的曲面。 就如下面的圖所顯示的，平面 與曲面相交於平面曲線 上，且這個值 就是這條曲線在點 的切線的斜率。 因此，通過 而位於平面 上之切線方程式為,範例四,Q：試求球面 與平面 =1相交之曲線於 P(1,2,2)之切線方程式。 A：,極限與連續的定義,DEFINITION ：多變數函數的極
4、限 的定義： ，此處的 是向量， | | 絕對值是向量空間的距離函數。 DEFINITION ：多變數函數的連續 稱 在 處連續。,極限值定義,一.極限值的基本定理 （）極限值的唯一性：若 存在，則其值必為唯一。 （）若 為多項式函數，則 。 （）若 存在且點 以及點 ，則 反之亦然 ， 二.如何判斷極限值是否存在，若點 及點 ，則 （）若 且 ，而且 ，則 不存在。 （）若 ，則 不存在。,範例五,Q：若函數 但 ，是 決定 ，求此函數的極限值。 A：,連續定義,一.連續的基本定理 （）倘若 f 與 g 在點 A 均為連續函數，則 與 與 以及 （ k 為常數且 ）在點 A 均為連續函數。
5、（）倘若 g 為單變函數且 為多變數函數使得 g 在點 A 連 續且 f 在 A 連續，則合成函數 亦在點 A 連續。 （）多變數多項式函數與多變數有理函數在它們的定義域內均為 連續函數。,範例六,Q： 若 且 ，求此函 數的連續性。 A：,參考資料,1.http:/www.mcu.edu.tw/department/management/stat/ch_web/etea/Calculus-2-net/(15).pdf 2.http:/calculus.nctu.edu.tw/upload/calculus_web/web/unit2_6.htm 3.http:/www.stat.nuk.edu.tw/cbme/math/calculus/cal2/c9_2/bud.htm 4.http:/