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1、多自由度体系强迫振动,重 点：最大动位移 最大动弯矩 振型叠加法 难 点：建立方程 方程系数的求法,强迫振动，振型叠加法,一、振动方程,1.柔度法,2. 刚度法,考虑第i质点的受力平衡,二、振动方程的解,当动荷载为简谐荷载时，稳态振动解，亦即动力位移反应。其形式为,三、振型叠加法,1. 主振型的正交性,刚度法表示的振型方程,考虑第 j 振型方程,在上式中左乘,-（1）,再考虑第 i 振型,在上式中左乘,-(2),求（2）式的转置,-（3）,由（1），（3）两式相减，得,由于 ，所以有,振型关于质量矩阵的正交性，又称为第一正交性,振型关于刚度矩阵的正交性，又称为第二正交性,-（1）,2. 振型叠
2、加法,n个质点的振动具有n个振型，这n个振型是线性无关的，在数学上构成n维空间的一组基底。故，n个质点的振动的位移反应可写作,称为广义坐标,-称为振型矩阵,又可写作,现考虑有阻尼的强迫振动，其振动方程为：,称为阻尼矩阵。其意义如下,i =1，2，.，n 。它是由各质点的速度引起的在 i 质点的阻尼力的叠加,方程是藕合的，为了解藕，令,式中，为两个常数，可由前两个振型获得,以 左乘上式，先考虑其第一项的系数,注意到正交性，上式为：,同理，方程左边第三项的系数变成,记,则，方程左边第二项的系数变成,记,计算举例,1求图示结构的最大动位移反应，并作最大动力弯矩图。已知，各杆长L， 不计阻尼。,Psi
3、nt,解： 1）两个动力自由度，时刻 t 质点的位置如图,2）用刚度法建立振动方程,在时刻 t ,2个质点都处于平衡,平衡方程：,恢复力FEK1及FEK2都是刚架提供的,求恢复力,2个质点分别有不同的位移，不容易确定各自恢复力的大小。为此，仍然采用叠加法。,求恢复力,当质点各有位移 ， 时，由叠加原理,式中,矩阵表达式,3）方程的解-最大动位移,此就是最大动位移,4)最大动力弯矩图,例题2. 求质点的最大动位移，并绘最大动力弯矩图。已知，动力荷载幅值为1KN，EI=9103 kNm2 ，不计阻尼。,解：1 ) 2个动力自由度，用柔度法,2）任意时刻 t 质点的位置如图,3）振动方程的形式,由2
4、 个方向的惯性力及动力荷载共同产生,建立方程的依据：,4）求方程中各系数,求出各系数,5） 解方程,代入振动方程,解得两质点的位移幅值（最大动位移）：,6）作最大动力弯矩图,最大惯性力,例题3,用振型叠加法求解图示质点处的最大位移，已知，1=2=0.10 ，动力荷载幅值为1KN ， ，EI=9103kNm2,解：1)求自振频率和振型,用位移法或直接求柔度矩阵的逆，不难得出刚度矩阵 K,2)求广义质量、广义刚度、广义荷载,-（1）,-（2）,3）求解（1）、（2）可用杜哈美积分,4）位移反应,整理后得,与不考虑阻尼影响比较，质点的竖向最大位移由于阻尼的作用减小了2.4%；水平位移减小了38.0%。,如何调整 m 及 KN 使得上质点不振动？,例题5,例题6,怎么建立方程？,运用之妙，存乎于心 正确的受力分析，是解决问题的前提,你能画出下列结构的变形图吗？,你能建立质点的振动方程吗？,