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1、,第一节 二重积分的概念和性质,一、 两个实例,二、二重积分的概念,三、二重积分的性质,一 两个实例,1 曲顶柱体的体积,（1）曲顶柱体的概念,底为xOy面上的有界闭区 域D，其侧面是以D的边界为 准线，而母线平行于z轴的柱 面，它的顶是曲面 ， 这里 且在D上连续。,其体积如何计算？,（2）体积的计算,分割 将区域D任意分割成n个小区域，它们的面积分别记作 ，,该曲顶柱体被分割成n个小曲顶柱体，体积分别记为Vi，（i=1，2，）。如图。, 近似 在 上任取一点,当 很小时，可以近似地用一个平顶柱体的体积代替相应小曲顶柱体的体积，如图。,从而有, 求和 将这n个小平顶柱体的体积加起来，就得到曲
2、顶柱体体积的近似值，即, 取极限 记d=n个小区间中直径的最大者，并令n0，必有,2 非均匀分布的平面薄片的质量,我们仍可用第一个问题的处理方法进行计算。, 分割 将区域D任意划分为n个小区域，,用 表示第 个小区域的面积，,这样，平面薄板被分割成n个小薄板。, 近似 当 很小时，可近似地将其看作质量均匀分布，因而可用质量均匀分布的值作其质量的近似值。,于是在 上任取一点 ，,可得质量 的近似值：, 求和 将所得的n个数值相加，就得到这个平面薄板质量的近似值：, 取极限 记d=n个小区域中的直径最大者，并令d0，取上述和的极限，即得此平面薄片的质量：,以上两问题的性质虽然不同，但我们发现处理这
3、两个问题时所用的方法是一样的。实际中还有很多问题的处理方法也与它们相同，抛开它们的实际意义，可以抽象出二重积分的概念。,二 二重积分的定义,1 定义,设函数 在有界闭区域D上连续，,. 将区域D任意划分为n个小区域：,其中 也同时表示第个小区域的面积。,. 在 上任取一点 作积,. 求和,. 求极限,其中d=n个小区域中的直径最大者,若上述极限存在，则称其为函数 在区域D上的二重积分，记作 即,函数 称为被积函数，,称为积分变量，,D称为积分区域，,称为面积元素或积分元素，,称为被积表达式。,在此定义下，我们有,（1） 曲顶柱体的体积和非均匀分布的薄板质量为,（2） 二重积分 只和被积函数 及积分区域D有关系，与积分区域如何划 分及点 的取法无关，也与积分变量 用何 字母表示无关。,（3）若被积函数 在区域D上连续， 则二重积分 必存在。,2 二重积分的几何意义,当函数 时，二重积分 表示 曲顶柱体的体积；,当函数 时，二重积分 表示 曲顶柱体的体积的相反数，即为负值；,当函数 在D上有正有负时，二重积分 表示xOy面上放的曲顶柱体体积之和减 去xOy面下方的曲顶柱体体积之和。,三 二重积分的性质,性质1,性质2,性质7（积分中值定理） 设函数 在有界 闭区域 D上连续，S为D的面积，则在D上至少存在 一点 ，使得,性质5 若在区域D上有 则有,