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1、1,1 定积分的概念与性质,一、定积分概念的引入,二、定积分的定义,三、定积分的几何意义,四、定积分的性质,五、小结,2,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、定积分概念的引入,3,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,4,观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,5,曲边梯形如图所示，,6,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,7,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得
2、路程的精确值,8,（1）分割,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,9,定义,二、定积分的定义,10,记为,积分上限,积分下限,积分和,11,注意：,12,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,三、定积分的几何意义,13,几何意义：,14,例1 利用定义计算定积分,解：,15,16,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,四、定积分的性质,17,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,18,证：,性质2,19,补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质3,20,证,性质4,性质5,21,解：,令,于是,22,性质5的推论：,证：,（1）,23,证：,说明： 可积性是显然的.,性质5的推论：,（2）,24,证：,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,25,解：,26,解：,27,28,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,29,使,即,积分中值公式的几何解释：,30,解：,由积分中值定理知有,使,31,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,五、小结,3定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,