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1、第一节 向量及其线性运算 一 问题的提出 四 空间直角坐标系 六 小结与思考判断题 二 向量的概念 三 向量的线性运算 五 利用坐标作向量的线性运算 Date1 一 问题的提出 在平面解析几何中，我们曾经用代数 的方法来解决集合问题，空间解析几何也是 按照类似的方法建立起来的。和解决平面问 题相仿，我们先是给出空间直角坐标系的定 义，接着给出空间中任意一点的坐标表示。 和平面上任意两点间的距离相仿我们给出空 间中任意两点间的距离公式。 Date2 向量是我们解决空间解析几何问题的一个 重要工具，同时向量的方法也是力学，物理 学以及其他应用学科的一个好的方法。在这 一节，我们在引入向量概念的基础
2、上，给出 向量的加减数乘的概念。同时要会应用向量 来解决空间几何中的问题。大家需要注意的 是，向量的方法是我们解决以后问题的一个 重要的方法。 Date3 向量：既有大小又有方向的量. 向量表示： 模长为1的向量. 零向量： 模长为0的向量（它的方向是任意的）. | | 向量的模：向量的大小（长度）. 单位向量： 二 向量(Vector)的概念 或 或 或 Date4 自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量. 负向量：大小相等但方向相反的向量. 向径： 空间直角坐标系中任一点 与原点 构成的向量. Date5 1 加法(Addition)： （平行四边形法则） 特
3、殊地：若 分为同向和反向 三 向量的线性运算（ Operations of Vectors) Date6 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： 2 减法(Subtraction) Date7 (Multiplication by Numbers)3 向量与数的乘法 Date8 数与向量的乘积符合下列运算律 （1）结合律： （2）分配律： （3）分配律 ： 向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算. Date9 按照向量与数的乘积的规定， 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量. Date10 我们用数乘向量来说明两个向量的平行关系 ： 证条
4、件的充分性显然； 下证必要性 Date11 两式相减，得 Date12 例1 化简 解 Date13 平行四边形的对角线 互相平分 解 Date14 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正 方向符合右手系. 四 空间直角坐标系 Date15 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Date16 空间的点有序数组 特殊点的表示:坐标轴上的点 坐标面上的点 Date17 轴X上点P 轴Y上点P 轴Z上点P Date18 空间的点M 向量的坐标式 Date19 空间两点间的距离 Date20 空间两点间距离公式 特殊地：若两点分别为 Date21 五 利用坐标作向量的线性运算 利用向
5、量的坐标，可得向量的加减法、向量与数的 乘法运算 Date22 解设为直线上的点， Date23 由题意知： Date24 六 向量 的模、方向角、投影 Date25 Date26 解 原结论成立. Date27 解设P点坐标为 所求点为 Date28 空间两向量的夹角的概念 ： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值. 2 向量的方向角与方向余弦 Date29 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. Date30 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式 Date31 方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余
6、弦为 Date32 解所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 或 Date33 解 Date34 Date35 空间一点在轴上的投影 Date36 3 向量在轴上的投影 Date37 空间一向量在轴上的投影 Date38 关于向量的投影定理（1） 证 Date39 关于向量的投影定理（2） （可推广到有限多个） Date40 证 于是 Date41 解 Date42 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 （平行四边形法则） （注意数乘向量的方向） 向量在轴上的投影与投影定理. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. 向量的模与方向余弦的坐标表示式. （注意分向量与向量的坐标的区别 ） 七 小结与思考判断题 Date43 思考判断题 Date44