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1、第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十一章 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点B, 求移 “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 变力沿直线AB所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分能解决变力沿直线所作的功 1) “大化小”. 2) “常代变” 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有
2、 所做的功为 F 沿 则 用有向线段 上任取一点在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) “近似和” 4) “取极限” (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, L 称为积分弧段 或 积分曲线 .称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 为空间曲线弧 , 记 称为对坐标x 的曲线积分 ;
3、称为对坐标y 的曲线积分. 若记, 对坐标的曲线积分也可写作 类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则 则 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 对封闭曲线，正向规定如下：沿曲线行走，区域总 在其左边。 二、对坐标的曲线积分的计算法 证明: 下面先证 定理:在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 则曲线积分 连续, 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应参数设分点 根据定义 由于
4、对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕 特别是, 如果 L 的方程为 则 对空间光滑曲线弧 :类似有 定理 目录 上页 下页 返回 结束 对应起点与终点 例1. 计算其中L 为沿抛物线 解法1 取 x 为参数, 则 解法2 取 y 为参数, 则 从点 的一段. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为 (2) 取 L 的方程为则 则 机动 目录 上页 下页
5、返回 结束 例2表明沿不同路径得 出的值并不相同，尽管两 个曲线积分的被积函数 相同，起点和终点也相 同。 例3. 计算其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解: (1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3表明，沿 不同路径的曲线 积分的值可以相 等，只与起点和 终点有关（在一 定条件下）， 例4. 设在力场 作用下, 质点由 沿移动到 解: (1) (2) 的参数方程为 试求力场对质点所作的功. 其中为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向.与规定的 正向相反。 解: 取 的参数方程
6、机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ss dsds dxdx dydy x x y y o o 在引例: 变力沿曲线所作的功的定义中，还可定义为： 变力沿直线AB 所作的功 w W= 已知L切向量的方向余弦为： 也可从计算的角度得到上述结论。 即两类曲线积分有如下联系： 设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为 同样，对弧长的曲线积分： 对坐标的曲线积分： 可见两个 曲线积分是 相等的 差别： 对坐标的曲线积分，与积分路径有关，其 上下限由起点和终点确定。 对弧长的曲线积分与积分路径无关，化为 定积分，上限大于下限。 联系：
7、对两类曲线积分： 类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是 令 记 A 在 t 上的投影为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二者夹角为 例6. 设 曲线段 L 的长度为s, 证明续, 证: 设 说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分. 在L上连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 7. 将积分化为对弧长的积 分, 解： 其中L 沿上半圆周 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义 2. 性质 (1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) L 表示 L 的反向弧 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向! 内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算 对有向
8、光滑弧 对有向光滑弧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （一：选定参数，二：用曲线方程代，三：计算定积分） 4. 两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 已知为折线 ABCOA(如图), 计算 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 作业 P141 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 5 ; 7 ; 8 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 解: 线移动到 向坐标原点, 其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比. 沿直 求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指 一质点在力场F 作用下由点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设曲线C为曲面与曲面 从 ox 轴正向看去为逆时针方向, (1) 写出曲线 C 的参数方程 ; (2) 计算曲线积分 解: (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 原式 = 令 利用“偶倍奇零” 机动 目录 上页 下页 返回 结束