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1、第一章 线性代数,第一章 线性代数,n元线性方程组与矩阵,1,n元线性方程组与矩阵,1,n元线性方程组与矩阵,1,矩阵的运算,2,n元线性方程组与矩阵,1,线性方程组的一般理论,3,第一章 线性代数,1. 了解矩阵及阶梯矩阵的概念,掌握矩阵的运算法则; 2. 掌握逆矩阵、矩阵秩的求法及矩阵的初等行变换； 3. 会用矩阵的初等行变换求出线性方程组的全部解。,1,学习目标,【经济问题1-1】 你知道A、B、C三家公司本年投资收益是多少吗？,假设A、B、C三家股份公司交叉持股如图1-1所示。即：A公司持有B公司24%的股份，B公司持有C公司35%的股份，C公司持有A公司的25%的股份；C公司持有B公
2、司22%的股份，B公司持有A公司的20%的股份。若已知2007年A、B、C三家公司独立的营业净利润（税后）分别为100万、85万、60万。试求各公司本年投资收益与本年净利润。（本年净利润=营业净利润+投资收益）,A 公司,B 公司,C 公司,55 %,24%,54%,22%,65%,20%,25%,35%,100万,85万,60万,第一章 线性代数,投资收益=被投资单位的年净利润投资企业的股权 【经济问题1-1】设 , , 为A,B,C公司本年投 资收益,则各公司的本年投资收益由下列方程求解得到：,称这个方程组为三元线性方程组,第一节 n元线性方程组与矩阵,一、n元线性方程组 设有m个方程，n
3、个未知元组成的线性方程组 称为n元线性方程组. 若 ，则称方程组为齐次线性方程组;,否则，称为非齐次线性方程组。,第一节 n元线性方程组与矩阵,二、矩阵 定义11 由 个数 （ ； ） ，排成的m行n列的矩形数表 称为 阶矩阵,记为,第一节 n元线性方程组与矩阵,将n元线性方程组 的系数按原来的顺序排列构成的矩阵 称为方程组的系数矩阵 称为线性方程组的增广矩阵。,第一节 n元线性方程组与矩阵,一般地，行数、列数都是n的矩阵，称为n阶方阵，简称方阵。如：,次对角线,主对角线,第一节 n元线性方程组与矩阵,几种特殊类型的矩阵： （1）零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作 或 ；如：,第一节
4、 n元线性方程组与矩阵,几种特殊类型的矩阵： （2）单位矩阵：主对角线上元素全为1，其余元素全为零的方阵称为单位矩阵，一般用 或 表示；如：,第一节 n元线性方程组与矩阵,几种特殊类型的矩阵： （3）对称矩阵：关于主对角线对称的元素相等的方阵称为对称矩阵；如：,第一节 n元线性方程组与矩阵,几种特殊类型的矩阵： （4）反对称矩阵：关于主对角线对称的元素互为相反数，且主对角线上的元素为0的方阵称为反对称矩阵；如：,第一节 n元线性方程组与矩阵,几种特殊类型的矩阵： （5）转置矩阵：设矩阵 是 阶矩阵，把矩阵A的行与列按顺序互换后得到的 阶矩阵 ，称为矩阵A的转置矩阵，记作 。 例如， 。,第一节
5、 n元线性方程组与矩阵,定理12 A为对称矩阵的充要条件是 ； A为反对称矩阵的充要条件是 。,第一节 n元线性方程组与矩阵,三、矩阵的初等变换与秩,第2个方程乘数（ ）,第2行乘数（ ）,将第2行乘数（2）加到第1行,第2个方程乘数（2）加到第1个方程,将第1行乘数（2）加到第2行,第1个方程乘数（2）加到第2个方程,将 的第1行与第2行互换,将第1个方程与第2个方程互换,初等行变换过程,增广矩阵,消元过程,线性方程组,第一节 n元线性方程组与矩阵,定义12 矩阵的初等行变换： （1）换行变换：矩阵某两行（列）互换位置，记作 （ ）； （2）倍乘变换：以非零数 乘矩阵某一行（列）的所有元素，
6、记作 （ ）； （3）倍加变换：把矩阵某一行（列）所有的元素乘同一数 加到另一行（列）对应的元素上去， （ ）。,第一节 n元线性方程组与矩阵,定义13 矩阵中每一行第一个非零元素（称为该行的首非零元）必在上一行首非零元的右下方，称该矩阵为阶梯形矩阵，简称阶梯矩阵。,第一节 n元线性方程组与矩阵,如果阶梯矩阵非零行的首非零元素都是1 ，并且这一列的其余元素都是零，那么该矩阵被称为行简化阶梯矩阵。,第一节 n元线性方程组与矩阵,定理11 （1）矩阵A经过一系列初等行变换后必可化为阶梯矩阵； （2）阶梯矩阵经过一系列初等行变换后必可化为行简化阶梯矩阵。,第一节 n元线性方程组与矩阵,例1 将矩阵
7、化为行简化阶梯形矩阵.,第一节 n元线性方程组与矩阵,矩阵的秩:阶梯形矩阵非零行的行数，称为矩阵的秩， 记作 。 例2 求矩阵 的秩。 所以,第二节 矩阵的运算,一、矩阵的加法与数乘 定义14 设矩阵 与矩阵 都是 阶矩阵，称矩阵 为矩阵A与B的和（差）矩阵。记为 ，即 ,第二节 矩阵的运算,定义15 设矩阵 是 阶矩阵， 为常数，以数 乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵 ,称为数 与矩阵A的数乘矩阵。记作 ，即 。 例3 设 ， 求 ， 。,第二节 矩阵的运算,第二节 矩阵的运算,矩阵的加法满足以下运算规律：,第二节 矩阵的运算,矩阵的数乘运算满足下列运算规律： ； ； 其中k与l是常数。,第
8、二节 矩阵的运算,例4 设 ， 且 ； 求。,解：,第二节 矩阵的运算,二、矩阵的乘法 定义16 设矩阵 是 阶矩阵，矩阵 是 阶矩阵，称则矩阵 是矩阵与矩阵 的乘积矩阵，记为。其中： (i=1,2,m ;j=1,2,p),第二节 矩阵的运算,例5 设,第二节 矩阵的运算,矩阵乘法不满足交换律。,第二节 矩阵的运算,矩阵乘法不满足消去律。,第二节 矩阵的运算,解,矩阵乘法不满足非零性。,或,第二节 矩阵的运算,第二节 矩阵的运算,矩阵的乘法满足下列运算规律：,；,；,；（其中 为常数）,；,第二节 矩阵的运算,第二节 矩阵的运算,三、逆矩阵 定义17 设矩阵是阶方阵，如果存在阶方阵，使得，则称
9、矩阵可逆，并称是的逆矩阵。记为 ，即 。可逆矩阵也称非奇异矩阵。,第二节 矩阵的运算,例8 矩阵,，试证矩阵,是A的逆矩阵,所以矩阵,可逆，,显然，,与,互为逆矩阵。,证：因为,是A的逆矩阵,第二节 矩阵的运算,第二节 矩阵的运算,第二节 矩阵的运算,解,第二节 矩阵的运算,第二节 矩阵的运算,易知,。方程组的解为,。,第三节 线性方程组的一般理论,一、非齐次线性方程组的一般理论,第三节 线性方程组的一般理论,解 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换：,第三节 线性方程组的一般理论,第三节 线性方程组的一般理论,解【经济问题1-1】中的线性方程组,解,第三节 线性方程组的一般理论,第三节 线性方
10、程组的一般理论,第三节 线性方程组的一般理论,例12 解线性方程组,解,第三节 线性方程组的一般理论,第三节 线性方程组的一般理论,线性方程组求解的一般步骤：,第三节 线性方程组的一般理论,二、齐次线性方程组的一般理论,第三节 线性方程组的一般理论,解 用初等行变换化系数矩阵：,第三节 线性方程组的一般理论, 知识应用链接,权益法与成本法是长期股权投资的核算方法。其中权益法适用于企业对被投资单位具有共同控制（一般企业所持被投资单位的股份在20%以上）或具有重大影响的长期股权投资。成本法适用于企业能够对被投资单位实施控制（即：子公司）或不具有控制、共同控制及重大影响，且在活跃市场中没有报价、公允值不能可靠计量的长期股权投资。,