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1、第五章 晶体中电子在电场和 磁场中的运动,1,电子在外场中的运动是固体物理中的一类重要问题。,2,外加的场 (通常指电场和磁场) 一般比周期场要弱很多，从而可以周期场的基本结论为基础来讨论。讨论的方法通常有两种。一种是近似求解包含外加势场的SE；另一种方法是把电子运动近似当作经典粒子处理，这种方法描述的运动称为电子的准经典运动。,量子力学中有经典类比的力学系统，如果一个态的经典描述近似成立，则可以用波包描述这个态；这种描述下，粒子坐标和动量都具有近似的数值，其精确度受不确定性原理限制。,3,在晶体内，可以用Bloch波组成含时波包，令:,4,5,6,7,从而有,8,通过讨论，我们得到准经典运动
2、两个基本关系式,9,从这两个公式出发可以得到,倒有效质量张量,10,这时倒有效质量张量是对角化的，可以引入有效质量张量：,从而有,11,由于有效质量是一个张量，一般来讲，三个分量不相等，从而加速度和外力的方向可以不同。有效质量把晶体中准经典运动的加速度和外力直接联系起来；因为有效质量中包含了周期场的作用, 其数值与电子质量之间可以有很大的差别。,12,有效质量是固体物理学中的一个重要概念。,(1) m*不是电子的惯性质量，而是在周期场中电子受外力作用时，在外力与加速度的关系上相当于牛顿力学中的惯性质量；,(2) m*不是一个常数，而是 的函数。一般情况下，它是一个张量，特殊情况下才可化为一标量
3、的形式；,(3) m*可正可负：在能带底附近，m*总是正值，表示电子从外场得到的动量多于电子给晶格的动量，而在能带顶附近，m*总是负的，表示电子从外场得到的动量少于电子交给晶格的动量。,13,例5.2 简单立方晶体在紧束缚近似下 s 带的有效质量。,能带底和能带顶的有效质量张量各向同性,可以 归结为一个标量.,14,这里以一维紧束缚近似的结果为例，讨论晶体在恒定电场作用下的运动。,恒定电场中的电子准经典运动,15,设电场力沿 k 轴正向, 则有:,电子在 k 空间内作匀速运动，能量函数周期性变化，电子永远保持在同一个能带内。,16,17,Fig 5.1 周期场电子的准经典能带在外场下发生倾斜。
4、,18,Fig 5.2 恒定电场中电子在实空间的振荡。,19,由于从实验上观察到电子在实空间的振荡需要很强的电场，实际上很难观察到这一现象。通常，电子在电场的作用下在 k 空间只有一个小位移，就被杂质、缺陷或声子等散射影响而来不及完成振荡。,在准经典图像中，电子遇到带隙将全部被反射回来；而根据量子理论，电子有一定几率穿透势垒。在价带是满带的情况下，电子在电场下，很容易就达到带顶，电场足够强时，电子就有一定的几率穿透带隙 到达导带。,20,固体中都包含有大量的电子，但有的固体有很好的导电性，而有的固体则由很高的电阻。利用能带理论和准经典运动模型可以对此作出定性的解释。,21,满带电子不导电,22
5、,有外场存在时,满带电子不导电的结论仍成立。,外电场存在时, 所有电子所处的状态变化规律为：,从而 k 轴上各点均以完全相同的速度移动，不改变均匀填充的情况。从BZ某一边界处移动出去的电子从其他边界处移动进来，整个能带保持填满状态 (忽略隧道效 应)。,23,Fig 5.3 满带电子不导电。,24,部分填充能带电子导电,无外场存在时, 部分填充带电子在 k 空间对称分布，没有净电流。,有外场存在时, 部分填充带电子在 k 空间对称分布被破坏，整个电子分布将电场力方向移动，产生净电流。,25,导体和非导体的模型,根据以上讨论，满带电子不参与导电，部分填 充的能带电子可以传导电流。因而可以知道：,
6、非导体中电子恰好填满最低的一系列能带，其 他的各带全空，由于满带电子对电流不产生贡献， 所以尽管有许多电子，却不导电；而导体中则除去 全满带外，还有部分填充电子的能带，这些电子可 以导电，相应的能带称为导带。,26,非导体中，有一种情况：由于材料中存在杂质， 使得能带电子填充情况发生变化，导带中有少数电子或者满带中缺少少数电子，从而产生一定的导电性，称为半导体。即使没有杂质，由于热激发，有少数电子从满带激发到导带形成所谓本征导电。杂质导电和杂质的浓度密切相关；本征导电和带隙宽度密切相关。,27,Fig 5.4 导体、半导体和绝缘体的能带模型。,28,半金属 (准金属, semimetal),金
7、属和半导体之间存在一种中间情况：导带底 和价带顶发生交叠或具有相同的能量(称为负带隙 或零带隙),从而导带中有一定数量的电子、价带中 有一定的未占据能级。这时导带中电子的密度比 普通金属少几个数量级，称为半金属。,V 族元素Bi、Sb、As具有三角晶格结构，每个 原胞中有两个原子，但能带有交叠、且交叠较小是 半金属。如 Bi 的电阻率比大多数金属高 10-100 倍.,29,A semimetal is a material with a very small overlap between the bottom of the conduction band and the top of th
8、e valence band.,30,Semimetal VS Halfmetal,According to band theory, solids can be classified as insulators, semiconductors, semimetals, or metals. In insulators and semiconductors the filled valence band is separated from an empty conduction band by a band gap. For insulators, the magnitude of the b
9、and gap is larger (e.g. 4 eV) than that of a semiconductor (e.g. 4 eV). Metals have a partially filled conduction band.,31,A half-metal is any substance that acts as a conductor to electrons of one spin orientation, but as an insulator or semiconductor to those of the opposite orientation. Although
10、all half-metals are ferromagnetic, most ferro-magnets are not half-metals. Many of the known examples of half-metals are oxides, sulfides, or Heusler alloys.,(http:/en.wikipedia.org/wiki/),A semimetal thus has no band gap and a negligible density of states at the Fermi level. A metal, by contrast, h
11、as an appreciable density of states at the Fermi level because the conduction band is partially filled.,近满带,满带缺少了少数电子会产生一定的导电性，这 种“近满带”情形在半导体问题中十分重要。,假设满带上只有一个状态 k 没有被电子占据， 并设这时近满带对总电流的贡献为 j。若在该状态上 填入一个电子，则总的电流为 0，从而有：,上述结果表明，近满带的总电流如同一个带正电 的粒子所引起的。,32,当有电磁场存在时，满带对电流没有贡献，从 而仍有：,33,空 穴,借助空穴，满带顶附近缺少一些
12、电子和导带底 有少数电子可以用类似的方法处理。,电子和空穴统称为载流子，它们产生的导电性 则分别称为电子和空穴导电性。,34,稳恒磁场中电子的准经典运动,磁场中电子准经典运动的基本方程为：,特点：波矢沿磁场方向的分量不随时间变化；电子 能量保持不变。,35,磁场中的自由电子-准经典运动,电子在 k 空间内作平面圆周运动；在实空间中 电子作螺旋运动。,36,磁场中的自由电子-量子理论,根据量子理论，电子在 x-y 平面内做简谐振动，对 应的量子化能级称为 Landau能级。,37,能带电子在磁场中的准经典运动,严格求解 S-E 很困难，某些情况下常采用有效 质量近似：,如在半导体的价带顶和导带底
13、附近常常可以采用有效质量近似，从而可以利用自由电子的结论。,38,回旋共振,稳恒磁场作用下的晶体电子螺旋运动频率为：,这时在垂直磁场方向加上同频率的交变电场，交变 电场的能量将被电子共振吸收，称为回旋共振。回 旋共振实际上是电子在 Landau 能级上的跃迁。,不同材料的有效质量不同，实验上可以通过测 量回旋共振频率确定有效质量。,39,De Hass-Van Alphen效应,金属的磁化率随磁场变化而振荡称为 DHVA 效应(1930)。DHVA效应也表现为磁化率随磁场变 化作为1/B 的函数呈周期性变化。,研究表明，电导率和比热等物理量也有类似的 行为，而且这些现象与金属的 Fermi 面结构密切相 关，从而被用来研究 Fermi 面。,40,The End,41,42,作业 5,P584 5.1，5.4，5.5，5.6,