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1、7.2 点估计的评价标准,对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题,(1) 无偏性,(3) 一致性,(2) 有效性,7.2,若,无偏,定义,我们不可能要求每一次由样本得到的,估计值与真值都相等，但可以要求这些估,计值的期望与真值相等.,是总体X 的样本,证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在),证,因而,由于,例1,则,特别地,是总体期望 E( X ) 的,样本均值,无偏估计量,例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的,样本为 (n 1) .,(1) 不是 D( X )的无偏估量;,(2) 是 D( X ) 的无偏估计量.,证,前已证,证明,例2,因而,故 证
2、毕.,XB(n , p) n 1 , 求 p 2 的无偏估计量.,解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质, 只要将未知参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.,令,例3,因此, p 2 的无偏估计量为,故,例4 设总体 X 的密度函数为,为常数,为 X 的一个样本,证,故,是 的无偏估计量.,例4,令,即,故 n Z 是 的无偏估计量.,都是总体参数 的无偏估计量, 且,则称 比 更有效.,有效,是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？,由例4可知, 与 都,为常数,例5 设总体 X 的密度函数为,解 ，,例5,
3、例6 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2,为总体 X 的一个样本,证 (1),例6,(1) 设常数,(2),而,例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.,都是 的无偏估计量,罗克拉美（Rao Cramer）不等式,其中 p ( x , ) 是 总体 X 的概率分布或密 度函数，称 为方差的下界.,当 时, 称 为达到方差下界的无偏估计量, 此时称 为最有效的估计量, 简称有效估计量.,例7 设总体 X 的密度函数为,为 X 的一个样本值.,求 的极大似然估计量, 并判断它是否达到 方差下界的无偏估计量.,为常数,解 由似然函数,例7, 的极大似然
4、估计量为,它是 的无偏估计量.,而,故 是达到方差下界的无偏估计量.,定义 设 是总体参数,的估计量. 若对于任意的 , 当n 时,依概率收敛于 , 即,一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.,一致,关于一致性的两个常用结论,1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.,是 的一致估计量.,矩法得到的估计量一般为一致估计量,在一定条件下, 极大似然估计具有一致性,2. 设 是 的无偏估计 量, 且 , 则,例8,为常数,则 是 的无偏、有效、一致估计量.,证 由例7 知 是 的无偏、有效估计量.,所以 是 的一致估计量, 证毕.,例8,作业 P.231 习题七,16
5、18 20,习题,补充题 设总体 X N ( , 2),为 X 的一个样本,常数 k 取,何值可使,为 的无偏估计量,第十四周 问 题,母亲嗜酒是否影响下一代的健康,美国的Jones医生于1974年观察了母亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的6名七岁儿童（称为甲组）.以母亲的年龄，文化程度及婚姻状况与前6名儿童的母亲相同或相近，但不饮酒的46名七岁儿童为对照租(称为乙组). 测定两组儿童的智商，结果如下：,每周一题14,由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一 代的智力？若有影响，推断其影响程度有 多大?,提示,前一问题属假设检验问题 后一问题属区间估计问题,智商一般受诸多因素的影响.从而可以,本问题实际是检
6、验甲组总体的均值是 否比乙组总体的均值偏小?,若是，这个差异范围有多大? 前一问 题属假设检验，后一问题属区间估计.,解,假定两组儿童的智商服从正态分布.,由于两个总体的方差未知，而甲组 的样本容量较小，因此采用大样本下两 总体均值比较的U检验法似乎不妥. 故,当 为真时，统计量,采用方差相等 (但未知) 时，两正态总体 均值比较的t检验法对第一个问题作出 回答.,为此 , 利用样本先检验两总体方差 是否相等，即检验假设,拒绝域为,未落在拒绝域内，故接受 . 即可认为,两总体方差相等. 下面用 t 检验法检,验 是否比 显著偏小？ 即检验假设,当 为真时，检验统计量,其中,嗜酒会对儿童智力发育
7、产生不良影响.,落在拒绝域内，故拒绝 . 即认为母亲,下面继续考察这种不良影响的程度. 为此要对两总体均值差进行区间估计.,取,于是置信度为 99% 的置信区间为,由此可断言：在99%的置信度下，嗜酒,母亲所生孩子在七岁时的智商比不饮酒,的母亲所生孩子在七岁时的智商平均要,低 2.09 到 39.91.,故限制显著性水平的原则体现了“保护零假设”的原则.,注,大家是否注意到，在解决问题时， 两次假设检验所取的显著性水平不同.,前者远,在检验方差相等时，取 ; 在,检验均值是否相等时取 .,比后者大. 为何这样取呢?因为检验的结果与检验的显著性水平 有关.,小，则拒绝域也会小，产生的后果使零假设难以被拒绝.,在 较大时,若能接受 , 说明 为真的依据很充足; 同样，在 很小时， 我们仍然拒绝 . 说明 不真的理由就 更充足.,说明在所给数据下，得出相应的,本例中, 对 , 仍得出,可被接受,及对 ,可被拒绝,的结论.,结论有很充足的理由.,另外在区间估计中，取较小的置信,若反之 , 取较大的置信水平，则可,水平 (即较大的置信度), 从而使,得区间估计的范围较大.,减少估计区间的长度，使区间估计精确,提高，但相应地区间估计的可靠度降低,了，即要冒更大的风险.,解,补充题,补充题 设总体 X N ( , 2),为 X 的一个样本,常数 k 取,故,