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1、一、矩估计法,第二节 点估计的求法,二、极大似然估计法,一. 矩估计法,理论依据：,记总体k阶矩为,样本k阶矩为,（辛钦大数定律及其推论）,则样本 k 阶矩 依概率收敛于总体 k 阶矩 .,方法：,出待估参数.,建立含有待估参数的方程, 从而解,样本 X1, X2, Xn的前 k 阶矩记为,步骤：,设总体的分布函数的形式已知，待估参数为,总体的前 k 阶矩存在.,（1）求出总体的前 k 阶矩，一般是这 k 个参数的函,函数,记为：,7-12,（3）解此方程组 , 得 k 个统计量：,称为未知参数 1, ,k 的矩估计量,这是含未知参数 1,2, ,k 的k个方程构成的方程组，,（2）令,7-1
2、2,代入样本值，得 k 个数:,称为未知参数 1, ,k 的矩估计值,例1.设总体 X B( m, p), 其中p 未知， X1, X2, Xn为总体的样本, 求p 的矩估计量.,解：,令,7-13,得,总体矩,样本矩,例2.设总体X的概率密度为,解：,X1， ， Xn为样本，求参数 的矩估计.,令,得,总体矩,样本矩,例3.设X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,其中0, 求，的矩估计.,解:,令,解得,用样本矩估计 总体矩,由课文本节例1知：,例4.设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机 抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时) 1050, 1100, 1080, 1120, 1200，12
3、50, 1040, 1130, 1300, 1200，试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.,解：,7-14,二、 极大似然估计法,即：在一次试验中，概率最大的事件最有可能发生.,引例: 有两个外形相同的箱子,各装100个球，一箱中,取得的球是白球.问: 所取的球来自哪一箱？,答: 第一箱.,中有99个白球1个红球，一箱中有1个白球99个红球。,现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球,结果所,一般说，若事件A发生的概率与参数有关， 取值不同，P(A)也不同。则应记事件A发生的概率为P(A| ).若一次试验，事件A发生了，可认为此时的 值应是在中使P(A| ) 达到最大的那一
4、个。这就是极大似然原理.,（极大似然原理）,极大似然估计法的理论依据：,X1,X2,Xn是取自总体X的样本，x1 , x2 , xn是样本值.,则样本的联合分布律为：,似然函数：,1. X是离散型总体，其分布律为:,记,2. X是连续型总体，其概率密度为,为其样本的似然函数.,则称,该样本值出现的可能性大小.,极大似然估计的方法：,对于给定的样本值x1 , x2 , ,xn ，选取,使得,7-22,称为未知参数 1, ,k 的极大似然估计值,这样得到的估计值,对应的统计量,称为未知参数1,k 的 极大似然估计量,(1) 由总体分布和所给样本，求得似然函数,步骤：,同时取得最大值）,(3) 解方
5、程组,7-12,(4) 得未知参数1, ,k的极大似然估计值,及其对应的极大似然估计量,7-12,若待估参数只有一个，则似然函数是一元函数L()，此时，只须将上述步骤中求偏导改为求导即可。,说明：,布，求参数的极大似然估计量,解：,的样本，样本观察值为,由X 服从泊松分布，得X的分布律为,似然函数为,两边取对数，得,=0,得,对求导，并令其为0，,所以参数的极大似然估计量为：,，其中 0,总体X 的样本值，求参数的极大似然估计值.,例6. 设总体X的概率密度为,解:,两边取对数，得,对求导,并令其为0，,得,这就是的极大似然估计值.,解：,两边取对数，得,对求导，并令其为0，,=0,所以的极大
6、似然估计值为,1.可证明极大似然估计具有下述性质：,设的函数g=g()是 上的实值函数,且有唯一反函数 . 如果 是的极大似然估计，则g( )也是g( )的极大似然估计.,关于极大似然估计的两点说明：,此性质称为极大似然估计的不变性,例8. 设X1 X2 ， ，Xn为取自参数为的指数分布总体的样本，a0为一给定实数。求p=PXa的极大似然估计,解：,概率密度和分布函数分别为,由总体X服从参数为的指数分布知， X 的,两边取对数，得,对求导，并令其为0，,得的极大似然估计值为,因为,所以，p=PXa的极大似然估计值为,2、当似然函数不是可微函数时，须用极大似然原理来求待估参数的极大似然估计.,例
7、9. 设 X U (a,b), x1, x2, xn 是 X 的一个样本值, 求 a , b 的极大似然估计值与极大似然估计量.,解：,由X U (a,b)知，X 的密度函数为,似然函数为,似然函数只有当 a xi b, i = 1,2, n 时才能获得最大值, 且 a 越大, b 越小, L（a，b） 越大.,令,xmin = min x1, x2, xn xmax = max x1, x2, xn,取,都有,故,是 a , b 的极大似然估计值.,分别是 a , b 的极大似然估计量.,，其中,例10. 设总体X的概率密度为,解：,令,得的矩估计值：,（1）矩估计,两边取对数，得,（2）极大似然估计,得的极大似然估计值：,对求导，并令其为0，,通过例10可见，对同一个待估参数，用不同的方法进行点估计，可能得到不同的估计量.这样就有必要判断哪一个估计量更好，这就是下一节要讲的内容：,评价估计量优良性的标准,